初三数学圆的基本元素和性质.pdf
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1、1 圆、垂径定理及圆心角、圆周角定理 适用学科 初中数学 适用年级 初中三年级 适用区域课时时长(分钟) 120 分钟 知识点 圆的有关概念,垂径定理及推论 圆心角的概念,圆周角的概念,圆周角定理及其推论 教学目标 了解圆的有关概念,理解垂径定理并灵活运用垂径定理解决问题 了解圆心角的概念,掌握在同圆或等圆中,三组量:两个圆心角、两条弦、两条弧 的等价关系 了解圆周角的概念,理解圆周角定理及其推论,熟练掌握圆周角的定理及其推理的 灵活运用 教学重点 垂径定理及其运用 在同圆或等圆中,两个圆心角、两条弦、两条弧的等价关系 圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题 教学难点 探索并证明垂径定
2、理及利用垂径定理解决一些实际问题 圆周角的定理及其推论的灵活运用 教学过程 一、复习预习 1. 回忆一下什么是圆?小学学的圆是怎么定义的? 2. 圆的面积公式是什么?周长呢? 二、知识讲解 知识点一、圆的定义 1.定义: (1)如图,在一个平面内,线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一圈,另一个 端点 A 随之旋转所形成的图形叫做圆,固定的端点O 叫做圆心,线段OA 叫 做半径 . 以点 O 为圆心的圆,记作“O”,读作“圆O”. (2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合。 2 知识点二、与圆有关的概念 1. 弦 弦:连结圆上任意两点的线段叫做弦. 直径:经过圆心的弦叫做直径. 要点诠释: 直
3、径是圆中通过圆心的特殊弦,也是圆中最长的弦,即直径是弦,但弦不一定是直径. 2. 弧 弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧。以A、 B为端点的弧记作, 读作“圆弧AB ”或“弧AB ”. 半圆:圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫做半圆. 优弧:大于半圆的弧叫做优弧. 劣弧:小于半圆的弧叫做劣弧. 要点诠释: (1) 半圆是弧,而弧不一定是半圆. (2) 无特殊说明时,弧指的是劣弧. 3. 同心圆与等圆 圆心相同,半径不等的两个圆叫做同心圆. 圆心不同,半径相等的两个圆叫做等圆. 同圆或等圆的半径相等. 4. 等弧 在同圆或等圆中,能够完全重合的弧叫做等弧. 要点诠释:
4、等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中,不能忽视. 知识点三、圆的对称性 1. 圆是轴对称图形 圆是轴对称图形,任何一条直径所在直线都是它的对称轴. 或者说, 经过圆心的任何一条直线都 是圆的对称轴. 2. 圆是中心对称图形 圆是旋转对称图形,无论绕圆心旋转多少度,它都能和自身重合,对称中心就是圆心,因此, 圆又是中心对称图形. 3 要点诠释: (1) 圆有无数条对称轴; (2) 因为直径是弦,弦又是线段,而对称轴是直线,所以不能说 “圆的对称轴是直径”,而应该说“圆的对称轴是直径所在的直线”. 知识点四、垂直于弦的直径 1. 垂径定理: 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧. 2.
