利用空间向量解立体几何(含综合题.pdf
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1、- 1 - 利用空间向量解立体几何问题 一、基础知识 (一)刻画直线与平面方向的向量 1、直线:用直线的方向向量刻画直线的方向问题,而方向向量可由直线上的两个点来确定 例如:2,4,6 ,3,0,2AB,则直线AB的方向向量为1, 4, 4AB 2、平面:用平面的法向量来刻画平面的倾斜程度,何为法向量?与平面垂直的直线称为平 面的法线,法线的方向向量就是平面的法向量,如何求出指定平面的法向量呢? (1)所需条件:平面上的两条不平行的直线 (2)求法: (先设再求) 设平面的法向量为, ,nx y z,若平面上所选两条直线的方向向 量分别为 111222 ,ax y zbxyz,则可列出方程组:
2、 111 222 0 0 xyz xy xyz xyz z 解出, ,x y z的比值即可 例如: 1,2,0 ,2,1,3ab ,求,a b所在平面的法向量 解:设, ,nx y z,则有 20 230 xy xyz ,解得: 2xy zy :2 :1:1xy z2,1,1n (二)空间向量可解决的立体几何问题(用,a b表示直线,a b的方向向量,用,m n表示平面 ,的法向量) 1、判定类 (1)线面平行:abab (2)线面垂直:abab (3)面面平行:mn (4)面面垂直:mn 2、计算类: (1)两直线所成角:coscos, a b a b a b - 2 - (2)线面角:co
3、s,sin a m a m a m (3)二面角:coscos, m n m n m n 或coscos, m n m n m n (视平面角与法向 量夹角关系而定) (4)点到平面距离:设A为平面外一点,P为平面上任意一点,则A到平面的距离 为 A AP n d n ,即AP在法向量n上投影的绝对值。 (三)点的存在性问题:在立体几何解答题中,最后一问往往涉及点的存在性问题,即是否 在某条线上存在一点,使之满足某个条件,本讲主要介绍使用空间向量解决该问题时的方法 与技巧 1、理念: 先设再求 先设出所求点的坐标, ,x y z,再想办法利用条件求出坐标 2、解题关键:减少变量数量, ,x y
4、 z可表示空间中的任一点,但题目中所求点往往是确 定在某条线或者某个平面上的,所以使用三个变量比较“浪费” (变量多, 条件少, 无法求解), 要考虑减少变量的个数,最终所使用变量的个数可根据如下条件判断: (1)直线(一维)上的点:用一个变量就可以表示出所求点的坐标 (2)平面(二维)上的点:用两个变量可以表示所求点坐标 规律: 维度 =所用变量个数 3、如何减少变量: (1)直线上的点(重点) :平面向量共线定理若,abR使得ab 例:已知1,3,4 ,0,2,1AP,那么直线AP上的某点, ,Mx y z坐标可用一个变量表示, 方法如下:1,3,4 ,1, 1, 3AMxyzAP三点中取
5、两点构成两个向量 因为M在AP上,所以AMAPAMAP共线定理的应用(关键) 11 33 4343 xx yy zz ,即1,3,43M仅用一个变量表示 (2)平面上的点:平面向量基本定理若,a b不共线,则平面上任意一个向量c,均存在 ,R,使得:cab 例:已知1,3,4 ,0,2,1 ,2,4,0APQ,则平面APQ上的某点, ,Mx y z坐标可用两个变 - 3 - 量 表 示 , 方 法 如 下 :1,3,4 ,1, 1, 3 ,2,2, 1AMxyzAPPQ, 故 AMAPPQ,即 1212 3232 4343 xx yy zz 二、典型例题 例1: ( 2010 天津)在长方体
6、1111 ABCDA B C D中,,E F分别是棱 1 ,BC CC上的点, 2CFABCE, 1 :1: 2:4ABADAA (1)求异面直线 1 ,EF A D所成角的余弦值 (2)证明:AF平面 1 A ED (3)求二面角 1 AEDF正弦值 解:由长方体 1111 ABCDA B C D得: 1, ,AAAB AD两两垂直 以 1, ,AA AB AD为轴建立空间直角坐标系 (1) 1 3 1,0 ,1,2,1 ,0,0,4 ,0,2,0 2 EFAD 1 1 0,1 ,0,2,4 2 EFA D 1 1 1 33 cos, 55 20 4 EF AD EF AD EFAD 3 c
7、os 5 (2)1,2,1AF,设平面 1 A ED的法向量为, ,nx y z 1 1 0,2,4 ,1,0 2 A DDE 240 :1: 2 :1 1 0 2 yz xy z xy 1,2,1n AFnAF平面 1 A ED B 1 C1 B C D A D1 A 1 E F - 4 - (3)设平面EDF的法向量, ,mx y z 1 1,0 ,1,0,1 2 DEDF 1 0 :1: 2:1 2 0 xy xy z xz 1,2, 1m 1,2,1n 42 cos, 63 m n m n m n 5 sin 3 例 2: 如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是矩形,PA平面ABC
8、D,4PAAD, 2AB,若MN分别为棱,PD PC上的点,O为AC中点,且22ACOMON (1)求证:平面ABM平面PCD (2)求直线CD与平面ACM所成角的正弦值 (3)求点N到平面 ACM 的距离 解:PA平面ABCD ,PAAB PAAD 矩形ABCD ABAD 故,PA AB AD两两垂直 以,PA AB AD为轴建立空间直角坐标系 0,0,4 ,2,0,0 ,2,4,0 ,0,4,0 ,1,2,0PBCDO 22ACOMON,且,OM ON分别为 ,AMCANC的中线 ,ANPC AMPD 设点, ,Mx y z,因为,P M D三点共线 PMPD而, ,4 ,0,4, 4PM
9、x y zPD 0,4 , 4PD 0 4 44 x y z 0,4 ,44M而0AMPDAMPD 1 164 440 2 0,2,2M O A D B C P M N O A D B C P M N - 5 - 同理,设点, ,N x y z,因为,P N C三点共线 PNPC而, ,4 ,2,4, 4PNx y zPC 2 ,4 , 4PD 2 4 44 x y z 2 ,4 ,44N而0ANPCANPC 4 4 +164 440 9 8 16 20 , 999 N (1)设平面ABM的法向量为 1 , ,nx y z2,0,0 ,0,2,2ABAM 1 20 0,1, 1 220 x n
10、 yz 设平面PCD的法向量为 2 , ,nx y z2,4, 4 ,2,0,0PCDC 2 2440 0,1,1 20 xyz n x 12 0nn 12 nn 平面ABM平面PCD (2)设平面ACM的法向量为, ,n x y z 2,4,0 ,0,2,2ACAM 240 2, 1,1 220 xy n yz 而2,0,0CD 设直线CD与平面ACM所成角为,则 46 sincos, 3 26 CD n CD n CDn - 6 - (3) 81620 21 10 999 6 27 6 NACM AN n d n 平面 例3:已知在四棱锥 PABCD中,底面ABCD是矩形,且2,1,ADA
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