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1、1 函数与导数压轴题题型方法总结 一、导数单调性、极值、最值的直接应用 二、交点与根的分布 三、不等式恒成立求字母范围 (一)恒成立之最值的直接应用 (二)恒成立之分离常数 (三)恒成立之讨论字母范围 四、不等式证明 (一)作差证明不等式 (二)变形构造函数证明不等式 (三)替换构造不等式证明不等式 五、函数与导数性质的综合运用 六、导数结合三角函数 书中常用结论 sin,(0,)xx x,变形即为 sin 1 x x ,其几何意义为sin,(0,)yx x上的的点与原 点连线斜率小于1. 1 x ex ln(1)xx ln,0 x xxe x. 2 在解题中常用的有关结论(需要熟记 ) :
2、(1) 曲线( )yf x在0xx处的切线的斜率等于0()fx,切线方程为 000 ()()()yfxxxf x (2) 若可导函数( )yf x在 0 xx处取得极值,则0()0fx。反之,不成立。 (3) 对于可导函数( )f x,不等式( )fx00()的解集决定函数( )fx的递增(减)区间。 (4) 函数( )f x在区间 I 上递增(减)的充要条件是:xI( )fx0(0)恒成立 (5) 函数( )f x在区间 I 上不单调等价于( )f x在区间 I 上有极值,则可等价转化为方程 ( )0fx在区间 I 上有实根且为非二重根。(若( )fx为二次函数且 I=R, 则有0) 。 (
3、6)( )f x在区间 I 上无极值等价于( )f x在区间在上是单调函数,进而得到( )fx0或 ( )fx0在 I 上恒成立 (7) 若xI,( )f x0恒成立,则 min ( )f x0; 若xI,( )f x0恒成立,则 max ( )f x0 (8) 若 0 xI ,使得0 ()fx0,则 max ( )f x0;若 0 xI ,使得0 ()f x0,则 min ( )f x0. (9) 设( )f x与( )g x的定义域的交集为D若xD ( )( )f xg x恒成立则有 min ( )( )0f xg x (10) 若对 11 xI 、22xI,12()()f xg x恒成立
4、,则minmax( )( )f xg x. 若对 11 xI , 22 xI ,使得12()()f xg x,则minmin( )( )f xg x. 若对 11 xI , 22 xI ,使得 12 ()()f xg x,则 maxmax ( )( )f xg x. (11)已知( )f x在区间 1 I上的值域为 A,,( )g x在区间 2 I上值域为 B, 若对 11 x I , 22 xI ,使得1 ()f x= 2 ()g x成立,则AB。 (12) 若三次函数 f(x)有三个零点, 则方程( )0fx有两个不等实根 12 xx、 ,且极大值大 于 0,极小值小于 0. (13) 证
5、题中常用的不等式 : ln1 (0)xxx ln+1(1)xxx() 1 x ex 1 x ex ln1 (1) 12 xx x x 22 ln11 (0) 22 x x xx 3 一、导数单调性、极值、最值的直接应用 1.已知函数 22 1 ( )2,( )3ln. 2 f xxax g xaxb 设两曲线( )( )yf xyg x与有公共点, 且在公共点处的切线相同,若0a,试建立b关 于a的函数关系式,并求 b的最大值; 若0, 2,( )( )( )(2)bh xf xg xab x在( 0, 4) 上为单调函数,求a的取值范围。 2. ( 是一道设计巧妙的好题,同时用到e 底指、对
6、数,需要构造函数,证存在且唯一时结合 零点存在性定理不好想,联系紧密) 已知函数( )ln,( ). x f xx g xe 若函数(x) = f (x) 1 1 x x + - ,求函数(x)的单调区间; 设直线l 为函数 f (x)的图象上一点A(x0,f (x0)处的切线,证明:在区间 (1,+)上存在唯一的 x0,使得直线 l 与曲线 y=g(x)相切 解: () 1 ( ) 1 x xfx x 1 1 ln x x x, 2 2 2 1 1 1 21 xx x xx x 0x 且 1x , 0x 函数( )x 的单调递增区间为,和 11 ,0 () 1 ( )fx x , 0 0 1
