历年自主招生试题分类汇编三角函数.pdf
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1、历年自主招生试题分类汇编三角函数 7. (2014 年北约) 证明tan3是无理数 . 【证明】由三角公式 2 2tantantan tan2,tan() 1tan1tantan , 若tan3是有理数 ,则tan6 ,tan12 ,tan 24为有理数 ,再由tan 6和tan24可得tan 30为有 理数 ,这与 3 tan30 3 为无理数矛盾!因此 ,tan3是无理数 . 法二:设 0 tan3Q,则 000 tan6tan12QQQQ,这与 0 3 tan30 3 Q矛盾 9 ( 2013 年北约) 对于任意的,求2cos154cos66coscos32 6 的值 解析42c o s
2、122cos122cos4) 2 2cos1 (32cos32 2336 , 2c o s32c o s46c o s 3 , 62c o s124cos6 2 , 2c o s152cos15, 各式相加,得102cos154cos66coscos32 6 题 7(2012 年北约) 求使得 sin 4 sin 2sinsin3xxxx a 在 0,上有唯一解的a。 解:设 11 sin4sin2sinsin3cos6cos2cos4cos2 22 fxxxxxxxxx 1 cos6cos4sin5sin 2 xxxx sin 55sinsin5 sinfxxxxxfx fx关于直线 2 x
3、对称 故fxa在0,上有唯一解,只能0x或 2 x 当0x时,0a,此时 sinsin 50xx在0,上不是唯一解,舍去 当 2 x时,1a,此时 sinsin51xx 0,时, sin0x sin1x且 sin51x,得 2 x为唯一解1a 评析: 本题要求掌握函数对称性与三角函数知识,考查学生知识应用的迁移能力。 4.(2011 年北约) 在ABC 中,2abc , 求证 :60C. 【解】由正弦定理 sinsinsin abc ABC 知, 2sinsin2sin2sincos2sin 22 ABAB abcABCC 又因为sinsin()cos,sin2sincos 222222 AB
4、CCCC C, 所以 ,coscos2sincos 2222 CABCC , 又因为0 22 C 时,cos0 2 C 所以 11 sincos 2222 CAB ( 当AB时取等号 ), 而0 22 C 所以30 , 2 C 即60C. 1 ( 2010 年北约) 0 2 ,求证: sintan 【解析】 不妨设( )sinf xxx ,则(0)0f,且当 0 2 x时,( )1cos0fxx于是 ( )f x 在 0 2 x上单调增( )(0)0f xf即有sinx x 同理可证( )tan0g xxx (0)0g,当 0 2 x时, 2 1 ( )10 cos g x x 于是( )g
5、x 在 0 2 x上单调增。 在 0 2 x上有( )(0)0g xg。即tanxx。 注记:也可用三角函数线的方法求解 5 ( 2010 年北约) 存不存在 0 2 x,使得 sin, cos , tan, cotxxxx 为等差数列 (25 分) 【解析】 不存在;否则有 (cossin )(cossin ) cossincottan sincos xxxx xxxx xx , 则 cossin0xx或者 cossin 1 sincos xx xx 若 cossin0xx,有 4 x而此时 22 , 1, 1 22 不成等差数列; 若 cossin 1 sincos xx xx ,有 2
6、(sincos )12sincosxxxx 解得有 sincos12xx 而 11 sincossin 2(0, 22 xxx,矛盾! 3. (2014 年华约) 函数 2 ( )(cossin)sin()2 sin(0) 24 fxxxxaxb a的最大值为 1,最小值为4,求,a b 的值 . 【解】易知 2221 ( )(cossin)2 sinsin2 sin 2 f xxxaxbxaxb,令sint x , 则问题等价于 21 ( )2 2 g ttaxb在 1,1上的最大值和最小值分别为1 和4. 当对称轴1ta,即1a时,则( )g t在 1,1上递减 ,则 1 (1)21, 2
7、 1 ( 1)24 2 gab gab ,解得 5 , 4 1 a b 当对称轴10a,即 01a时,则 21 ()1 2 1 (1)24 2 gaab gab , 消去 b 得 2 240aa,解得15(0,1)a,舍去 . 综上可知 , 5 ,1 4 ab为所求 . 2. (2013 年华约) 1 sinsin 3 xy, 1 coscos 5 xy,求sin()xy与cos()xy的值 【解】由 1 sinsin 3 xy , 1 coscos 5 xy , 平方相加得 208 cos() 225 xy; 另一方面由可得 1 2sincos 223 xyxy 由式可得 1 2sinsin
8、 225 xyxy , 由 / 式得 3 tan 25 xy , 也所以 2 2tan 15 2 sin() 17 1tan 2 xy xy xy 即求 . (1) (2012 年华约) 在锐角 ABC 中,已知ABC,则cos B的取值范围为() (A) 2 (0,) 2 (B) 12 ,) 22 (C) (0,1)(D) 2 (,1) 2 解:由于 2 , 22 ABCA为锐角三角形,因此又 因为是锐角三角形所以 ,2 ,0 22 B 所以在,内取值。选 A. (8)(2012 年华约) 如图,在锐角ABC中, AB边上的高 CE与AC边上的高 BD交 于点H。 以DE为直径作圆与AC的另
9、一个交点为G。 已知25BC,20BD,7BE, 则AG的长为() (A) 8(B) 42 5 (C)10 (D) 54 5 解答 :连接 DF,则有 DF 垂直 AC,由已知条件有cosB= 5 3 ,cosC= 25 7 ,所以 sinB= 5 4 ,sinC= 25 24 , 于是 sinA=sin(B-C)=sinBcosC+sinccosB= 5 4 =sinB. 因此A= B,即ABC为等腰三角形,于是由CD垂直可得 AC=25,AD=DB=15,AE=AC-CE=25-7=18. 又因为 CDB= CEB=90 ,所以 B,C,D,E 四点共圆, ABC= BAE, 因此 ADE
10、 为等腰 三角形, 所以, DF 垂直 AC 知, AF=FE= 2 AE =9 ( 11 )( 2012年 华 约 ) 在 ABC 中 ,, ,A B C的 对 边 分 别 为, ,a b c。 已 知 2 2 s i n1c o s 2 2 AB C (1)求C的大小 (2)若 222 22cba,求cos2cos2AB的值 . 解: (1) 212 1-cos1cos2 ,1+cos2cos,cos, 23 ABCCCCC因此 (2) 222222 3 =2-2,sin2sin22sin2, 4 cbaCBA 22223 cos2cos212sin12sin2 sinsin 4 ABAB
11、BA4、 (2011 年华约) 若 222 coscos 3 ABAB,则的最小值和最大值分别为( ) 331 33312 A 1,B,C 1,1D,1 222 22222 、 分析 首先尽可能化简结论中的表达式 22 coscosAB,沿着两个方向: 降次: 把三角函 数的平方去掉;去角:原来含两个角,去掉一个。 解: 221cos21cos21 coscos1(cos2cos2 ) 222 AB ABAB 1 1cos()cos()1cos() 2 ABABAB,可见答案是B 11、 (2011 年华约) 已知ABC不是直角三形 . (I)证明:tantantantantantanABCA
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