压轴题命题区间(五)增分点1多面体与球的切接问题专练.pdf
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1、压轴题命题区间(五)立体几何 增分点多面体与球的切接问题专练 一、选择题 1(2017 全国卷 )已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2 的同一个球的 球面上,则该圆柱的体积为() A B.3 4 C. 2 D. 4 解析: 选 B设圆柱的底面半径为r,则 r 212 1 2 23 4,所以圆柱的体积 V3 4 1 3 4 . 2(2016 全国卷 )在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为 V 的球若AB BC,AB 6,BC8,AA13,则 V 的最大值是 ( ) A 4 B.9 2 C 6 D.32 3 解析: 选 B设球的半径为R, ABC 的内切圆半径为 6 810
2、 2 2, R2.又 2R 3, R 3 2, V max 4 3 3 2 39 2 . 3已知正四面体A-BCD 的棱长为12,则其内切球的表面积为() A 12 B16 C 20 D24 解析:选 D法一:如图,作 BFCD 于 F, AEBF 于 E, 由 A-BCD 为正四面体可知AE平面 BCD,设 O 为正四面体A-BCD 的内切球的球 心,则OE 为内切球的半径,连接OB.因为正四面体的棱长为12,所以 BF AF 6 3,BE43, 所以 AE122 4 3 24 6. 又 OB 2OE2BE2,即 (4 6OE)2 OE2 (4 3)2, 所以 OE6,则其内切球的半径是6.
3、 所以内切球的表面积为4 (6)224 . 法二:因为正四面体的棱长为12,其内切球半径为正四面体高的 1 4,所以 r 1 4 6 3 12 6,故其内切球的表面积为24. 4三棱锥P-ABC 的四个顶点都在体积为 500 3 的球的表面上,底面ABC 所在的小圆面 积为 16 ,则该三棱锥的高的最大值为() A 4 B6 C 8 D10 解析: 选 C依题意,设题中球的球心为O,半径为 R, ABC 的外接圆半径为r,则 4 R 3 3 500 3 ,解得 R5.由 r216 ,解得 r4.又球心 O 到平面 ABC 的距离为R2 r2 3,因此三棱锥P-ABC 的高的最大值为53 8.
4、5(2018 洛阳第一次统考)已知三棱锥P-ABC 的四个顶点均在某球面上,PC 为该球的 直径, ABC 是边长为4 的等边三角形,三棱锥P-ABC 的体积为 16 3 ,则此三棱锥的外接球 的表面积为 () A. 16 3 B.40 3 C. 64 3 D.80 3 解析: 选 D依题意,记三棱锥P-ABC 的外接球的球心为O,半径为R,点 P 到平面 ABC 的距离为h,则由 VP-ABC 1 3S ABCh 1 3 3 4 42 h 16 3 ,得 h 4 3.又 PC 为球 O 的直 径,因此球心O 到平面 ABC 的距离等于 1 2h 2 3.又正 ABC 的外接圆半径为 r AB
5、 2sin 60 4 3 ,因此 R 2 4 3 2 2 3 220 3 ,所以三棱锥P-ABC 的外接球的表面积等于4 R2 80 3 . 6四棱锥P-ABCD 的底面 ABCD 是边长为6 的正方形,且PAPBPCPD,若一 个半径为1 的球与此四棱锥所有面都相切,则该四棱锥的高是() A 6 B5 C. 9 2 D.9 4 解析: 选 D过点P 作 PH 平面ABCD 于点H.由题知,四棱锥 P-ABCD 是正四棱锥, 内切球的球心O 应在四棱锥的高PH 上过正四棱 锥的高作组合体的轴截面如图,其中PE,PF 是斜高, M 为球面与侧面 的一个切点设PHh,易知 RtPMO RtPHF
6、,所以 OM FH PO PF ,即 1 3 h1 h 232,解得 h 9 4. 7(2018 成都一诊 )如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画 出的是某四棱锥的三视图,则该四棱锥的外接球的表面积为() A 136 B34 C 25 D18 解析: 选 B由三视图知,该四棱锥的底面是边长为3 的正方形,高为4,且有一条侧 棱垂直于底面,所以可将该四棱锥补形为长、宽、高分别为3,3,4 的长方体,该长方体外接 球的半径R 即为该四棱锥外接球的半径,所以2R3 23242,解得 R34 2 ,所以该四 棱锥外接球的表面积为4 R 2 34. 8(2018 湖北七市 (州 )联考 )一个几何
7、体的三视图如图所示,则该几何体外接球的表面 积为 () A 36 B.112 3 C 32 D28 解析: 选 B根据三视图可知,该几何体是一个四棱锥,其底面是一个 边长为 4 的正方形,高是2 3.将该四棱锥还原成一个三棱柱,如图所示, 则其底面是边长为4 的正三角形, 高是 4,其中心到三棱柱的6 个顶点的距 离即为该四棱锥外接球的半径因为三棱柱的底面是边长为4 的正三角形, 所以底面三角形的中心到三角形三个顶点的距离为 2 3 2 3 4 3 3 ,所以其外接球的半径R 4 3 3 222 28 3 ,故外接球的表面积S4 R 2 4 28 3 112 3 . 9某几何体的三视图如图所示
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