7、 ()fx x , 4 切线l的方程为 00 0 1 ln()yxxx x , 即 0 0 1 ln1yxx x , 设直线 l 与曲线( )yg x 相切于点 1 1(,) x x e, ( ) x gxe, 1 0 1x e x , 10 lnxx, 0 ln 1 0 1 () x g xe x . 直线 l 也为 0 00 11 lnyxx xx , 即 0 000 ln11x yx xxx , 由得 0 0 00 ln1 ln1 x x xx , 0 0 0 1 ln 1 x x x 下证:在区间(1,+)上 0 x存在且唯一 . 由()可知,( )x 1 1 ln x x x在区间
8、1,+() 上递增 又 12 ( )ln0 11 e ee ee , 22 22 22 13 ()ln0 11 ee ee ee , 结合零点存在性定理,说明方程 ( )0x 必在区间 2 ( ,)e e上有唯一的根,这个根就是所求的 唯一 0 x , 故结论成立 3.已知函数 2 1 ( )ln(1) 2 f xxaxax(0a) ()求函数( )f x的单调区间; ()记函数( )yF x的图象为曲线C设点 11 (,)A xy, 22 (,)B xy是曲线C上的不同两 点如果在曲线 C上存在点 00 (,)M xy,使得: 12 0 2 xx x;曲线C在点M处的切 线平行于直线AB,则
9、称函数( )F x存在“中值相依切线” 试问:函数( )f x是否存在“中 值相依切线” ,请说明理由 解: ()易知函数( )fx的定义域是(0,), 1 (1)() 1 ( )1 a xx a fxaxa xx 1 分 当 1 1 a 时,即1a时, 令( )0fx,解得 1 0x a 或1x; 令( )0fx,解得 1 1x a 2 分 所以,函数( )f x在 1 (0,) a 和(1,)上单调递增 ,在 1 (,1) a 上单调递减 当 1 1 a 时,即1a时, 显然,函数( )f x在(0,)上单调递增;3 分 当 1 1 a 时,即10a时, 令( )0fx,解得01x或 1
10、x a ; 令( )0fx,解得 1 1x a 4 分 所以,函数( )f x在(0,1)和 1 (,) a 上单调递增 ,在 1 (1,) a 上单调递减 5 综上所述, 当1a时,函数( )f x在 1 (0,) a 和(1,)上单调递增 ,在 1 (,1) a 上单调递减; 当 1a 时,函数( )f x在(0,)上单调递增; 当 10a 时 , 函 数( )f x在(0,1)和 1 (,) a 上 单 调 递 增 ,在 1 (1,) a 上 单 调 递 减5 分 ()假设函数( )f x存在“中值相依切线” 设 11 (,)A xy, 22 (,)B xy是曲线( )yf x上的不同两
11、点,且 12 0xx, 则 21 21 AB yy k xx 22 212121 21 1 (lnln)()(1)() 2 xxa xxaxx xx 21 12 21 lnln1 ()(1) 2 xx a xxa xx 7 分 曲线在点 00 (,)M xy处的切线斜率 0 ()kfx 12 () 2 xx f 12 12 2 (1) 2 xx aa xx ,8 分 依题意得: 21 12 21 lnln1 ()(1) 2 xx a xxa xx 12 12 2 (1) 2 xx aa xx 化简可得: 21 21 lnlnxx xx 12 2 xx ,即 2 1 ln x x = 21 21
12、 2()xx xx 2 1 2 1 2(1) 1 x x x x 10 分 设 2 1 x t x (1t) ,上式化为: 2(1)4 ln2 11 t t tt , 即 4 ln2 1 t t 12 分 令 4 ( )ln 1 g tt t , 2 14 ( ) (1) g t tt 2 2 (1) (1) t t t 因为1t,显然( )0g t,所以( )g t在(1,)上递增 ,显然有( )2g t恒成立 所以在(1,)内不存在t,使得 4 ln2 1 t t 成立 综上所述,假设不成立所以,函数( )f x不存在“中值相依切线”14 分 4.(2011湖南文,第 2问难,单调性与极值
