分式方程和无理方程的解法(选上).pdf
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1、1 第七讲分式方程和无理方程的解法 初中大家已经学习了可化为一元一次方程的分式方程的解法本讲将要学习可化为一元二次 方程的分式方程的解法以及无理方程的解法并且只要求掌握(1)不超过三个分式构成的分式方程 的解法,会用” 去分母 ” 或” 换元法 ” 求方程的根,并会验根;(2)了解无理方程概念,掌握可化为一 元二次方程的无理方程的解法,会用” 平方 ” 或” 换元法 ” 求根,并会验根 一、可化为一元二次方程的分式方程 1去分母化分式方程为一元二次方程 【例 1】解方程 2 142 1 224 x xxx 分析: 去分母,转化为整式方程 解: 原方程可化为: 142 1 2(2)(2)2 x
2、xxxx 方程两边各项都乘以 2 4x: 2 (2)42(2)4xxxx 即 2 364xx,整理得: 2 320xx 解得:1x或2x 检验:把1x代入 2 4x,不等于0,所以1x是原方程的解; 把2x代入 2 4x,等于 0,所以2x是增根 所以,原方程的解是1x 说明: (1) 去分母解分式方程的步骤: 把各分式的分母因式分解;在方程两边同乘以各分式的最简公分母;去括号,把 所有项都移到左边,合并同类项;解一元二次方程;验根 (2) 验根的基本方法是代入原方程进行检验,但代入原方程计算量较大而分式方程可能产 生的增根,就是使分式方程的分母为0 的根因此我们只要检验一元二次方程的根,是否
3、使分式 方程两边同乘的各分式的最简公分母为0若为 0,即为增根;若不为0,即为原方程的解 2用换元法化分式方程为一元二次方程 【例 2】解方程 22 2 3 ()40 11 xx xx 2 分析: 本题若直接去分母,会得到一个四次方程,解方程很困难 但注意到方程的结构特点, 设 2 1 x y x ,即得到一个关于y的一元二次方程最后在已知y的值的情况下, 用去分母的方法 解方程 2 1 x y x 解: 设 2 1 x y x ,则原方程可化为: 2 340yy解得4y或1y (1)当4y时, 2 4 1 x x ,去分母,得 22 4(1)4402xxxxx; (2)当1y时, 2 221
4、5 1110 12 x xxxxx x 检验:把各根分别代入原方程的分母,各分母都不为0 所以,2x, 15 2 x都是原方程的解 说明:用换元法解分式方程常见的错误是只求出y的值, 而没有求到原方程的解,即x的值 【例 3】解方程 22 22 8(2 )3(1) 11 12 xxx xxx 分析: 注意观察方程特点,可以看到分式 2 2 2 1 xx x 与 2 2 1 2 x xx 互为倒数因此,可以设 2 2 2 1 xx y x ,即可将原方程化为一个较为简单的分式方程 解: 设 2 2 2 1 xx y x ,则 2 2 11 2 x yxx 原方程可化为: 2 33 8118113
5、01 8 yyyyy y 或 (1)当1y时, 2 22 2 21 121 21 xx xxxx x ; (2)当 3 8 y时, 2 222 2 231 81633516303 851 xx xxxxxxx x 或 检验:把把各根分别代入原方程的分母,各分母都不为0 3 所以,原方程的解是 1 2 x,3x, 1 5 x 说明: 解决分式方程的方法就是采取去分母、换元等法,将分式方程转化为整式方程,体现 了化归思想 二、可化为一元二次方程的无理方程 根号下含有未知数的方程,叫做无理方程 1平方法解无理方程 【例 4】解方程 71xx 分析: 移项、平方,转化为有理方程求解 解: 移项得:71
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