导数压轴题之隐零点问题专辑含答案纯word版.pdf
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1、第 1 页(共 14 页) 导数压轴题之隐零点问题 导数压轴题之隐零点问题(共 13 题) 1已知函数 f(x)=(aexax)ex(a0,e=2.718 ,e 为自然对数的底数), 若 f(x)0 对于 xR恒成立 (1)求实数 a 的值; (2)证明: f(x)存在唯一极大值点x0,且 【解答】 (1)解: f(x)=ex(aexax)0,因为 ex0,所以 ae xax0 恒成立, 即 a(ex1)x恒成立, x=0时,显然成立, x0 时,ex10, 故只需 a在(0,+)恒成立, 令 h(x)=, (x0) , h (x)=0, 故 h(x)在( 0,+)递减, 而=1, 故 a1,
2、 x0 时,ex10, 故只需 a在(, 0)恒成立, 令 g(x)=, (x0) , g(x)=0, 故 h(x)在(, 0)递增, 第 2 页(共 14 页) 而=1, 故 a1, 综上: a=1; (2)证明:由( 1)f(x)=e x(exx1) , 故 f(x)=e x(2exx2) ,令 h(x)=2exx2,h(x)=2ex1, 所以 h(x)在(, ln)单调递减,在( ln,+)单调递增, h(0)=0,h(ln)=2elnln2=ln210,h(2)=2e2( 2) 2=0, h(2)h(ln)0 由零点存在定理及h(x)的单调性知, 方程 h(x)=0 在( 2,ln)有
3、唯一根, 设为 x0且 2ex0x02=0,从而 h(x)有两个零点 x0和 0, 所以 f(x)在(, x0)单调递增,在( x0,0)单调递减,在( 0,+)单调 递增, 从而 f(x)存在唯一的极大值点x0即证, 由 2ex0x02=0得 ex0=,x01, f (x0) =ex0(ex0x01) =(x01) = (x0)(2+x0) () 2= , 取等不成立,所以f(x0)得证, 又 2x0ln,f(x)在(, x0)单调递增 所以 f(x0)f(2)=e 2 e2( 2)1 =e4+e2e20 得证, 从而 0f(x0)成立 2已知函数 f(x)=ax+xlnx(aR) (1)若
4、函数 f(x)在区间 e,+)上为增函数,求a 的取值范围; (2)当 a=1 且 kZ时,不等式 k(x1) f(x)在 x(1,+)上恒成立, 第 3 页(共 14 页) 求 k 的最大值 【解答】 解: (1)函数 f(x)在区间 e,+)上为增函数, f (x)=a+lnx+10 在区间 e,+)上恒成立, a( lnx1)max=2 a2 a 的取值范围是 2,+) (2)a=1时,f(x)=x+lnx,kZ时,不等式 k(x1)f(x)在 x(1,+) 上恒成立, k, 令 g(x)=,则 g (x)=, 令 h(x)=xlnx2(x1) 则 h (x)=1=0,h(x) 在 (1
5、,+)上单增, h(3)=1ln30,h(4)=22ln20, 存在 x0(3,4) ,使 h(x0)=0 即当 1xx0时 h(x)0 即 g (x)0 xx0时h(x) 0 即 g (x)0 g(x)在 (1,x0)上单减,在(x0+)上单增 令 h(x0)=x0lnx02=0,即 lnx0=x02, g(x)min=g(x0)=x0(3,4) kg(x)min=x0(3,4) ,且 kZ, kmax=3 3函数 f(x)=alnxx 2+x,g(x)=(x2)exx2+m(其中 e=2.71828 ) (1)当 a0 时,讨论函数 f(x)的单调性; (2)当 a=1,x(0,1 时,f
6、(x)g(x)恒成立,求正整数m 的最大值 【解答】 解: (1)函数 f(x)定义域是( 0,+) , , (i)当时,1+8a0,当 x(0,+)时 f(x)0, 第 4 页(共 14 页) 函数 f(x)的单调递减区间是( 0,+) ; ()当,2x 2+x+a=0的两根分别是: , 当 x(0,x1)时 f(x)0函数 f(x)的单调递减 当 x(x1,x2)时 f(x)0,函数 f(x)的单调速递增, 当 x(x2,+)时 f(x)0,函数 f(x)的单调递减; 综上所述,(i)当时 f(x)的单调递减区间是( 0,+) , ()当时,f(x)的单调递增区间是, 单调递减区间是和 (
7、2)当 a=1,x(0,1 时,f(x)g(x) ,即 m( x+2)exlnx+x, 设 h(x)=(x+2)exlnx+x,x(0,1 , 当 0x1 时,1x0, 设,则,u(x)在( 0,1)递增, 又u(x)在区间( 0,1 上的图象是一条不间断的曲线, 且, 使得 u(x0)=0,即, 当 x(0,x0)时, u(x)0,h(x)0; 当 x(x0,1)时, u(x)0,h(x)0; 函数 h(x)在( 0,x0 单调递减,在 x0,1)单调递增, =, 在 x(0,1)递减, , 当 m3 时,不等式 m(x+2)exlnx+x 对任意 x(0,1 恒成立, 正整数 m 的最大值
8、是 3 第 5 页(共 14 页) 4已知函数 f(x)=ex +alnx(其中 e=2.71828 ,是自然对数的底数) ()当 a=0时,求函数 a=0的图象在( 1,f(1) )处的切线方程; ()求证:当时,f(x)e+1 【解答】 ()解: a=0时, f(1)=e,f (1)=e1, 函数 f(x)的图象在( 1,f(1) )处的切线方程: ye=(e1) (x1) , 即(e1)xy+1=0; ()证明:, 设 g(x)=f(x) ,则, g(x)是增函数, ex +aea,由 , 当 xe a 时,f (x)0; 若 0x1? ex +aea+1,由 , 当 0xmin 1,e
9、 a1时,f (x)0, 故 f (x)=0仅有一解,记为 x0,则当 0xx0时,f (x)0,f(x)递减; 当 xx0时,f (x)0,f(x)递增; , 而, 记 h(x)=lnx+x, 则, ? a? h(x0)h() , 而 h(x)显然是增函数, , 综上,当时,f(x)e+1 本资料分享自千人教师QQ群 323031380 高中数学资源大全 第 6 页(共 14 页) 5已知函数 f(x)=axe x(a+1) (2x1) (1)若 a=1,求函数 f(x)的图象在点( 0,f(0) )处的切线方程; (2)当 x0 时,函数 f(x)0 恒成立,求实数 a 的取值范围 【解答
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