13、,好题) 设函数 1 ( )ln().f xxax aR x 讨论函数( )fx的单调性; 若 ( )f x 有两个极值点 12 ,x x ,记过点11 (,(),A xf x 22 (,()B xf x 的直线斜率为k, 问:是否存 在a,使得2ka?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由. 解: ( )f x 的定义域为 (0,). 2 22 11 ( )1 axax fx xxx 令 2 ( )1,g xxax其判别式 2 4.a 6 当|2,0,( )0,afx时故( )(0,)f x 在上单调递增 当2a时, 0,g(x)=0的两根都小于0,在(0,)上,( )0fx, 故( )(
14、0,)f x 在 上单调递增 当2a时, 0,g(x)=0的两根为 22 12 44 , 22 aaaa xx , 当 1 0xx时,( )0fx;当 12 xxx时,( )0fx;当 2 xx时,( )0fx,故 ( )f x分别在 12 (0,),(,)xx上单调递增,在 12 (,)x x上单调递减 由知,若( )f x有两个极值点 12 ,x x,则只能是情况,故 2a 因为 12 121212 12 ()()()(lnln) xx f xf xxxaxx x x , 所以 1212 121212 ()()lnln1 1 fxfxxx ka xxx xxx 又由知, 12 1x x,于
15、是 12 12 lnln 2 xx ka xx 若存在a,使得2.ka则 12 12 lnln 1 xx xx 即 1212 lnlnxxxx 亦即222 2 1 2ln0(1)(*)xxx x 再由知,函数 1 ( )2lnh ttt t 在(0,)上单调递增,而 2 1x,所以 22 2 11 2ln12ln10. 1 xx x 这与(*)式矛盾故不存在a,使得2.ka 5.(变形构造) 已知二次函数 2 fxaxbxc和 “ 伪二次函数 ” 2 g xax lnbxcx( a、b、 ,cR0abc ) , (I)证明:只要0a,无论 b取何值,函数g x在定义域内不可能总为增函数; (I
16、I) 在二次函数 2 fxaxbxc图象上任意取不同两点 1122 (,),(,)A xyB xy ,线段AB中 点的横坐标为 0 x ,记直线AB的斜率为k, (i)求证: 0 ()kfx ; (ii) 对于 “ 伪二次函数 ” 2 lng xaxbxcx,是否有同样的性质?证明你的结论 . 解: (I)如果0,( )xg x为增函数 ,则 2 2 ( )20 caxbxc g xaxb xx (1)恒成立 , 当0x时恒成立 , 2 20axbxc (2) 0,a 由二次函数的性质 , (2)不可能恒成立.则函数 ( )g x 不可能总为增函数 . 3分 (II) ( i) 22 2121
17、21 2121 ()fxfxa xxb xx k xxxx = 0 2axb. 由( )2,fxaxb 00 ()2fxaxb, 则0 ()kfx -5 分 (ii)不妨设 21 xx,对于 “ 伪二次函数 ”: 7 22 2 2121 21 1 2121 ()ln x a xxb xxc g xg xx k xxxx = 2 1 0 21 ln 2 x c x axb xx , (3) 7分 由()中(1) 00 0 2 c gxaxb x ,如果有 ()的性质,则 0 gxk, (4) 比较 (3)( 4)两式得 2 1 210 ln x c xc xxx ,0,c即: 2 1 2112
18、ln 2 x x xxxx ,(4) -10 分 不妨令 2 1 ,1, x tt x ln2 11 t tt , (5) 设 22 ( )ln 1 t s tt t ,则 2 22 12(1)2(1)(1) ( )0 (1)(1) ttt s t ttt t , ( )s t在(1,)上递增,( )(1)0s ts. (5)式不可能成立 ,( 4)式不可能成立, 0 gxk. “ 伪二次函数 ” 2 lng xaxbxcx不具有 ( )的性质 . -12 分 二、交点与根的分布 6.(2008四川 22,交点个数与根的分布) 已知3x是函数 2 ( )ln(1)10f xaxxx的一个极值点
