导数压轴:极值点偏移.pdf
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1、一:极值点偏移 问题的表述是:已知函数( )yf x是连续函 数,在区间 12 (,)x x内有且只有一个极值点 0 x ,且 12 ()()f xf x,若极值点左右 的“ 增减速度 ” 相同,常常有极值点 12 0 2 xx x,我们称这种状态为极值点不偏 移;若极值点左右的 “ 增减速度 ” 不同,函数的图象不具有对称性,常常有极值 点 12 0 2 xx x的情况,我们称这种状态为“ 极值点偏移 ” (左移或右移) . 二: 极值点偏移问题 常用两种方法 证明:一是 函数的单调 性,. 二是利用 “ 对数平均不等式 ” 证明(证明方法见例题).那么什么是 对数平 均不等式呢? 三:对数
2、平均不等式 :已知,a b为两不等的正实数,我们称 lnln ab ab 为,a b的“对数平均数”它与,a b的“几何平均数ab”及“算术平均数 2 ba ”之间有如下不等关系: lnln2 abab ab ab (a=b 的情况几乎不研究,可 自行补充)。 证明: 不妨设0ab先证 lnln ab ab ab ,即证 a b b a b a ln, 令(1) a t t b ,设 1 ( )2ln(1)f tttt t , 则0 )1(1 1 2 )( 2 2 2 t t tt tf,所以( )f t在), 1 (递减,而(1)0f,因 此当1t时, 1 ( )2ln0f ttt t 恒成
3、立,即 a b b a b a ln成立 再证 lnln2 abab ab ,即证 1 ) 1-(2 ln + b a b a b a , 令(1) a t t b , 2(1) g( )ln(1) 1 t ttt t , 则0 ) 1( ) 1( ) 1( 41 )( 2 2 2 tt t tt tg,所以g( ) t在), 1(递增,而g(1)0,因此 当1t时, 2(1) ln0 1 t t t 恒成立,即 lnln2 abab ab 成立 四:极值点偏移问题方法练习总结 例 1(2016 年高考数学全国理科第 21 题)已知函数 2 )1()2()(xaexxf x 有两个 零点 (
4、)求a的取值范围; ( )设 21, x x是)(xf的两个零点,证明:2 21 xx 解:( )函数( )f x的定义域为R, 当0a时, ( )(2)0 x f xxe,得2x,只有一个零点,不合题意; 当0a时,( )(1)2 x fxxea 当0a时,由( )0fx得,1x,由( )0fx得,1x,由( )0fx得,1x, 故,1x是( )f x的极小值点,也是( )f x的最小值点,所以 min ( )(1)0f xfe 又(2)0fa,故在区间(1,2)内存在一个零点 2 x,即 2 12x 由 21 lim (2)limlim0, x xx xxx x xe ee 又 2 (1)
5、0a x,所以,( )fx在区间 (,1)存在唯一零点 1 x,即 1 1x, 故0a时,( )f x存在两个零点; 当0a时,由( )0fx得,1ln( 2 )xxa或, 若ln( 2 )1a,即 2 e a时,( )0fx,故( )f x在R上单调递增,与题意不符 若ln( 2 )1a,即0 2 e a时,易证( )= (1)0f xfe 极大值 故( )f x在R上只有一 个零点,若ln( 2 )1a,即 2 e a时,易证 ( )= (ln( 2 )f xfa 极大值 2 (ln ( 2 )4ln(2 )5)0aaa,故( )f x在R上只有一个零点 综上述,0a ( )解法一、根据函
6、数的单调性证明 由( )知,0a且 12 12xx 令 2 ( )( )(2)(2),1 xx h xf xfxxexex , 则 2(1) 2 (1)(e1) ( ) x x x h x e 因为1x,所以 2(1) 10,10 x xe,所以( )0h x,所以( )h x在(1,)内单调递增 所以( )(1)0h xh,即( )(2)f xfx,所以 22 ()(2)f xfx,所以 12 ()(2)f xfx, 因为 12 1,21xx,( )fx在区间(,1)内单调递减,所以 12 2xx,即 12 2xx 解法二、利用对数平均不等式证明 由( )知,0a ,又 (0)2fa所以,
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