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1、利用空间向量求空间角 一、基础知识 1异面直线所成角 设异面直线a,b 所成的角为 ,则 cos |a b| |a|b | ? , 其中 a,b 分别是直线a,b 的方向 向量 2直线与平面所成角 如图所示,设l 为平面 的斜线, l A,a 为 l 的方向向量, n 为平面 的法向量, 为 l 与 所成的角,则sin |cosa,n| |a n| |a|n| ? . 3二面角 (1)若 AB,CD 分别是二面角 -l-的两个平面内与棱l 垂直的异面直线,则二面角 (或其 补角 )的大小就是向量AB 与 CD的夹角,如图 (1) (2)平面 与 相交于直线l,平面 的法向量为n1,平面 的法向
2、量为 n2, n1,n2 , 则二面角 -l - 为 或 .设二面角大小为 , 则|cos |cos | |n1 n2| |n1|n2| ? , 如图 (2)(3) 两异面直线所成的角为锐角或直角,而不共线的向量的夹角为(0, ),所以公式中要 加绝对值 直线与平面所成角的范围为0, 2 ,而向量之间的夹角的范围为0, ,所以公式中 要加绝对值 利用公式与二面角的平面角时,要注意n1,n2与二面角大小的关系,是相等还是 互补,需要结合图形进行判断 二、常用结论 解空间角最值问题时往往会用到最小角定理 cos cos 1cos 2. 如图,若 OA 为平面 的一条斜线, O 为斜足, OB 为
3、OA 在平面 内的射影, OC 为平 面 内的一条直线, 其中 为 OA 与 OC 所成的角, 1为 OA 与 OB 所成的角, 即线面角, 2 为 OB 与 OC 所成的角,那么cos cos 1cos 2. 考点一异面直线所成的角 典例精析 如图,在三棱锥P-ABC 中,PA底面 ABC,BAC90 .点 D,E, N 分别为棱PA, PC,BC 的中点, M 是线段 AD 的中点, PAAC4, AB2. (1)求证: MN平面 BDE; (2)已知点 H在棱 P A上, 且直线 NH 与直线 BE 所成角的余弦值为 7 21 , 求线段 AH 的长 解由题意知,AB, AC, AP 两
4、两垂直,故以 A 为原点,分别以 AB , AC , AP 方向为 x 轴、 y 轴、 z 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标 系依题意可得A(0,0,0),B(2, 0,0),C(0,4,0),P(0,0,4),D(0,0,2), E(0,2,2),M(0,0,1),N(1,2,0) (1)证明: DE (0,2,0), DB (2,0, 2) 设 n(x,y, z)为平面 BDE 的法向量, 则 n DE 0, n DB 0, 即 2y 0, 2x 2z 0. 不妨取 z1,可得 n(1,0,1) 又 MN (1,2, 1),可得 MN n 0. 因为 MN?平面 BDE,所以 MN平面
5、BDE . (2)依题意,设AH h(0h4),则 H(0,0,h), 进而可得 NH (1, 2,h), BE (2,2,2) 由已知,得 |cos NH , BE |NH BE | |NH | BE | |2h2| h 252 3 7 21 , 整理得 10h2 21h80,解得 h 8 5或 h 1 2. 所以线段 AH 的长为 8 5或 1 2. 解题技法 用向量法求异面直线所成角的一般步骤 (1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系; (2)确定异面直线上两个点的坐标,从而确定异面直线的方向向量; (3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值; (4)两异面直线所成角的余弦等于两
6、向量夹角余弦值的绝对值 提醒 注意向量的夹角与异面直线所成的角的区别:当异面直线的方向向量的夹角为 锐角或直角时, 此夹角就是异面直线所成的角;当异面直线的方向向量的夹角为钝角时,其 补角才是异面直线所成的角 题组训练 1.如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中, AA1底面 ABC, ABBCAA1, ABC90 ,点 E,F 分别是棱 AB,BB1的中点,则直线EF 和 BC1所成的 角是 () A30B45 C60D90 解析: 选 C以 B 为坐标原点,以BC 为 x 轴, BA 为 y 轴, BB1为 z 轴, 建立空间直角坐标系如图所示设 ABBCAA12, 则 C1(2,0,2
