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1、【海淀】 20(本小题满分13 分) 已知函数 2 ( ) x ax f x e ,其中0a ()当=3a时,求曲线( )yf x 在点 ( 1,( 1)f处的切线方程; ()求证:当0x时, 2 ( )f x e 20解:()因为 ( ) x ax f x e 2 所以( ) x xxa fx e 2 2 当a3时,( ) x xx fx e 2 23 所以()f10,而()fe12 曲线( )yf x在( 1,( 1)f处的切线方程为2ey () 法一 : 因为( ) x xxa fx e 2 2 ,令( )fx0 得,xaxa 12 1111 显然当a0时,,xx 12 02 所以 x
2、,( )fx,( )f x在区间(0,)上的变化情况如下表: 所以( )f x在区间( ,)x20上单调递减,在(,)x2单调递增, 所以( )f x在( ,)0上的最小值为()fx2,所以只需证明()f x e 2 2 因为xxa 2 22 20,所以() xx axx fx ee 22 2 22 2 2 设( ) x x F x e 2 ,其中2x 所以 ()() ( ) xx xx Fx ee 2 121 x ( ,)x20x2(,)x2 ( )fx 0 + ( )f x 极小值 Z 当x2时,( )Fx0,所以( )F x在区间( ,)2单调递增, 因为x22,所以()()(FxxFf
3、 e 22 2 1,问题得证 法二: 因为a0,所以当x0时,( ) xx axx f x ee 22 设( ) x x F x e 2 ,其中0x 所以 () ( ) xx xxx x Fx ee 2 22 所以 x ,( )Fx,( )F x的变化情况如下表: 所以( )F x在区间( , )0 2上单调递减,在( ,)2上单调递增, 所以函数( )F x在x2时取得最小值( )F e 2 2 4 ,而() e eee 22 4224 0 所以x0时 2 ( ) e F x 所以( )( )f xF x e 2 ,问题得证 法三 : 因为“对任意的x0, 2 2 ee x ax ”等价于“
4、对任意的 x0, 2 2 0 ee x ax ” 即“x0, 2 +1 2ee() 0 e x x ax ”,故只需证“x0时, 2 2ee()0 x ax” 设 2 ( )2ee() x g xax,其中0x 所以( )2e2e x g xx 设( )( )h xg x,( )2e2e x h x, 令( )0h x,得1x 所以 x,( )h x,( )h x的变化情况如下表: x ( , )0 2 2 ( ,)2 ( )F x 0 + ( )F x 极小值 Z 所以( )h x在1x处取得极小值,而(1)2e2e0h 所以( )0h x 所以x0时,( )0g x,所以( )g x在 (
5、 ,)0上单调递增,得g( )(0)xg 而(0)20g,所以( )0g x问题得证 【西城】 20(本小题满分13 分) 已知函数,其中 ()如果曲线与 x 轴相切,求的值; ()若,证明:; ()如果函数在区间上不是单调函数,求的取值范围 20(本小题满分13 分) 解:()求导,得,1 分 因为曲线与 x 轴相切,所以此切线的斜率为0,2 分 由,解得, 又由曲线与 x 轴相切,得, 解得.3 分 ()由题意, 令函数,4 分 求导,得, 由,解得, 当 x 变化时,与的变化情况如下表所示: ( )lnf xxxaaR ( )yfxa ln2ea( )f xx 2 ( ) ( ) fx
6、g x x (1, e)a 11 ( )1 x fx xx ( )yfx ( )0fx1x ( )yfx(1)10fa 1a ( )lnln 2ef xxx ( )( )ln2ln 2eFxfxxxx 112 ( )2 x Fx xx ( )0Fx 1 2 x ( )Fx( )F x x ( , )0 1 1 ( ,)1 ( )h x 0 + ( )h x 极小值 Z 0 极大值 所以函数在上单调递增,在上单调递减, 6 分 故当时, 所以任给,即. 7 分 ()由题意,得, 求导,得, 因为,所以与的正负号相同. 8 分 对求导,得, 由,解得. 当 x 变化时,与的变化情况如下表所示: 0
