八个无敌模型——全搞定空间几何的外接球和内切球问题(1).pdf
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1、1 类型一、墙角模型(三条线两个垂直,不找球心的位置即可求出球半径) c a b 图1 C P A B a b c 图2 P C B A a b c 图3 C B P A a b c 图4 P C O2 B A 方法:找三条两两垂直的线段,直接用公式 2222 )2(cbaR,即 222 2cbaR,求出R 例 1 (1)已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4,体积为16,则这个球的表面积是( C ) A16 B20 C24 D32 (2)若三棱锥的三个侧面两垂直,且侧棱长均为3,则其外接球的表面积是9 解:( 1)16 2h aV,2a,2416444 2222 haaR,24S,选 C
2、; (2)93334 2 R,94 2 RS (3)在正三棱锥SABC中,MN、分别是棱SCBC、的中点,且MNAM, 若侧棱2 3SA, 则 正三棱锥ABCS外接球的表面积是。36 解:引理: 正三棱锥的对棱互垂直。证明如下: 如图( 3)-1,取BCAB,的中点ED,,连接CDAE,,CDAE,交于H,连接SH,则H是底面正三角 形ABC的中心,SH平面ABC,ABSH, BCAC,BDAD,ABCD,AB平面SCD, SCAB,同理:SABC,SBAC,即正三棱锥的对棱互垂直, 本题图如图(3)-2,MNAM,MNSB/, SBAM,SBAC,SB平面SAC, SASB,SCSB,SAS
3、B,SABC, SA平面SBC,SCSA, 故三棱锥ABCS的三棱条侧棱两两互相垂直, 36)32()32()32()2( 2222 R,即364 2 R, 正三棱锥ABCS外接球的表面积是36 (3)题-1 H E D B AC S (3)题-2 M N A B C S 2 ( 4) 在四面体SABC中,ABCSA平面, , 1, 2,120ABACSABAC则该四面体的外接 球的表面积为( D )11.A7.B 3 10 .C 3 40 .D (5) 如果三棱锥的三个侧面两两垂直,它们的面积分别为6、4、3,那么它的外接球的表面积是 (6) 已知某几何体的三视图如图所示,三视图是腰长为1的
4、等腰直角三角形和边长为1的正方形,则该几 何体外接球的体积为 解析: (4)在ABC中,7120cos2 222 BCABABACBC, 7BC,ABC的外接球直径为 3 72 2 3 7 sin 2 BAC BC r, 3 40 4) 3 72 ()2()2( 2222 SArR, 3 40 S,选D (5)三条侧棱两两生直,设三条侧棱长分别为cba,( Rcba,),则 6 8 12 ac bc ab ,24abc,3a,4b,2c,29)2( 2222 cbaR,294 2 RS, (6) 3)2( 2222 cbaR, 4 3 2 R, 2 3 R 2 3 8 33 3 4 3 4 3
5、 RV, 类型二、垂面模型(一条直线垂直于一个平面) 1题设:如图5,PA平面ABC 解题步骤: 第一步:将ABC画在小圆面上,A为小圆直径的一个端点,作小圆的直 径AD,连接PD,则PD必过球心O; 第二步: 1 O为ABC的外心,所以 1 OO平面ABC,算出小圆 1 O的半 径rDO1(三角形的外接圆直径算法:利用正弦定理,得 r C c B b A a 2 sinsinsin ),PAOO 2 1 1 ; 第三步:利用勾股定理求三棱锥的外接球半径: 222 )2()2(rPAR 22 )2(2rPAR ; 2 1 22 OOrR 2 1 2 OOrR 图5 AD P O1 O C B
6、C A P B 3 2题设:如图 6,7,8,P的射影是ABC的外心三棱锥ABCP的三条侧棱相等 三棱锥ABCP的底面ABC在圆锥的底上,顶点P点也是圆锥的顶点 图6 P AD O1 O C B 图7-1 P A O1 O C B 图7-2 P A O1 O C B 图8 P A O1 O C B 图8-1 D P O O2 A B C 图8-2 P O O2 A B C 图8-3 D P O O2 A B 解题步骤: 第一步:确定球心O的位置,取ABC的外心 1 O,则 1 ,OOP三点共线; 第二步:先算出小圆 1 O的半径rAO1 ,再算出棱锥的高hPO1(也是圆锥的高); 第三步:勾股