7、), E(0,1,0),F(0,0,1), EF (0,1,1),BC 1 (2,0,2), EF BC 1 2, cos EF , BC 1 2 22 2 1 2,则 EF 和 BC1 所成的角是60 ,故 选 C. 2.如图,在四棱锥P-ABCD 中, PA平面 ABCD, 底面 ABCD 是菱形, AB2, BAD60 . (1)求证: BD平面 PAC; (2)若 PAAB,求 PB 与 AC 所成角的余弦值 解: (1)证明:因为四边形ABCD 是菱形, 所以 ACBD. 因为 PA平面 ABCD,BD? 平面 ABCD, 所以 PABD. 又因为 ACPAA,所以 BD平面 PAC
8、. (2)设 ACBDO. 因为 BAD60 ,PA AB2, 所以 BO1, AOCO3. 如图,以 O 为坐标原点,射线OB,OC 分别为 x 轴,y 轴的正半轴建 立空间直角坐标系O-xyz, 则 P(0,3, 2), A(0,3,0),B(1,0,0),C(0,3, 0), 所以 PB (1,3, 2), AC (0,2 3,0) 设 PB 与 AC 所成角为 , 则 cos | PB AC | | PB | AC | 6 2223 6 4 . 即 PB 与 AC 所成角的余弦值为 6 4 . 考点二直线与平面所成的角 典例精析 (2019 合肥一检 )如图,在多面体ABCDEF 中,
9、 四边形 ABCD 是正方形, BF平面 ABCD ,DE平面 ABCD ,BF DE,M 为棱 AE 的中点 (1)求证:平面BDM平面 EFC; (2)若 DE2AB,求直线AE 与平面 BDM 所成角的正弦值 解(1)证明:连接AC 交 BD 于点 N,连接 MN, 则 N 为 AC 的中点, 又 M 为 AE 的中点, MNEC. MN?平面 EFC,EC? 平面 EFC, MN平面 EFC. BF,DE 都与平面ABCD 垂直, BFDE. BFDE, 四边形 BDEF 为平行四边形,BD EF. BD?平面 EFC ,EF? 平面 EFC, BD平面 EFC. 又 MNBD N,平
10、面BDM 平面 EFC . (2)DE平面 ABCD ,四边形 ABCD 是正方形, DA,DC,DE 两两垂直,如图,建立空间直角坐标系D-xyz. 设 AB2, 则 DE4, 从而 D(0,0,0), B(2,2,0), M(1,0,2), A(2,0,0), E(0,0,4), DB (2,2,0), DM(1,0,2), 设平面 BDM 的法向量为n(x,y,z), 则 n DB 0, n DM 0, 得 2x2y 0, x2z0. 令 x2,则 y 2,z 1, 从而 n(2, 2, 1)为平面 BDM 的一个法向量 AE (2,0,4),设直线 AE 与平面 BDM 所成的角为 ,
11、 则 sin |cos n, AE | |n AE | |n| | AE | 45 15 , 直线 AE 与平面 BDM 所成角的正弦值为 4 5 15 . 解题技法 利用向量求线面角的2 种方法 (1)分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量,转化为求两个方向向量的夹 角(或其补角 ) (2)通过平面的法向量来求,即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角,取其 余角就是斜线与平面所成的角 题组训练 1在长方体ABCD-A1B1C1D1中, AB2,BC AA11,则 D1C1与平面 A1BC1所成角 的正弦值为 _ 解析: 建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,由于 AB2,BC
12、 AA11,所以 A1(1,0,1),B(1,2,0),C1(0,2,1),D1(0,0,1),所以 A1C1 ( 1,2,0), BC1 (1,0,1), D1C1 (0,2,0) 设平面 A1BC1的法向量为n(x, y,z),则有 A1C1 n0, BC1 n 0, 即 x2y0, xz0, 令 x2,得 y1,z2,则 n(2,1,2)设 D1C1与平面 A1BC1所成角为 ,则 sin |cosD1C1 ,n| |D1C1 n| |D1C1 |n| 2 23 1 3,即 D 1C1与 平面 A1BC1所成角的正弦值为 1 3. 答案: 1 3 2.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1
