弹簧类问题专题盘点.pdf
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1、1 弹簧类问题专题 一、弹簧弹力大小问题 弹簧弹力的大小可根据胡克定律计算(在弹性限度内),即F=kx,其中x是弹簧的形 变量(与原长相比的伸长量或缩短量,不是弹簧的实际长度)。 高中研究的弹簧都是轻弹簧(不计弹簧自身的质量,也不会有动能的)。 不论弹簧处于何种运动状态(静止、 匀速或变速), 轻弹簧两端所受的弹力一定等大反 向。证明如下:以轻弹簧为对象,设两端受到的弹力分别为F1、F2,根据牛顿第二定律, F1+F2=ma,由于m=0,因此F1+F2=0,即F1F2一定等大反向。 弹簧的弹力属于接触力,弹簧两端必须都与其它物体接触才可能有弹力。如果弹簧的一 端和其它物体脱离接触,或处于拉伸状
2、态的弹簧突然被剪断,那么弹簧两端的弹力都将立即 变为零。 在弹簧两端都保持与其它物体接触的条件下,弹簧弹力的大小F=kx与形变量x成正比。 由于形变量的改变需要一定时间,因此这种情况下,弹力的大小不会突然改变,即弹簧弹力 大小的改变需要一定的时间。(这一点与绳不同,高中物理研究中,是不考虑绳的形变的, 因此绳两端所受弹力的改变可以是瞬时的。) 例 1质量分别为m和 2m的小球P、Q用细线相连,P用轻弹簧悬挂在天花板下,开始 系统处于静止。下列说法中正确的是 A若突然剪断细线,则剪断瞬间P、Q的加速度大小均为g B若突然剪断细线,则剪断瞬间P、Q的加速度大小分别为0 和g C若突然剪断弹簧,则剪
3、断瞬间P、Q的加速度大小均为g D若突然剪断弹簧,则剪断瞬间P、Q的加速度大小分别为3g和 0 分析与解: 剪断细线瞬间,细线拉力突然变为零,弹簧对P的拉力仍为3mg竖直向上, 因此剪断瞬间P的加速度为向上2g,而Q的加速度为向下g;剪断弹簧瞬间, 弹簧弹力突然 变为零, 细线对P、Q的拉力也立即变为零,因此P、Q的加速度均为竖直向下,大小均为g。 选 C。 例 2如图所示,小球P、Q质量均为m,分别用轻弹簧b和细线c悬挂在天花板下,再 用另一细线d、e与左边的固定墙相连,静止时细线d、e水平,b、c与竖直方向夹角均为 =37?。下列判断正确的是 A剪断d瞬间P的加速度大小为06g B剪断d瞬
4、间P的加速度大小为075g C剪断e前c的拉力大小为08mg D剪断e后瞬间c的拉力大小为125mg 分析与解: 剪断d瞬间弹簧b对小球的拉力大小和方向都未来得及发生变化,因此重力 和弹簧拉力的合力与剪断前d对P的拉力大小相等, 为 075mg, 因此加速度大小为075g, 2 水平向右; 剪断e前c的拉力大小为125mg,剪断e后,沿细线方向上的合力充当向心力, 因此c的拉力大小立即减小到08mg。选 B。 二、临界问题 两个相互接触的物体被弹簧弹出,这两个物体在什么位置恰好分开?这属于临界问题。 “恰好分开”既可以认为已经分开,也可以认为还未分开。认为已分开,那么这两个物体间 的弹力必然为
5、零;认为未分开,那么这两个物体的速度、加速度必然相等。同时利用这两个 结论,就能分析出当时弹簧所处的状态。 特点: 1接触; 2还没分开所以有共同的速度和加速度;3弹力为零。 这种临界问题又分以下两种情况: 1仅靠弹簧弹力将两物体弹出,那么这两个物体必然是在弹簧原长时分开的。 例 3如图所示,两个木块A、B叠放在一起,B与轻弹簧相连,弹簧下端固定在水平面 上,用竖直向下的力F压A,使弹簧压缩量足够大后,停止压缩,系统保持静止。这时,若 突然撤去压力F,A、B将被弹出且分离。下列判断正确的是 A木块A、B分离时,弹簧的长度恰等于原长 B木块AB分离时,弹簧处于压缩状态,弹力大小等于B的重力 C木
