极值点偏移问题利器——极值点偏判定定理.pdf
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1、专题 02:极值点偏移问题利器极值点偏判定定理 一、极值点偏移的判定定理 对于可导函数)(xfy,在区间),(ba上只有一个极大(小)值点 0 x,方程0)(xf 的解分别为 21, xx ,且bxxa 21 , (1)若)2()( 201 xxfxf,则 0 21 )( 2 x xx ,即函数)(xfy在区间),( 21 xx上 极(小)大值点 0 x右(左)偏; (2)若)2()( 201 xxfxf,则 0 21 )( 2 x xx ,即函数)(xfy在区间),( 21 xx上 极(小)大值点 0 x右(左)偏 . 证明: (1)因为对于可导函数)(xfy,在区间),(ba上只有一个极大
2、 (小)值点 0 x, 则函数)(xf的单调递增(减)区间为 ),( 0 xa,单调递减(增)区间为),( 0 bx,由于 bxxa 21 , 有 01 xx, 且 020 2xxx, 又)2()( 201 xxfxf, 故 201 2)(xxx, 所以 0 21 )( 2 x xx ,即函数极(小)大值点 0 x右(左)偏; 来源 学&科 &网 Z&X&X&K (2)证明略 . 左快右慢(极值点左偏 2 21xx m)左慢右快(极值点右偏 2 21xx m) 左快右慢(极值点左偏 2 21 xx m)左慢右快(极值点右偏 2 21xx m) 二、运用判定定理判定极值点偏移的方法 1、方法概述
3、: ( 1)求出函数)(xf的极值点 0 x; ( 2)构造一元差函数)()()( 00 xxfxxfxF; ( 3)确定函数)(xF的单调性; ( 4)结合0)0(F,判断)(xF的符号,从而确定)( 0 xxf、)( 0 xxf的大小关系 . 口诀:极值偏离对称轴,构造函数觅行踪;四个步骤环相扣,两次单调紧跟随. 2、抽化模型 答题模板:若已知函数)(xf满足)()( 21 xfxf, 0 x为函数 )(xf的极值点,求证: 021 2xxx. (1)讨论函数)(xf的单调性并求出)(xf的极值点 0 x; 假设此处)(xf在),( 0 x上单调递减,在),( 0 x上单调递增 . ( 2
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