19、 求a; 求函数 ( )f x 的单调区间; 若直线yb与函数( )yf x的图像有3个交点,求b的取值范围 解: 2 ( )ln(1)10f xaxxx, ( )210 1 a fxx x 3x 是函数 2 ( )ln(1)10f xaxxx的一个极值点 (3)40 4 a f,16a 由 2 ( )16ln(1)10f xxx x , ( 1,)x 2 162862(1)(3) ( )210 111 xxxx fxx xxx 令( )0fx,得1x,3x,( )fx和( )f x随x的变化情况如下: x ( 1,1) 1 (1,3) 3 (3,) ( )fx 0 0 ( )f x 增极大值
20、减极小值增 ( )f x 的增区间是( 1,1),(3,);减区间是 (1,3) 由知,( )f x在( 1,1)上单调递增,在(3,)上单调递增,在(1,3)上单调递减 ( )(1)16ln 29f xf 极大 ,( )(3)32ln 221f xf 极小 又 1x时,( )f x;x时, ( )f x; 可据此画出函数( )yf x的草图(图略) ,由图可知, 8 当直线yb与函数 ( )yf x 的图像有 3个交点时,b的取值范围为 (32ln 221,16ln 29) 7.已知函数 32 fxxaxbxc在,0 上是减函数,在 0,1 上是增函数,函数 fx在R上有三个零点 (1)求b
21、的值; (2)若 1是其中一个零点,求2f的取值范围; (3)若 2 13lnag xfxxx, ,试问过点 (2,5)可作多少条直线与曲线y=g(x) 相切?请说明理由. ( )g x=2x+lnx,设过点( 2, 5)与曲线 g (x)的切线的切点坐标为 00 (,)xy / 000 5()(2)ygxx , 即 000 0 1 2ln5(2)(2)xxx x 0 0 2 ln20x x ,令 h(x)= 2 ln2x x , / h (x)=2 12 xx =0,2x h(x)在( 0,2)上单调递减,在( 2, )上单调递增 又 1 ( )2ln 20 2 h, h(2)=ln2-10
22、 , 2 2 2 ()0h e e h(x)与x轴有两个交点,过点( 2,5)可作2条曲线y=g(x)的切线. 8.(交点个数与根的分布) 已知函数 2 ( )8 , ( )6ln.f xxx g xxm 求( )f x在区间,1t t上的最大值( );h t 9 是否存在实数,m使得( )yf x的图像与( )yg x的图像有且只有三个不同的交点?若 存在,求出m的取值范围;若不存在,说明理由。 解: 22 ( )8(4)16.f xxxx 当14,t即3t时,( )f x在,1t t上单调递增, 22 ( )(1)(1)8(1)67;h tf ttttt 当41,tt即34t时,( )(4
23、)16;h tf 当4t时,( )f x在,1t t上单调递减, 2 ( )( )8 .h tf ttt 综上 2 2 67,3, ( )16,34, 8 ,4 ttt h tt ttt 函数 ( )yf x 的图像与 ( )yg x 的图像有且只有三个不同的交点,即函数 ( )( )( )xg xf x的图像与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点。 2 2 ( )86ln, 62862(1)(3) ( )28(0), xxxxm xxxx xxx xxx 当(0,1)x时,( )0, ( )xx是增函数; 当(0,3)x时,( )0, ( )xx是减函数; 当(3,)x时,( )0, ( )x
24、x是增函数; 当1,x或3x时,( )0.x ( )(1)7,( )(3)6ln 315.xmxm最大值最小值 当x充分接近 0时, ( )0,x 当x充分大时, ( )0.x 要使 ( )x 的图像与 x轴正半轴有三个不同的交点,必须且只须 ( )70, ( )6ln 3 150, xm xm 最大值 最小值 即7156ln 3.m 存在实数m,使得函数 ( )yf x 与 ( )yg x 的图像有且只有三个不同的交点,m的取 值范围为 (7,156ln 3). 9.(交点个数与根的分布) 已知函数. 2 3 )32ln()( 2 xxxf 求 f(x)在 0,1上的极值; 若对任意 03)