6、块A、B分离时,弹簧处于压缩状态,弹力大小等于A、B的总重力 D木块A、B分离时,弹簧的长度可能大于原长 分析与解: 以A为对象, 既然已分开, 那么A就只受重力, 加速度竖直向下,大小为g; 又未分开,A、B加速度相同,因此B的加速度也是竖直向下,大小为g,说明B受的合力为 重力,所以弹簧对B没有弹力,弹簧必定处于原长。选A。此结论与两物体质量是否相同无 关。 例 4如图所示,轻弹簧左端固定在竖直墙上,右端与木块B相连,木块A紧靠木块B 放置,A、B与水平面间的动摩擦因数均为。用水平力F向左压A,使弹簧被压缩一定程度 后,系统保持静止。若突然撤去水平力F,A、B向右运动,下列判断正确的是 A
7、A、B一定会在向右运动过程的某时刻分开 B若A、B在向右运动过程的某时刻分开了,当时弹簧一定是原长 C若A、B在向右运动过程的某时刻分开了,当时弹簧一定比原长短 D若A、B在向右运动过程的某时刻分开了,当时弹簧一定比原长长 分析与解: 若撤去F前弹簧的压缩量很小,弹性势能小于弹簧恢复原长过程A、B克服 摩擦阻力做的功,那么撤去F后,A、B虽能向右滑动,但弹簧还未恢复原长A、B就停止滑 动,没有分离。 只要A、B在向右运动过程的某时刻分开了,由于分离时A、B间的弹力为零,因此A 的加速度是aA=g;而此时A、B的加速度相同,因此B的加速度aB=g,即B受的合力只 能是滑动摩擦力,所以弹簧必然是原
8、长。选B。 例 5如图所示,轻弹簧的一端固定在地面上,另一端与木块B相连,木块A放在木块 B上,两木块质量均为m,在木块A上施有竖直向下的力F,整个装置处于静止状态。 3 (1)突然将力F撤去,若运动中A、B不分离,则A、B共同运动到最高点时,B对A 的弹力有多大? (2)要使A、B不分离,力F应满足什么条件? 【点拨解疑 】力F撤去后,系统作简谐运动,该运动具有明显的对称性,该题利用最高 点与最低点的对称性来求解,会简单的多 (1)最高点与最低点有相同大小的回复力,只有方向相反,这里回复力是合外力在 最低点,即原来平衡的系统在撤去力F的瞬间,受到的合外力应为F/2 ,方向竖直向上;当 到达最
9、高点时,A受到的合外力也为F/2 ,但方向向下,考虑到重力的存在,所以B对A的 弹力为。 (2) 力F越大越容易分离, 讨论临界情况, 也利用最高点与最低点回复力的对称性最 高点时,A 、B间虽接触但无弹力,A 只受重力,故此时恢复力向下,大小位mg 。那么,在 最低点时, 即刚撤去力F 时,A受的回复力也应等于mg,但根据前一小题的分析,此时回复 力为F/2 ,这就是说F/2=mg。则F=2mg因此,使A、B不分离的条件是F2mg。 2除了弹簧弹力,还有其它外力作用而使相互接触的两物体分离。那么两个物体分离 时弹簧必然不一定是原长。(弹簧和所连接的物体质量不计分离时是弹簧的原长,但质量 考虑
10、时一定不是弹簧的原长,)可看成连接体。 例 6一根劲度系数为k,质量不计的轻弹簧,上端固定,下端系一质量为m的物体, 有一水平板将物体托住,并使弹簧处于自然长度。如图所示。 现让木板由静止开始以加速度 a(ag匀加速向下移动。求经过多长时间木板开始与物体分离。 分析与解: 设物体与平板一起向下运动的距离为x 时,物体受重力mg, 弹簧的弹力F=kx 和平板的支持力N作用。据牛顿第二定律有: mg-kx-N=ma得 N=mg-kx-ma 当 N=0时,物体与平板分离,所以此时 4 因为,所以。 例 7如图所示,一个弹簧台秤的秤盘质量和弹簧质量都不计,盘内放一个物体P处于 静止, P的质量 m=1