13、中,BA BC5,AC8,D 为线段 AC 的中点 (1)求证: BDA1D; (2)若直线 A1D 与平面 BC1D 所成角的正弦值为 4 5,求 AA1 的长 解: (1)证明:三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱, AA1平面 ABC, 又 BD? 平面 ABC, BDAA1, BABC,D 为 AC 的中点, BDAC, 又 AC AA1 A,AC? 平面 ACC1A1,AA1? 平面 ACC1A1, BD平面 ACC1A1, 又 A1D? 平面 ACC1A1, BDA1D. (2)由(1)知 BD AC,AA1平面 ABC, 以 D 为坐标原点, DB,DC 所在直线分别为x 轴,y
14、 轴, 过点 D 且平行 于 AA1的直线为 z轴建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz. 设 AA1 ( 0),则 A1(0, 4, ),B(3,0,0),C1(0,4, ),D(0,0,0), DA1 (0, 4, ),DC 1 (0,4, ), DB(3,0,0), 设平面 BC1D 的法向量为 n(x,y,z), 则 n DC1 0, n DB 0, 即 4y z0, 3x 0, 则 x0,令 z4,可得 y , 故 n(0, ,4)为平面 BC1D 的一个法向量 设直线 A1D 与平面 BC1D 所成角为 , 则 sin |cosn,DA1 | |n DA1 | |n| |DA1 |
15、 |4 4 | 216 216 4 5,解得 2 或 8, 即 AA12 或 AA18. 考点三二面角 典例精析 如图,菱形ABCD 的对角线AC 与 BD 交于点 O, AB5,AC 6, 点 E, F 分别在 AD,CD 上, AECF5 4,EF 交 BD 于点 H.将 DEF 沿 EF 折到 DEF 位置, OD10. (1)证明: DH平面 ABCD ; (2)求二面角B-DA-C 的余弦值 解(1)证明:由四边形ABCD 为菱形,得ACBD. 由 AE CF 5 4,得 AE AD CF CD ,所以 EF AC. 因此 EFDH,从而 EFD H. 由 AB 5,AC6,得 DO
16、BOAB 2AO24. 由 EF AC 得 OH DO AE AD 1 4, 所以 OH1,DH DH3, 则 OD 2OH2 DH2,所以 DHOH. 又 OHEFH,所以 DH平面 ABCD. (2)以 H 为坐标原点, HB , HF , HD分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系H-xyz, 如图所示 则 B(5,0,0),C(1,3,0),D(0,0,3),A(1, 3,0), (由口诀 “起点同 ”,我们先求出起点相同的3 个向量 ) 所以 AB (4,3,0), AD (1,3,3), AC (0,6,0) (由口诀 “棱排前 ”,我们用行列式求出两个平面的法向量) 由
17、 AD 1,3,3 , AB 4,3,0 , 可得平面 ABD 的法向量n1(3,4, 5), 由 AD 1,3,3 , AC 0,6,0 , 可得平面 ADC 的法向量n2(3,0, 1) 于是 cosn1,n2 n1 n2 |n1| |n2| 7 5 25 . 所以二面角B-DA-C 的余弦值为 7 5 25 . 解题技法 (1)利用法向量求二面角的大小时,由于法向量的方向不同,两个法向量的夹角与二面 角的大小可能相等,也可能互补 所以, 两个法向量的夹角的余弦值与二面角的余弦值可能 存在正负号的差异 (2)有时用观察法难以判定二面角是钝角还是锐角,为了保证解题结果准确无误,我们 给出一种
18、万无一失的方法:就是在两个半平面和二面角的棱上各取1 个向量, 要求这三个向 量必须起点相同, 在利用行列式计算法向量时,棱对应的向量必须排前面,即口诀“起点同, 棱排前”,这样求出的两个法向量的夹角一定与二面角的大小相等 题组训练 如图所示,四棱锥P-ABCD 中, PA平面 ABCD, DAB DCB,E 为线段 BD 上的一点,且EBEDECBC,连接 CE 并延 长交 AD 于 F. (1)若 G 为 PD 的中点,求证:平面PAD平面 CGF; (2)若 BC2,P A3,求二面角B-CP-D 的余弦值 解: (1)证明:在 BCD 中, EBEDECBC, 故 BCD90 , CB
19、E BEC60 . DAB DCB, BAD BCD 90 ,ABE CBE60 , FED BEC ABE60 . ABEF, EFD BAD90 , EFAD,AF FD. 又 PGGD, GFPA. 又 PA平面 ABCD, GF平面 ABCD, AD? 平面 ABCD, GFAD. 又 GFEFF, AD平面 CGF. 又 AD? 平面 PAD,平面PAD平面 CGF. (2)以 A 为坐标原点,射线AB,AD,AP 分别为 x 轴, y 轴, z 轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系,则 A(0,0,0), B(2,0,0), C(3,3,0),D(0,23,0),P(0,0,3)
