初中几何辅助线大全(潜心整理).pdf
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1、初中几何辅助线口诀 三角形 图中有角平分线,可向两边作垂线。 也可将图对折看,对称以后关系现。 角平分线平行线,等腰三角形来添。 角平分线加垂线,三线合一试试看。 线段垂直平分线,常向两端把线连。 要证线段倍与半,延长缩短可试验。 三角形中两中点,连接则成中位线。 三角形中有中线,延长中线等中线。 四边形 平行四边形出现,对称中心等分点。 梯形里面作高线,平移一腰试试看。 平行移动对角线,补成三角形常见。 证相似,比线段,添线平行成习惯。 等积式子比例换,寻找线段很关键。 直接证明有困难,等量代换少麻烦。 斜边上面作高线,比例中项一大片。 圆 半径与弦长计算,弦心距来中间站。 圆上若有一切线,
2、切点圆心半径连。 切线长度的计算,勾股定理最方便。 要想证明是切线,半径垂线仔细辨。 是直径,成半圆,想成直角径连弦。 弧有中点圆心连,垂径定理要记全。 圆周角边两条弦,直径和弦端点连。 弦切角边切线弦,同弧对角等找完。 要想作个外接圆,各边作出中垂线。 还要作个内接圆,内角平分线梦圆 如果遇到相交圆,不要忘作公共弦。 内外相切的两圆,经过切点公切线。 若是添上连心线,切点肯定在上面。 要作等角添个圆,证明题目少困难。 辅助线,是虚线,画图注意勿改变。 假如图形较分散,对称旋转去实验。 基本作图很关键,平时掌握要熟练。 解题还要多心眼,经常总结方法显。 切勿盲目乱添线,方法灵活应多变。 分析综
3、合方法选,困难再多也会减。 虚心勤学加苦练,成绩上升成直线 作辅助线的方法 一、中点、中位线,延线,平行线。 如遇条件中有中点,中线、中位线等,那么过中点,延长中线或中位线作辅助线,使延 长的某一段等于中线或中位线;另一种辅助线是过中点作已知边或线段的平行线,以达到应 用某个定理或造成全等的目的。 二、垂线、分角线,翻转全等连。 如遇条件中,有垂线或角的平分线,可以把图形按轴对称的方法,并借助其他条件,而 旋转 180 度,得到全等形, ,这时辅助线的做法就会应运而生。其对称轴往往是垂线或角的 平分线。 三、边边若相等,旋转做实验。 如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等,有时边角互相配合,然
4、后把图形旋转一定 的角度,就可以得到全等形,这时辅助线的做法仍会应运而生。其对称中心,因题而异,有 时没有中心。故可分“有心”和“无心”旋转两种。 四、造角、平、相似,和、差、积、商见。 如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等,欲证线段或角的和差积商,往往与相似形 有关。在制造两个三角形相似时,一般地,有两种方法:第一,造一个辅助角等于已知角; 第二,是把三角形中的某一线段进行平移。故作歌诀:“造角、平、相似,和差积商见。” 托列米定理和梅叶劳定理的证明辅助线分别是造角和平移的代表) 五、两圆若相交,连心公共弦。 如果条件中出现两圆相交,那么辅助线往往是连心线或公共弦。 六、两圆相切、离,连心
5、,公切线。 如条件中出现两圆相切(外切,内切),或相离(内含、外离),那么,辅助线往往是连 心线或内外公切线。 七、切线连直径,直角与半圆。 如果条件中出现圆的切线,那么辅助线是过切点的直径或半径使出现直角;相反, 条件 中是圆的直径,半径,那么辅助线是过直径(或半径)端点的切线。即切线与直径互为辅助 线。 如果条件中有直角三角形,那么作辅助线往往是斜边为直径作辅助圆,或半圆;相反, 条件中有半圆,那么在直径上找圆周角直角为辅助线。即直角与半圆互为辅助线。 八、弧、弦、弦心距;平行、等距、弦。 如遇弧,则弧上的弦是辅助线;如遇弦,则弦心距为辅助线。 如遇平行线,则平行线间的距离相等,距离为辅助
6、线;反之,亦成立。 如遇平行弦, 则平行线间的距离相等,所夹的弦亦相等,距离和所夹的弦都可视为辅助 线,反之,亦成立。 有时,圆周角,弦切角,圆心角,圆内角和圆外角也存在因果关系互相联想作辅助线。 九、面积找底高,多边变三边。 如遇求面积,(在条件和结论中出现线段的平方、乘积,仍可视为求面积),往往作底或 高为辅助线,而两三角形的等底或等高是思考的关键。 如遇多边形,想法割补成三角形;反之,亦成立。 另外,我国明清数学家用面积证明勾股定理,其辅助线的做法,即“割补” 有二百多种, 大多数为“面积找底高,多边变三边”。 具体技巧与辅助线添加 等腰三角形 1. 作底边上的高,构成两个全等的直角三角
7、形,这是用得最多的一种方法; 2. 作一腰上的高; 3 . 过底边的一个端点作底边的垂线,与另一腰的延长线相交,构成直角三角形。 梯形 1. 垂直于平行边 2. 垂直于下底,延长上底作一腰的平行线 3. 平行于两条斜边 4. 作两条垂直于下底的垂线 5. 延长两条斜边做成一个三角形 菱形 1. 连接两对角 2. 做高 平行四边形 1. 垂直于平行边 2. 作对角线把一个平行四边形分成两个三角形 3. 做高形内形外都要注意 矩形 1. 对角线 2. 作垂线 很简单。无论什么题目,第一位应该考虑到题目要求,比如AB=AC+BD 这类的就是想办 法作出另一条AB等长的线段,再证全等说明AC+BD=
8、另一条 AB,就好了。还有一些关于平方 的考虑勾股, A字形等。 解几何题时如何画辅助线? 见中点引中位线,见中线延长一倍 在几何题中, 如果给出中点或中线,可以考虑过中点作中位线或把中线延长一倍来解决相关 问题。 在比例线段证明中,常作平行线。 作平行线时往往是保留结论中的一个比,然后通过一个中间比与结论中的另一个比联系起 来。 对于梯形问题,常用的添加辅助线的方法有 1、过上底的两端点向下底作垂线 2、过上底的一个端点作一腰的平行线 3、过上底的一个端点作一对角线的平行线 4、过一腰的中点作另一腰的平行线 5、过上底一端点和一腰中点的直线与下底的延长线相交 6、作梯形的中位线 7、延长两腰
9、使之相交 初中数学辅助线的添加浅谈 人们从来就是用自己的聪明才智创造条件解决问题的,当问题的条件 不够时,添加辅助线构成新图形,形成新关系,使分散的条件集中,建立 已知与未知的桥梁,把问题转化为自己能解决的问题,这是解决问题常用 的策略。 一 添辅助线有二种情况: 1 按定义添辅助线: 如证明二直线垂直可延长使它们,相交后证交角为90 ;证线段倍半关 系可倍线段取中点或半线段加倍;证角的倍半关系也可类似添辅助线。 2 按基本图形添辅助线: 每个几何定理都有与它相对应的几何图形,我们把它叫做基本图形, 添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图 形,因此“添线”应该叫做“补图
10、”!这样可防止乱添线,添辅助线也有 规律可循。举例如下: (1)平行线是个基本图形: 当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的第 三条直线 (2)等腰三角形是个简单的基本图形: 当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角 形。出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三 角形。 (3)等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形: 出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线;出现角平分线与垂线 组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。 (4)直角三角形斜边上中线基本图形 出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。出现线
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