7、 极小值 所以在上单调递减,在上单调递增 . 又因为, 所以;. 10 分 如果函数在区间上单调递增,则当时,. 所以在区间上恒成立,即, 解得,且当时,的解有有限个, 即当函数在区间上单调递增时,; 1 11 分 如果函数在区间上单调递减,则当时, 所以在区间上恒成立,即, 解得,且当时,的解有有限个, x 1 (0,) 2 1 2 1 (,) 2 ( )Fx ( )F x ( )F x 1 (0,) 2 1 (,) 2 1 2 x max 11 ( )( )ln1ln 20 22 F xFe (0,)x( )( )0F xf xx( )f xx 22 ( )ln ( ) fxxxa g x
8、 xx 3 2ln12 ( ) xxa gx x (1, e)x( )gx()2ln12h xxxa ( )h x 22 ( )1 x hx xx ( )0hx2x ( )h x( )h x x(1,2) 2 (2,e) ( )h x ( )h x ( )h x(1,2)(2,e) (1)22ha(e)e12ha min ( )(2)32ln 22h xha max ( )(1)22h xha 2 ( ) ( ) fx g x x (1, e)(1, e)x( )0gx ( )0h x(1, e) min 0( )(2)32ln 22h xha 3 ln 2 2 a 3 ln 2 2 a( )
9、 0g x= ( )g x(1, )e 3 ln 2 2 a 2 ( ) ( ) fx g x x (1, e)(1, e)x()0gx ( )0h x(1, e) max 0( )(1)22h xha 1a1a( ) 0g x = 所以当函数在区间上单调递减时,. 2 12 分 因为函数在区间上不是单调函数, 结合 12 ,可得, 所以实数的取值范围是.13 分 【东城】 (19)(本小题13 分) 已知函数 21 ( ) 2 x f xaxexx=-,aR () 当1a=时,求曲线( )yf x=在点(0,(0)f处的切线方程; () 求( )f x的单调区间 (19)(共 13 分) 解
10、:()( )fx的定义域为R, ( ) (1)1(1)(1) xx fxaexxxae=+-=+- 当1a=时, (0) 0f=,(0)0f=, 所以曲线( )yf x=在点(0,(0)f处的切线方程为0y = 7分 () ( )(1)1(1)(1) xx fxaexxxae=+-=+-. (1) 当0a 时,10 x ae - -时, ( )0fx . 所以( )f x的单调递增区间为( , 1),单调递减区间为( 1,+). (2) 当0a时,令 ( )0fx =,得 1 1x = -, 2 lnxa= -. 当ln1a-= -,即a e= 时, ( ) 0fx 3, 所以( )f x的单
11、调递增区间为( ,+) ,无单调递减区间; ( )g x(1, )e1a 2 ( ) ( ) fx g x x (1, e) 3 ln 21 2 a a 3 ln 21 2 a 当ln1a-时, 当ln1ax- -或时, ( )0fx . 所以( )f x的单调递减区间为(ln,1)a-,单调递增区间为(,ln)a- ?,(1,)-+ ?; 当ln1a- -,即0ae -时, ( )0fx . 所以( )f x的单调递减区间为(1,ln)a-,单调递增区间为(,1)- ?,(ln,)a-+ ?. 13 分 【朝阳】 20. (本小题满分13 分) 已知函数 2 ( )e(1) (0) 2 x
12、m f xxxm. ()当0m时,求函数( )fx的极小值; ()当0m时,讨论( )f x的单调性; ()若函数( )f x在区间,1上有且只有一个零点,求m的取值范围 . 20. (本小题满分13 分) 解:()当0m时:( )(1)ex fxx,令( )0fx解得1x, 又因为当, 1x,( )0fx,函数( )f x为减函数; 当1,x,( )0fx,函数( )f x为增函数 . 所以,( )f x的极小值为 1 ( 1) e f. 3 分 ()( )(1)(e) x fxxm. 当0m时,由( )0fx,得1x或lnxm. ( ) 若 1 e m,则 1 ( )(1)(e)0 e x