20、, 故 CB (1, 3,0), CP (3, 3,3),CD (3, 3,0) 设平面 BCP 的一个法向量为n1(1,y1,z1), 则 n1 CB 0, n1 CP 0, 即 13y10, 33y13z10, 解得 y1 3 3 , z1 2 3, 即 n1 1, 3 3 , 2 3 . 设平面 DCP 的一个法向量为n2(1, y2, z2), 则 n2 CD 0, n2 CP 0, 即 33y20, 33y23z20, 解得 y2 3, z22, 即 n2(1,3,2) 所以 cosn1,n2 n1 n2 |n1|n2| 4 3 16 9 8 2 4 , 由图知二面角B-CP-D 为
21、钝角, 所以二面角B-CP-D 的余弦值为 2 4 . 课时跟踪检测 A 级 1.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,已知 M,N 分别是 BD 和 AD 的中点,则B1M 与 D1N 所成角的余弦值为 () A. 30 30 B. 30 15 C. 30 10 D. 15 15 解析: 选 C建立如图所示的空间直角坐标系设正方体的棱长 为 2,则 B1(2,2,2),M(1,1,0),D1(0,0,2),N(1,0,0),B1M (1,1,2), D1N (1,0, 2), B1M 与 D1N 所成角的余弦值为 |B1M D1N | |B1M | |D1N | |14| 1141
22、4 30 10 . 2如图,已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,ADAA11,AB3,E 为线段 AB 上一点, 且 AE1 3AB,则 DC 1与平面 D1EC 所成角的正弦值为() A. 335 35 B.2 7 7 C. 3 3 D. 2 4 解析: 选 A如图,以D 为坐标原点, DA ,DC,DD1所在直线 分别为 x 轴,y 轴,z轴建立空间直角坐标系,则 C1(0,3,1),D1(0,0,1), E(1,1,0),C(0,3,0), DC1 (0,3,1), D 1E (1,1, 1), D 1C (0,3, 1) 设平面 D1EC 的法向量为 n(x,y,z), 则 n D
23、1E 0, n D1C 0, 即 xyz0, 3y z0, 取 y1,得 n(2,1,3) cosDC1 ,n DC1 n |DC1 | |n| 3 35 35 , DC1与平面 D1EC 所成的角的正弦值为 3 35 35 . 3在直三棱柱ABC-A1B1C1中, AA12,二面角 B-AA1-C1的大小为60 ,点 B 到平面 ACC1A1的距离为 3,点 C 到平面 ABB1A1的距离为23,则直线BC1与直线 AB1所成角的 正切值为 () A.7 B.6 C.5 D2 解析: 选 A由题意可知,BAC60 ,点 B 到平面 ACC1A1的距离为3,点 C 到平 面 ABB1A1的距离
24、为23,所以在三角形ABC 中,AB2,AC4,BC2 3,ABC90 , 则 AB1 BC 1 (BB1 BA) (BB1 BC ) 4, |AB1 |22,|BC1 |4, cosAB1 , BC1 AB1 BC |AB1 | | BC | 2 4 , 故 tanAB1 , BC 1 7. 4.如图, 正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等, E,F,G 分别 为 AB, AA1, A1C1的中点,则 B1F 与平面 GEF 所成角的正弦值为 () A. 3 5 B.5 6 C.3 3 10 D.3 6 10 解析:选 A设正三棱柱的棱长为2, 取 AC 的中点 D, 连接 DG,
25、DB,分别以 DA,DB,DG 所在的直线为x 轴, y 轴, z 轴建立空间直 角坐标系,如图所示, 则 B1( )0,3,2 ,F(1,0,1), E 1 2 , 3 2 ,0 ,G(0,0,2), B1F ()1,3, 1 , EF 1 2, 3 2 ,1 ,GF (1,0, 1) 设平面 GEF 的法向量n(x,y,z), 则 EF n 0, GF n0, 即 1 2x 3 2 yz0, xz0, 取 x1,则 z1,y3, 故 n()1,3,1 为平面 GEF 的一个法向量, 所以 cosn, B1F 131 55 3 5, 所以 B1F 与平面 GEF 所成角的正弦值为 3 5.