11、2kg,弹簧的劲度系数k=300N/m。现在给 P施加一个竖直向上的力F,使 P从静止开始向上做匀加速直线运动,已知在 t=0 2s 内 F是变力, 在 02s 以后 F 是恒力, g=10m/s2,则 F 的最小值是,F 的最大值是。 分析与解 :因为在t=0 2s 内 F 是变力,在t=0 2s 以后 F 是恒力,所以在t=0 2s 时, P离开秤盘。此时P受到盘的支持力为零,由于盘和弹簧的质量都不计,所以此时弹簧 处于原长。在002s 这段时间内P向上运动的距离:x=mg/k=04m 因为,所以 P在这段时间的加速度 当 P 开始运动时拉力最小,此时对物体P 有 N-mg+Fmin=ma
12、 ,又因此时N=mg ,所以有 Fmin=ma=240N 当 P与盘分离时拉力F 最大, Fmax=m (a+g)=360N 例 8一弹簧秤的秤盘质量m1=1 5kg,盘内放一质量为m2=10 5kg 的物体 P ,弹簧质 量不计,其劲度系数为k=800N/m,系统处于静止状态,如图9 所示。现给P施加一个竖直 向上的力F,使 P从静止开始向上做匀加速直线运动,已知在最初02s 内 F 是变化的,在 02s 后是恒定的,求F 的最大值和最小值各是多少?(g=10m/s2) 分析与解: 因为在t=0 2s 内 F 是变力,在t=0 2s 以后 F 是恒力,所以在t=0 2s 时, P离开秤盘。此
13、时P受到盘的支持力为零,由于盘的质量m1=1 5kg,所以此时弹簧不 能处于原长,这与例2 轻盘不同。设在0_02s 这段时间内P向上运动的距离为x,对 物体 P据牛顿第二定律可得: F+N-m2g=m2a 对于盘和物体P整体应用牛顿第二定律可得: 5 令 N=0,并由述二式求得,而,所以求得a=6m/s2 当 P开始运动时拉力最小,此时对盘和物体P整体有 Fmin=(m1+m2 )a=72N 当 P与盘分离时拉力F 最大, Fmax=m2 (a+g) =168N 例 9 如图所示, 质量均为m=500g 的木块A、B叠放在一起, 轻弹簧的劲度为k=100N/m, 上、下两端分别和B与水平面相
14、连。原来系统处于静止。现用竖直向上的拉力F拉A,使它 以a=20m/s 2 的加速度向上做匀加速运动。求:经过多长时间A与B恰好分离?上述 过程中拉力F的最小值F1和最大值F2各多大?刚施加拉力F瞬间A、B间压力多大? 分析与解: 设系统静止时弹簧的压缩量为x1,A、B刚好分离时弹簧的压缩量为x2。 kx1=2mg,x1=010m 。A、B刚好分离时,A 、B间弹力大小为零,且aA=aB=a。以B为对象, 用牛顿第二定律:kx2-mg=ma,得x2=006m ,可见分离时弹簧不是原长。该过程A、B的位 移s=x1-x2=0 04m 。由,得t=02s 分离前以A、B整体为对象,用牛顿第二定律:
15、F+kx-2mg=2ma,可知随着A、B加速上 升,弹簧形变量x逐渐减小,拉力F将逐渐增大。开始时x=x1,F1+kx1-2mg=2ma,得F1=2N; A、B刚分离时x=x2,F2+kx2-2mg=2ma,得F2=6N 以B为对象用牛顿第二定律:kx1-mg-N=ma,得N=4N 三、弹簧振子的简谐运动 轻弹簧一端固定,另一端系一个小球,便组成一个弹簧振子。无论此装置水平放置还是 竖直放置,在忽略摩擦阻力和空气阻力的情况下,弹簧振子的振动都是简谐运动。 弹簧振子做简谐运动过程中机械能守恒。水平放置的弹簧振子的总机械能E等于弹簧的 弹性势能Ep和振子的动能Ek之和,还等于通过平衡位置时振子的动
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