13、 fxx.故( )f x在,上单调递增; ()若 1 e m,则ln1m.故当( )0fx时,1lnxxm或; 当( )0fx时,1lnxm. 所以( )f x在, 1,ln,m单调递增,在1,ln m单调递减 . ()若 1 0 e m,则ln1m.故当( )0fx时,ln1xmx或; 当( )0fx时,ln1mx. 所以( )f x在,ln m,1,单调递增,在ln, 1m单调递减 . 8 分 ()( 1)当0m时,( )e x f xx,令( )0f x,得0x. 因为当0x时,( )0f x,当0x时,( )0f x, 所以此时( )f x在区间,1上有且只有一个零点. (2)当0m时
14、: ()当 1 e m时,由 ()可知( )f x在,上单调递增, 且 1 ( 1)0 e f, 2 (1)e0 e f,此时( )f x在区间,1上有且只有一个零点. ()当 1 e m时,由()的单调性结合( 1)0f,又(ln)( 1)0fmf, 只需讨论(1)e2fm的符号: 当 1e e2 m时,(1)0f,( )f x在区间1,上有且只有一个零点; 当 e 2 m时,(1)0f,函数( )f x在区间1 ,上无零点 . ( )当 1 0 e m时,由()的单调性结合( 1)0f,(1)e20fm, 2 (ln)ln0 22 mm fmm,此时( )f x在区间,1上有且只有一个零点
15、. 综上所述, e 0 2 m. 13 分 【丰台】 20(本小题13 分) 已知函数( )sinf xxx ()求曲线( )yf x在点(, ( ) 22 f处的切线方程; ()求证:当(0,) 2 x时, 31 0( ) 6 f x x . 20 (共 13 分) 解:()因为( )1cosfxx. 所以( )1 2 f,()1 22 f, 所以曲线( )yf x在点(,( ) 22 f处的切线方程1() 22 yx. 整理得:10xy5分 ()先证 ( )0f x . 因为( )1cosfxx,(0,) 2 x, 所以( )0fx. 所以函数 fx 在 (0,) 2 上单调递增, 所以(
16、 )(0)0f xf, 即sin0xx.8 分 再证 31 ( ) 6 f xx. 设 31 ( ) 6 g xfx x , 则 21 ( )1cos 2 gxxx , 设 21 ( )1cos 2 h xxx , 则( )sinhxxx ,由可知()0h x, 所以( )h x 在 (0,) 2 上单调递减,( )(0)0h xh. 所以(0,) 2 x时,( )0g x. 所以( )g x 在 (0,) 2 上单调递减,( )(0)0g xg. 即 31 6 fxx . 综合可知 :当(0,) 2 x时, 31 0 6 fxx . 13 分 【石景山】 20. (本小题13 分) 已知函数
17、( )()lnf xxax ()当0a时,求( )f x在1x处的切线方程; ()当0a时,若( )f x有极小值,求实数a 的取值范围 20.(本小题13 分) 解:()当0a时,( )lnf xxx,( )ln1fxx. (1)1,(1)0ff , 所以 ( )f x在1x处的切线方程为1yx . () ( )f x有极小值函数( )fx 有左负右正的变号零点. 1 ( )lnln1 a fxxxax xx 令( )( )g xfx ,则 22 1 ( ) axa g x xxx 令( )0gx,解得 xa . ,( ),( )x gxg x 的变化情况如下表: x(0, )aa( ,)a ( )gx 0 + ( )g x 减极小值 ln2a增 若ln20a,即 2 ae ,则( )0g x ,所以( )fx 不存在变号零点,不合题 意 . 若ln20a,即 2 ae时, ( )ln20g aa,(1)10ga . 所以 0 ( ,1)xa,使得 0 ()0g x; 且当 0 ( ,)xa x 时, ( )0g x ,当 0 (,1)xx 时, ( )0g x . 所以当( ,1)xa时,,( ),( )x fxfx 的变化情况如下表: x 0 ( ,)a x 0 x 0 (,1)x ( )fx 0 + ( )f x 减极小值增 所以 2 0ae.
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