26、5在正方体ABCD -A1B1C1D1中,点 E 为 BB1的中点, 则平面 A1ED 与平面 ABCD 所成 的锐二面角的余弦值为() A. 1 2 B.2 3 C. 3 3 D. 2 2 解析: 选 B以 A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz, 设棱长为1, 则 A1(0,0,1),E 1,0,1 2 ,D(0,1,0), A1D (0,1, 1), A1E 1,0, 1 2 , 设平面 A1ED 的一个法向量为 n1 (1,y,z), 则 n1 A1D 0, n1 A1E 0, 即 yz0, 1 1 2z0, y2, z2, n1(1,2,2) 又平面 ABCD 的一个法向
27、量为n2(0,0,1), cosn1,n2 2 31 2 3. 即平面 A1ED 与平面 ABCD 所成的锐二面角的余弦值为 2 3. 6如图,菱形ABCD 中, ABC60 ,AC 与 BD 相交于点O,AE 平面 ABCD,CFAE,AB2,CF3.若直线 OF 与平面 BED 所成的 角为 45 ,则 AE _. 解析:如图,以 O 为坐标原点, 以 OA, OB 所在直线分别为x 轴, y 轴,以过点O 且平行于 CF 的直线为z轴建立空间直角坐标系 设 AE a,则 B(0,3,0),D(0,3,0),F(1,0,3),E(1,0, a), OF (1,0,3), DB (0,23,
28、0),EB (1, 3, a)设 平面 BED 的法向量为n(x,y,z), 则 n DB 0, n EB 0, 即 23y0, x3yaz0, 则 y0,令 z1,得 x a, n(a,0,1), cosn, OF n OF |n|OF | a3 a 21 10. 直线 OF 与平面 BED 所成角的大小为45 , |a3| a 21 10 2 2 , 解得 a2 或 a 1 2(舍去 ), AE2. 答案: 2 7.如图,已知四棱锥P-ABCD 的底面 ABCD 是等腰梯形, AB CD,且 ACBD,AC 与 BD 交于 O,PO底面 ABCD,PO 2,AB 22, E,F 分别是 A
29、B,AP 的中点,则二面角F-OE-A 的余弦 值为 _ 解析:以 O 为坐标原点, OB, OC,OP 所在直线分别为x 轴,y 轴, z 轴建立如图所示 的空间直角坐标系O-xyz, 由题知, OAOB 2, 则 A(0,2,0),B(2,0,0),P(0,0,2),E(1,1,0),F(0,1,1), OE (1, 1,0), OF (0, 1,1), 设平面 OEF 的法向量为m(x,y,z), 则 m OE 0, m OF 0, 即 xy0 yz0. 令 x1,可得 m(1,1,1) 易知平面 OAE 的一个法向量为n(0,0,1), 则 cosm,n m n |m|n| 3 3 .
