平面向量与复数.pdf
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1、第 1 页共 49 页 第五章平面向量与复数 第一节平面向量的概念及其线性运算 1向量的有关概念 名称定义备注 向量 既有大小又有方向的量;向量的大小 叫做向量的长度(或称模 ) 平面向量是自由向量 零向量长度为 0 的向量;其方向是任意的记作 0 单位向量长度等于1 个单位的向量非零向量a 的单位向量为 a |a| 平行向量方向相同或相反的非零向量 0 与任一向量平行或共线 共线向量 方向相同或相反的非零向量又叫做共 线向量 相等向量长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等,不能比较大 小 相反向量长度相等且方向相反的向量0 的相反向量为0 2.向量的线性运算 向量运算定义法则 (或几
2、何意义 ) 运算律 加法求两个向量和的运算 三角形法则 平行四边形法则 (1)交换律: abba; (2)结合律: (ab)c a (bc) 减法 求 a 与 b 的相反向量 b的和的运算叫做 a 与 b 的差 三角形法则 aba (b) 数乘 求实数 与向量 a 的 积的运算 (1)|a| |a|; (2)当 0 时,a 的 方向与a 的方向相 同;当 0 时, a ( a )()a;( )aaa; (a b) ab 第 2 页共 49 页 的方向与a 的方向 相反;当 0 时,a 0 3.共线向量定理 向量 a(a0)与 b 共线,当且仅当有唯一一个实数 ,使得 ba. 小题体验 1(教材
3、习题改编)化简: (1)(ABMB)BOOM_; (2) NQQPMNMP_. 答案: (1)AB (2)0 2已知 a 与 b是两个不共线的向量,且向量ab 与 (b 3a)共线,则 _. 答案: 1 3 3.(教材习题改编)如图,设 ABC 三条边的中线AD,BE,CF 相交 于点 G,则下列三个向量: ABCBCA,GAGBCG, BF CDEA中,等于零向量的是_(填序号 ) 解析: 中,原式 ABBCCA0. 中,原式 GAGBGCGCGC0. 中,原式 BFDCAE 1 2( BAACBC)BC0. 所以三个向量中等于零向量的是. 答案: 1在利用向量减法时,易弄错两向量的顺序,从
4、而求得所求向量的相反向量,导致错 误 2在向量共线的重要条件中易忽视“a0”,否则 可能不存在,也可能有无数个 3要注意向量共线与三点共线的区别与联系 小题纠偏 1已知 a,b是任意向量,下列条件中可推得a 与 b 共线的有 _(填序号 ) ab, |a|b|, a 与 b方向相反,a 0 或 b 0, a,b 都是单位向量 解析: 由向量共线的定义知填. 答案: 第 3 页共 49 页 2对于向量a 与 b,下列说法正确的是_(填序号 ) 如果 a 与 b共线,则ab或 a b; 如果 a 与 b共线,则a 与 b平行; 如果 a 与 b共线,则存在实数 ,使得 ab. 解析: a 与 b
5、共线不能确定其长度关系,故错误;当a0 而 b0 时,这样的不存 在,故错误;向量平行和共线是相同的概念,故正确 答案: 3若菱形ABCD 的边长为2,则 |ABCBCD|_. 解析: |ABCBCD|ABBCCD|AD|2. 答案: 2 考点一平面向量的有关概念基础送分型考点 自主练透 题组练透 1下列说法正确的是_ 平行向量的方向一定相同; 与任意向量都平行的向量一定是零向量; 相等的向量一定是平行向量; 共线向量一定在同一条直线上. 解析: 平行向量的方向也可能相反,所以错误;只有零向量与任意向量都平行, 所以正确;显然正确;共线向量只要方向相同或相反即可,不一定在同一条直线上, 所以错
6、误 答案: 2下列命题中正确的是_ 若 a b,则 |a|b|; 若 |a|0),使 kab (a kb), 即 kabakb . (k )a(k1)b. a,b 是不共线的两个非零向量, k 0, k10, 解得 k1, 1 或 k 1, 1, 又 0, k1. 由题悟法 共线向量定理的3 个应用 (1)证明向量共线:对于向量a,b,若存在实数 ,使 ab,则 a 与 b 共线 (2)证明三点共线:若存在实数 ,使ABAC,则 A,B,C 三点共线 (3)求参数的值:利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值 提醒 证明三点共线时,需说明共线的两向量有公共点 即时应用 如图,在
7、ABC 中, D, F 分别是 BC, AC 的中点,AE 2 3 AD, ABa,ACb. (1)用 a,b表示向量AD,AE,AF,BE,BF; (2)求证: B,E,F 三点共线 解: (1)延长 AD 到 G, 使AD 1 2 AG, 连结 BG,CG,得到 ?ABGC, 所以AGab, AD1 2 AG 1 2(ab), AE2 3 AD 1 3(ab), AF1 2 AC 1 2b, BEAEAB 1 3(ab) a 1 3(b2a), BFAFAB 1 2ba 1 2(b 2a) 第 7 页共 49 页 (2)证明:由 (1)可知BE 2 3 BF, 又因为 BE,BF有公共点B
8、, 所以 B,E,F 三点共线 一抓基础,多练小题做到眼疾手快 1(2016 苏州测试 )在 ABC 中,已知 M 是 BC 中点,设CBa,CAb,则AM _. 解析: AMACCMCA 1 2 CB b 1 2a. 答案: b 1 2a 2 在四边形ABCD 中,ABa 2b,BC 4ab,CD 5a3b, 则四边形ABCD 的形状是 _ 解析: 由已知,得ADABBCCD 8a 2b2(4ab)2BC,故AD BC.又因为AB与CD不平行,所以四边形ABCD 是梯形 答案: 梯形 3已知O,A, B,C 为同一平面内的四个点,若2ACCB 0,则向量OC _.(用OA,OB表示 ) 解析
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