5、推论: 平分弦 ( 不是直径 ) 的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧. 要点诠释: (1) 垂径定理是由两个条件推出两个结论,即 (2) 这里的直径也可以是半径,也可以是过圆心的直线或线段. 知识点五、弧、弦、圆心角的关系 1. 圆心角定义 如图所示, AOB的顶点在圆心, 像这样顶点在圆心的角叫做圆心角 2. 定理: 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等 3. 推论: 在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弦也相等 在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弧也相等 要点诠释: (1) 一个角要是圆心角,必须具备顶点在圆
6、心这一特征. (2) 注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提. 知识点六、圆周角 4 1. 圆周角定义: 像图中 AEB 、 ADB 、 ACB这样的角,它们的顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角叫做圆 周角 2. 圆周角定理: 在同圆或等圆中,同弧等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半 3. 圆周角定理的推论: 半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90的圆周角所对的弦是直径 圆内接四边形对角互补。 要点诠释: (1) 圆周角必须满足两个条件:顶点在圆上;角的两边都和圆相交. (2) 圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中. 三、例题精析 类型一、圆及有关概念 【例题 1】 判断
7、题 ( 对的打,错的打,并说明理由) (1) 半圆是弧,但弧不一定是半圆; (2) 弦是直径; (3) 长度相等的两段弧是等弧; (4) 直径是圆中最长的弦. 【例题 2】已知,点P是半径为5 的 O内一点,且OP=3 ,在过点 P的 所有的 O的弦中,弦长为整数的弦的条数为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 【例题 3】. 已知: O的半径为10cm ,弦 AB CD ,AB=12cm ,CD=16cm ,求 AB、CD间的距离 . 5 【例题 4】 如图,一条公路的转弯处是一段圆弧( 即图中弧CD ,点 O是弧 CD的圆心, ? 其中 CD=600m ,E为弧 CD上一点,且OE CD
8、 ,垂足为F,EF=90m ,求这段弯路的半径 类型三、圆心角、弧、弦之间的关系及应用 【例题 5】如图,在 O中, 弧 AB与弧 AC相等, B=70,求 A的度数 . 类型四、圆周角定理及应用 6 【例题 6】如图, AB是 O的直径, C、D、E都是 O上的点,则1+2=_. 【例题 7】如图, AB是 O的直径, BD是 O的弦,延长BD到 C,使 AC=AB ,BD与 CD的大小有什么 关系?并证明。 四、课堂运用 【基础】 1. 下列三个命题:圆既是轴对称图形又是中心对称图形;垂直于弦的直径平分弦;相 等的圆心角所对的弧相等其中真命题的是() A. B. C. D. 2. 如果两个
9、圆心角相等,那么() A.这两个圆心角所对的弦相等 B.这两个圆心角所对的弧相等 C.这两个圆心角所对的弦的弦心距相等D.以上说法都不对 3. O中, AOB= 84,则弦AB所对的圆周角的度数为() A.42B.138 C.69 D.42 或 138 4. 如图,如果AB为 O的直径,弦CD AB ,垂足为E,那么下列结论中, 7 错误的是() A.CE=DE B. BDBC C.BAC= BAD D.ACAD 5. 如图, O的直径为10,弦 AB的长为 8,M是弦 AB上的动点,则OM 的长的 取值范围() A3OM 5 B4OM 5 C3OM 5 D4OM 5 6. 如图, AB 为
10、O 直径, E 是BC 中点, OE 交BC 于点D, BD=3, AB=10,则AC=_. 7. 如图, O中,若 AOB的度数为56, ACB=_. 8. 如图,在“世界杯”足球比赛中,甲带球向对方球门PQ进攻,当他带球冲到A点时,同样乙已经 助攻冲到B点.有两种射门方式:第一种是甲直接射门;第二种是甲将球传给乙,由乙射门.仅从射 门角度考虑,应选择_种射门方式 . 9. 如图, AB为 O的直径, CD为弦,过C、D分别作 CN CD 、 DM? CD ,?分别交 AB于 N、M ,请问 8 图中的 AN与 BM是否相等,说明理由. 【巩固】 1. 如图,在 O中, P是弦 AB的中点,
11、 CD是过点 P的直径,则下列结论中不正确的是( ) A.ABCD B.AOB=4 ACD C. D.PO=PD 2. 如图, O中,如果=2,那么 ( ) A.AB=AC B.AB=2AC C.AB 2AC D.AB2AC 3. 如图, AB和 DE是 O的直径,弦AC DE ,若弦 BE=3 ,则弦 CE=_ 第 1 题图第 2 题图第 3 题图 4. 半径为 2a 的 O中,弦 AB的长为,则弦 AB所对的圆周角的度数是_ 5. 如图, O直径 AB和弦 CD相交于点E,AE=2,EB=6 , DEB=30 ,求弦CD长. 【拔高】 9 1.AB 是 O的直径, AC 、AD是 O的两弦
12、,已知AB=16 , AC=8 ,AD=,求 DAC的度数 . 2. 如图,在Rt ABC中, ACB 90, AC 5,CB 12,AD是 ABC的角平分线,过A、C、D三点 的圆 O与斜边 AB交于点 E,连接 DE 。 ( 1)求证: AC AE ; ( 2)求 AD的长。 3. 如图所示,已知AB为 O的直径, CD是弦,且ABCD于点 E。连接 AC 、OC 、BC。 A C B D E 10 (1)求证:ACO=BCD 。 (2)若 EB=8cm,CD=24cm,求 O的面积。 课程小结 1 、我们认识了圆中的一些元素,同学应能从具体的图形中对这些元素加以识别 2 、我们通过实验得
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