30、 由图知二面角F-OE-A 为锐角, 所以二面角F-OE-A 的余弦值为 3 3 . 答案: 3 3 8(2018 全国卷 )如图,边长为2 的正方形ABCD 所在的平面 与半圆弧 C D 所在平面垂直,M 是 C D 上异于 C,D 的点 (1)证明:平面AMD平面 BMC; (2)当三棱锥M-ABC 体积最大时,求平面MAB 与平面 MCD 所成二面角的正弦值 解: (1)证明:由题设知,平面CMD平面 ABCD ,交线为 CD.因为 BCCD,BC? 平 面 ABCD, 所以 BC平面 CMD , 又 DM? 平面 CMD ,所以 BCDM. 因为 M 为 CD 上异于 C,D 的点,且
31、DC 为直径, 所以 DM CM. 又 BC CM C, 所以 DM 平面 BMC. 因为 DM ? 平面 AMD, 所以平面 AMD 平面 BMC. (2)以 D 为坐标原点,DA 的方向为x 轴正方向,建立如图所示 的空间直角坐标系D-xyz.当三棱锥 M-ABC 的体积最大时, M 为 CD 的 中点 由题设得 D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),M(0,1,1),AM (2,1,1), AB (0,2,0), DA (2,0,0) 设 n(x,y, z)是平面 MAB 的法向量, 则 n AM 0, n AB 0, 即 2xyz0, 2y 0. 可取
32、 n(1,0,2), 又 DA 是平面 MCD 的一个法向量, 所以 cosn, DA n DA |n| DA | 5 5 ,sinn, DA 2 5 5 . 所以平面 MAB 与平面 MCD 所成二面角的正弦值是 25 5 . 9(2018 全国卷 )如图,在三棱锥P-ABC 中,ABBC22,PA PBPC AC4,O 为 AC 的中点 (1)证明: PO平面 ABC; (2)若点 M 在棱 BC 上, 且二面角M-PA-C 为 30 , 求 PC 与平面 PAM 所成角的正弦值 解: (1)证明:因为PAPCAC4, O 为 AC 的中点, 所以 POAC,且 PO 2 3.连接 OB,
33、因为 ABBC 2 2 AC, 所以 ABC 为等腰直角三角形,且OBAC, OB 1 2AC2. 所以 PO2OB 2PB2,所以 POOB. 又因为 OBAC O, 所以 PO平面 ABC. (2)以 O 为坐标原点,OB 的方向为x 轴正方向, 建立如图所示的空 间直角坐标系O-xyz.由已知得O(0,0,0), B(2,0,0), A(0, 2,0), C(0,2,0), P(0,0,23), AP (0,2,23) 取平面 PAC 的一个法向量OB (2,0,0) 设 M(a,2a,0)(0a 2),则 AM (a,4a,0) 设平面 PAM 的法向量为n(x,y,z), 由 AP
34、n 0, AM n0, 得 2y23z0, ax 4a y0, 令 y3a, 得 z a,x3(a4),所以平面P AM 的一个法向量为n (3(a4), 3 a, a), 所以 cos OB ,n 23 a4 23 a4 2 3a2a2. 由已知可得 |cos OB ,n| cos 30 3 2 , 所以 2 3|a 4| 23 a4 2 3a2a2 3 2 , 解得 a 4 3或 a 4(舍去 ) 所以 n 8 3 3 , 4 3 3 , 4 3 . 又 PC (0,2, 2 3), 所以 cos PC ,n 8 3 3 8 3 3 412 64 3 16 3 16 9 3 4 . 所以
35、PC 与平面 P AM 所成角的正弦值为 3 4 . B 级 1 如图,四棱柱 ABCD-A1B1C1D1的底面 ABCD 是菱形,ACBD O,A1O底面 ABCD,AB2,AA13. (1)证明:平面A1CO平面 BB1D1D; (2)若 BAD60 ,求二面角B-OB1-C 的余弦值 解: (1)证明: A1O平面 ABCD,BD? 平面 ABCD, A1OBD. 四边形 ABCD 是菱形, COBD . A1OCOO, BD平面 A1CO. BD? 平面 BB1D1D, 平面 A1CO平面 BB1D1D. (2)A1O平面ABCD,COBD, OB,OC,OA1两两 垂直,以O 为坐标