7、定理: 2 1 2 1 2 OOAOOA 222 )(rRhR,解出R 方法二: 小圆直径参与构造大圆。 例 2 一个几何体的三视图如右图所示,则该几何体外接球的表面积为( )C A3B2C 3 16 D以上都不对 解:选 C, 22 1)3(RR, 22 1323RRR, 0324R, 3 2 R, 3 16 4 2 RS 4 类型三、切瓜模型(两个平面互相垂直) 图9-1 A C B P 图9-2 AO1 O C B P 图9-3 P AO1 O C B 图9-4 A O1 O C B P 1题设:如图9-1 ,平面PAC平面ABC,且BCAB(即AC为小圆的直径) 第一步:易知球心O必是
8、PAC的外心,即PAC的外接圆是大圆,先求出小圆的直径rAC2; 第二步:在PAC中,可根据正弦定理R C c B b A a 2 sinsinsin ,求出R 2如图 9-2 ,平面PAC平面ABC,且BCAB(即AC为小圆的直径) 2 1 2 1 2 OOCOOC 2 1 22 OOrR 2 1 2 2OORAC 3如图9-3 ,平面PAC平面ABC,且BCAB(即AC为小圆的直径),且P的射影是ABC的 外心三棱锥ABCP的三条侧棱相等三棱ABCP的底面ABC在圆锥的底上,顶点P点也是 圆锥的顶点 解题步骤: 第一步:确定球心O的位置,取ABC的外心 1 O,则 1 ,OOP三点共线;
9、第二步:先算出小圆 1 O的半径rAO1,再算出棱锥的高hPO1(也是圆锥的高); 第三步:勾股定理: 2 1 2 1 2 OOAOOA 222 )(rRhR,解出R 4如图 9-3 ,平面PAC平面ABC,且BCAB(即AC为小圆的直径),且ACPA,则 利用勾股定理求三棱锥的外接球半径: 222 )2()2(rPAR 22 )2(2rPAR; 2 1 22 OOrR 2 1 2 OOrR 例 3 (1) 正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为1, 底面边长为32, 则该球的表面积为。 (2)正四棱锥ABCDS的底面边长和各侧棱长都为2,各顶点都在同一个球面上,则此球的体积为 解:(
10、1)由正弦定理或找球心都可得72R,494 2 RS, (2) 方法一:找球心的位置, 易知1r,1h,rh, 故球心在正方形的中心ABCD处,1R, 3 4 V 方法二:大圆是轴截面所的外接圆,即大圆是SAC的外接圆,此处特殊,SACRt的斜边是球半径, 22R,1R, 3 4 V 5 (3)在三棱锥ABCP中,3PCPBPA, 侧棱PA与底面ABC所成的角为 60,则该三棱锥外 接球的体积为() A B. 3 C. 4 D. 4 3 解:选 D,圆锥CBA,在以 2 3 r的圆上,1R (4)已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的求面上 ,ABC是边长为1的正三角形 ,SC为球O的直 径,
11、 且2SC,则此棱锥的体积为() A A 2 6 B 3 6 C 2 3 D 2 2 解: 3 6 ) 3 3 (1 222 1 rROO, 3 62 h, 6 2 3 62 4 3 3 1 3 1 ShV 类型四、汉堡模型(直棱柱的外接球、圆柱的外接球) 图10-1 C1 B1 A A1 O1 O O2 B C 图10-2 C1 B1 A A1 O1 O O2 B C 图10-3 C1 B1 A A1 O1 O O2 B C 题设:如图10-1 ,图 10-2 ,图 10-3, 直三棱柱内接于球(同时直棱柱也内接于圆柱,棱柱的上下底面可以 是任意三角形) 第一步:确定球心O的位置, 1 O是
12、ABC的外心,则 1 OO平面ABC; 第二步:算出小圆 1 O的半径rAO1 ,hAAOO 2 1 2 1 11 (hAA1 也是圆柱的高); 第三步:勾股定理: 2 1 2 1 2 OOAOOA 222 ) 2 (r h R 22 ) 2 ( h rR,解出R 例 4 (1)一个正六棱柱的底面上正六边形,其侧棱垂直于底面,已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上, 且该六棱柱的体积为 8 9 ,底面周长为3,则这个球的体积为 解:设正六边形边长为a,正六棱柱的高为h,底面外接圆的关径为r,则 2 1 a, 底面积为 8 33 ) 2 1 ( 4 3 6 2 S, 8 9 8 33 hShV柱 ,
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