25、(ln|ln|, 3 1 , 6 1 xxfxax不等式 成立,求实数 a的取值范围; 若关于 x的方程 bxxf2)( 在 0,1上恰有两个不同的实根,求实数b的取值范围 . 解: 23 )13)(1(3 3 32 3 )( x xx x x xf, 令1 3 1 0)(xxxf或得(舍去) )(,0)(, 3 1 0xfxfx时当单调递增;当)(,0)(,1 3 1 xfxfx时递减 . 10 1 , 0)( 6 1 3ln) 3 1 (在为函数xff上的极大值 . 由03)(ln|ln|xxfxa得 x xa x xa 32 3 lnln 32 3 lnln或 设 3 32 ln 32
26、3 lnln)( 2 xx x xxh, x x x xxg 32 3 ln 32 3 lnln)(, 依题意知 3 1 , 6 1 )()(xxgaxha在或上恒成立, 0 )32( 2 )32( 33)32(3 3 32 )( 2 xxx xx x x xg, 0 32 62 )62( 3 1 32 3 )( 22 xx x x xx xh, 3 1 , 6 1 )()(都在与xhxg上单增,要使不等式成立, 当且仅当. 5 1 ln 3 1 ln), 6 1 () 3 1 (aagaha或即或 由.02 2 3 )32ln(2)( 2 bxxxbxxf 令 x x x x xbxxxx
27、32 97 23 32 3 )(,2 2 3 )32ln()( 2 2 则, 当 3 7 ,0)(,0)(, 3 7 ,0在于是时xxx 上递增; 1 , 3 7 )(,0)(,1 , 3 7 在于是时xxx 上递减, 而)1 () 3 7 (),0() 3 7 ( , 1 , 00)(2)(在即xbxxf恰有两个不同实根等价于 0 2 1 5ln) 1( 0 6 72 6 7 )72ln() 3 7 ( 02ln)0( b b b . 3 72 6 7 )72ln( 2 1 5lnb 11 10.(2009天津文,利用根的分布讨论) 设函数 322 1 1 3 fxxxmx xR,其中0m
28、当1m时,求曲线yfx在点1,1f 处的切线的斜率 求函数fx的单调区间与极值 已知函数fx有三个互不相同的零点 12 0xx、 、,且 12 xx,若对任意的 12 ,1xx xfxf 恒成立,求 m的取值范围 . 解:当1) 1(,2)(, 3 1 )(1 2/23 fxxxfxxxfm故时, 所以曲线( )yf x在点(1,(1)f处的切线斜率为1. 12)( 22 mxxxf,令0)( xf,得到mxmx1,1 因为mmm11, 0 所以, 当x变化时, )(),( xfxf的变化情况如下表: x)1 ,(mm1)1 ,1(mmm1),1 (m )( xf+ 0 0 + )(xf 极小
29、值极大值 )(xf 在 )1 ,(m 和 ),1(m 内减函数,在 )1 ,1 (mm 内增函数。 函数 )(xf 在mx1处取得极大值 )1(mf ,且 )1(mf= 3 1 3 223 mm 函数)(xf在mx1处取得极小值)1 (mf,且)1(mf= 3 1 3 2 23 mm 由题设)( 3 1 ) 1 3 1 ()( 21 22 xxxxxmxxxxf 所 以 方 程1 3 122 mxx=0 由 两 个 相 异 的 实 根 21, x x, 故3 21 xx, 且 0) 1( 3 4 1 2 m,解得 2 1 )( 2 1 mm,舍 因为1 2 3 , 32, 221221 xxxxxx故所以(难点) 若0)1)(1( 3 1 )1(,12121xxfxx则,而0)(1xf,不合题意; 若,1 21 xx则对任意的, 21 xxx有, 0,0 21 xxxx 则0)( 3 1 )( 21 xxxxxxf,又0)( 1 xf,所以函数)(xf在, 21 xxx的最 小值为 0, 于是对任意的, 21 xxx,)1 ()(fxf恒成立的充要条件是0 3 1 )1 ( 2 mf, 解得 3 3 3 3 m ,综上, m的取值范围是 ) 3 3 , 2 1 (
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