36、原点,OB , OC, OA 1 的方向分别为 x 轴, y 轴, z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系 AB2,AA13, BAD60 , OBOD1,OAOC3, OA1 AA2 1 OA 2 6. 则 O(0,0,0),B(1,0,0),C(0,3,0), A(0,3,0),A1(0,0, 6), OB (1,0,0), BB 1 AA 1 (0, 3,6), OB1 OB BB 1 (1,3,6) 设平面 OBB1的法向量为n(x,y,z), 则 OB n 0, OB1 n0, 即 x0, x3y6z0. 令 y2,得 z 1, n(0,2, 1)是平面 OBB1的一个法向量 同
37、理可求得平面OCB1的一个法向量m (6,0, 1), cosn,m nm |n| |m | 1 37 21 21 , 由图可知二面角B-OB1-C 是锐二面角, 二面角 B-OB1-C 的余弦值为 21 21 . 2如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面 ABCD 是直角梯形,ADC90 ,AB CD,AB 2CD. 平面 PAD平面 ABCD,P APD, 点 E 在 PC 上,DE平面 PAC. (1)求证: PA平面 PCD ; (2)设 AD2,若平面PBC 与平面 P AD 所成的二面角为45 ,求 DE 的长 解: (1)证明:由DE平面 PAC,得 DE PA, 又平面 PAD平
38、面 ABCD,平面 PAD平面 ABCDAD,CDAD , 所以 CD平面 P AD,所以 CDPA, 又 CDDED,所以 PA平面 PCD. (2)取 AD 的中点 O,连接 PO, 因为 PAPD,所以 POAD, 又平面 PAD平面 ABCD,平面 PAD平面 ABCDAD, 所以 PO平面 ABCD, 以 O 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,由 (1)得 PAPD,由 AD2 得 PAPD2,PO1, 设 CDa,则 P(0,0,1),D(0,1,0),C(a,1,0),B(2a, 1,0), 则 BC (a,2,0), PC (a,1, 1) 设 m (x,y,z
39、)为平面 PBC 的法向量, 由 m BC 0, m PC 0, 得 ax2y0, axy z0, 令 x2,则 ya,z3a,故 m (2,a,3a)为平 面 PBC 的一个法向量, 由(1)知 n DC (a,0,0)为平面 PAD 的一个法向量 由|cosm,n| |m n| |m|n| |2a| a10a 24 2 2 ,解得 a 10 5 ,即 CD 10 5 ,所以在Rt PCD 中, PC 2 15 5 , 由等面积法可得DE CD PD PC 3 3 . 3如图,在三棱锥P-ABC 中,平面 PAB平面 ABC,AB 6, BC23, AC26, D, E 分别为线段AB, B
40、C 上的点,且 AD2DB, CE2EB,PDAC. (1)求证: PD平面 ABC; (2)若直线P A 与平面 ABC 所成的角为45 ,求平面PAC 与平面 PDE 所成的锐二面角大小 解: (1)证明: AC26, BC23,AB6, AC2BC2AB2, ACB90 , cosABC 2 3 6 3 3 . 又易知 BD2, CD 222(2 3) 2222 3cosABC 8, CD22,又 AD4, CD 2AD2AC2, CDAB. 平面 PAB平面 ABC,平面 PAB平面 ABCAB,CD? 平面 ABC, CD平面 PAB, 又 PD? 平面 PAB, CDPD, PDA
41、C,ACCDC, PD平面 ABC. (2)由(1)知 PD, CD,AB 两两互相垂直,可建立如图所示的空间 直角坐标系D-xyz, 直线 PA 与平面 ABC 所成的角为45 , 即 PAD45 , PDAD 4, 则 A(0, 4,0),C(22,0,0),B(0,2,0),P(0,0,4), CB (2 2, 2,0), AC (2 2,4,0), PA (0, 4, 4) AD2DB,CE2EB, DEAC, 由(1)知 ACBC, DE BC, 又 PD平面 ABC, BC? 平面 ABC, PDBC, PDDED, CB平面 PDE, CB (2 2, 2,0)为平面 PDE 的一个法向量 设平面 PAC 的法向量为n(x, y,z), 则 n AC 0, n PA 0, 即 22x4y0, 4y4z0, 令 z 1,得 x2,y 1, n(2, 1,1)为平面 PAC 的一个法向量 cosn, CB 4 2 412 3 2 , 平面 PAC 与平面 PDE 所成的锐二面角的余弦值为 3 2 , 故平面 PAC 与平面 PDE 所成的锐二面角为30 .
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