历年自主招生试题分类汇编概率统计.pdf
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1、历年自主招生试题分类汇编概率统计 2. (2014 年华约) 乒乓球比赛 ,五局三胜制 .任一局甲胜的概率是 1 () 2 p p,甲赢得比赛的概 率是q,求p为多少时 ,q p取得最大值 . 【解】若共比赛了3 局,则甲赢得比赛的概率为 3 p; 若共赛了4 局,则最后一局甲胜,甲赢得比赛的概率为 23 3 (1)C pp; 若共比赛了5 局 ,则最后一局甲胜,甲赢比赛的概率为 232 4 (1)C pp,因此 32323 34 (1)(1)qpC ppC pp, 所以 323232543 34 (1)(1)61510qppC ppC ppppppp, 1 2 p; 设 543 ( )615
2、10f ppppp, 1 2 p,则 432 ()3060301fpppp, 即 432221 ( )306030130(21) 30 fppppppp, 所以 2222111 ( )30(1)30()() 303030 fppppppp, 又因为 1 (,1) 2 p,所以 2 pp,故 21 0 30 pp, 所以令( )0fp时,即 21 0 30 pp,得 4 11 111 30 22430 p; 又因为 1 (,1) 2 p,所以取 111 2430 p, 易知当 1 111 (,) 2 2430 p时 , 111 ( )0,(,1) 2430 fpp时,()0fp, 所以当 111
3、 2430 p时,( )fp有唯一极大值 ,也是最大值 . 4. (2013 年华约) 7 个红球 ,8 个黑球 ,从中任取4 个球 . (1)求取出的球中恰有1 个是红球的概率; (2)求所取出球中黑球个数X的分布列及期望()E X; (3)若所取出的4 个球颜色相同 ,求恰好全黑的概率; 【解】 (1)由题知恰有一个红球的概率为 13 78 4 15 56 195 C C C ; = = = = (2)易知X的所有可能取值为0,1,2,3,4,则由古典概型知, 4 7 4 15 5 (0) 195 C P X C , 13 78 4 15 40 (1) 195 C C P X C , 22
4、 78 4 15 84 (2) 195 C C P X C , 13 78 4 15 56 (3) 195 C C P X C , 4 8 4 15 10 (4) 195 C P X C ,即X的分布列为 : 所以其数学期望为 54 08 45 61 03 2 01234 1 9 51 9 51 9 51 9 51 9 51 5 EX (事实上由超几何分布期望公式可以直接得出期望为 832 4 1515 EX,无须繁杂计算 ) (3)取出四个球同色,全为黑色的概率为 4 8 44 78 2 3 C CC 即求 . (13) (2012 年华约) 系统中每个元件正常工作的概率都是(01)pp ,
5、各个元件正常工 作的事件相互独立,如果系统中有多于一半的元件正常工作,系统就能正常工作。系统正常 工作的概率称为系统的可靠性。 (1)某系统配置有21k个元件,k为正整数,求该系统正常工作概率的表达式 (2)现为改善( 1)中系统的性能,拟增加两个元件。试讨论增加两个元件后,能 否提高系统的可靠性。 解答:显然 nkn K n n kK ppCP 12 1 0 12 )1(,注意到 2 12 1 121212 2 n k n k n k n k CCCC, 所以 1K P= nk n k n n k ppC 12 0 12 )1 ( nk k n nn k n k n k ppCCC 12 0
6、 2 12 1 1212 )1)(2( nk k n nn k k n nknn k k n nknn k ppCppCppC 12 0 2 12 2 121 12 1 12 12 )1()1 (2)1 ( nk k n nn k k n nknn k k n nknn k ppCppCppC 12 0 22 12 0 211 12 0 12 12 )1()1 (2)1 ( )1()1 (2()1 ( 2 1 0 212 12ppppppC k n nknn k X0 1 2 3 4 P 5 195 40 195 84 195 56 195 10 195 = = kkk k kkk k ppC
7、ppC 11 12 1 12 )1 ()1 ( )1()1()1(12 1 0 12 12ppppCppC kkk k k n nknn k )12()1( 12 pppCP kKk kK 因此,当 p 2 1 时, k p 递增,当 P2 1 时, k p递减。 14、 (2011年华约) 将一枚均匀的硬币连续抛掷n 次,以 pn表示未出现连续 3 次正面的概率. (I)求 p1, p2, p3,p4; (II) 探究数列 pn 的递推公式,并给出证明; (III) 讨论数列 pn的单调性及其极限,并阐述该极限的概率意义. 解( I)显数 12 1pp, 3 17 1 88 p;又投掷四次连
8、续出现三次正面向上的情况只有: 正正正正或正正正反或反正正正,故 4 313 1 1616 p. (II )共分三种情况: 1)如果第n次出现反面, 那么前n次不出现连续三次正面和前1n次 不出现连续三次正面是相同的,所以这个时候不出现连续三次正面的概率是 1 1 2 n p;2) 如果第n次出现正面,第1n次出现反面,那么前n次不出现连续三次正面和前2n次不 出现连续三次正面是相同的,所以这个时候不出现连续三次正面的概率是 2 1 4 n p;3)如 果第n次出现正面, 第1n次出现正面, 第2n次出现反面 .那么前n次不出现连续三次正 面和前3n次不出现连续三次正面是相同的,所以这时候不出
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- 历年 自主 招生 试题 分类 汇编 概率 统计
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