几何最值问题综合课.pdf
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1、1 知识板块 考点一:几何图形中的最小值问题 方法: 1.找对称点求线段的最小值; 步骤:找已知点的对称点,动点在哪条线上动,就是对称轴; 连接对称点与另一个已知点; 与对称轴的交点即是要找的点;通常用勾股定理求线段长; 2.利用三角形三边关系:两边之差小于第三边; 3.转化成其他线段,间接求线段的最小值;例如:用点到直线的距离最短,通过作垂线求最值; 4.用二次函数中开口向上的函数有最小值; 考点二:几何图形中的最大值问题 方法: 1.当两点位于直线的同侧时,与动点所在的直线的交点,这三点在同一直线时,线段差有最大值; 2.当两点位于直线的异侧时,先找对称点,同样三点位于同一直线时,线段差有
2、最大值; 3.利用三角形三边关系:两边之和大于第三边; 4.用二次函数中开口向下的函数有最大值; 例题板块 考点一:几何图形中的最小值问题 例 1.(2013?钦州)如图1,在正方形ABCD 中, E 是 AB 上一点, BE=2,AE=3BE ,P是 AC 上一动点, 则 PB+PE 的最小值是_ 图 1 图 2 图 3 例 2.(2009?陕西)如图 2,在锐角 ABC 中,AB=4, BAC=45 ,BAC 的平分线交BC 于点 D,M、 N 分别是 AD 和 AB 上的动点,则BM+MN的最小值是 例 3.如图 3,点 P 是 RtABC 斜边 AB 上的一点, PEAC 于 E,PF
3、BC 于 F,BC=6 ,AC=8 ,则线段 EF 长的最小值为; 第一节 几何最值问题专项 2 例 4.(2013?湖南自主招生)如图,在RtABC 中, AB=BC=6 ,点 E,F 分别在边AB ,BC 上, AE=3, CF=1,P 是斜边 AC 上的一个动点,则PEF 周长的最小值为. 图 4 图 5 例 5.(2014?开封)如图, 在平面直角坐标系中,Rt OAB 的顶点 A 的坐标为 ( 9,0),点 C 的坐标为 ( 2, 0), tanBOA= 3 3 ,点 P 为斜边 OB 上的一个动点,则PA+PC 的最小值为() A67B 2 31 C. 6 D193 例 6( 20
4、13?武汉模拟)如图6,等腰 RtABC 中, ACB=90 ,AC=BC=4 , C 的半径为1,点 P 在 斜边 AB 上, PQ 切 O 于点 Q,则切线长PQ 长度的最小值为() 图 6 图 7 图 8 例 7.(2012?海门市一模)如图7,矩形 ABCD 中, AB=4 ,BC=8,E 为 CD 的中点,点P、Q 为 BC 上两 个动点,且PQ=3,当 CQ=_时,四边形APQE 的周长最小 考点二:几何图形中的最大值问题 例 1.已知点 A(1,2)、 B(4,-4), P 为 x 轴上一动点 (1)若 |PA|+|PB|有最小值时,求点P 的坐标; (2)若 |PB|-|PA|
5、有最大值时,求点P 的坐标 例 2.如图 8所示,已知A 1 1 (,y ) 2 ,B 2 (2,y )为反比例函数 1 y x 图像上的两点,动点P(x,0)在 x 正半轴 上运动,当线段AP 与线段 BP 之差达到最大时,点P 的坐标是 . 3 例 3.(2014? 深圳 )如图,在平面直角坐标系中,M 过原点 O,与 x 轴交于 A(4,0),与 y 轴交于 B( 0, 3),点 C 为劣弧 AO 的中点,连接AC 并延长到D,使 DC=4CA ,连接 BD (1)求 M 的半径; (2)证明: BD 为 M 的切线; (3)在直线MC 上找一点 P,使 |DPAP|最大 练习板块 1.
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