柯西不等式的最小值问题配套练习题.pdf
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1、柯西不等式的最小值问题 配套练习 1. 已知正数a,b满足 33 2ab,证明: 2244 ()()4abab. 2. 设abR、,1ab,则 11 ab 的最小值为 _. 3. 设abc、 、为各不相等的正数,求证: 2229 abbccaabc . 4. (2017年南师附中高三模拟第21(D) 题) 已知实数xyz, ,满足2xyz,求 222 23xyz 的最小值 . 5. 已知0,0,0abc,函数( )f xxaxbc的最小值为 4. (I )求a bc的值; (II )求 222 11 49 abc的最小值 . 参考答案: 1. 证明:由柯西不等式得 , 2 22442424 (
2、)()ababaabb, 即 2244332 ()()()ababab, 故 2244 ()()4abab. 解析:本题考查柯西不等式的应用,难度很小. 2. 解:由柯西不等式得 2 1111 abab abab ,即 11 4 ab , 当且仅当 11 ab ab 即 1 = 2 a b时取等号 . 说明:该题既可用柯西不等式解,还可用基本不等式解. 过程如下: 1111 ()11224 bab a ab abababa b 当且仅当= ba ab 即 1 = 2 a b时 取等号 . 这种解法主要体现了转化的思想,将1 代换为ab. 3. 证明: 222 ()()abbcca abbcca
3、 2 222 ()()()abbcca abbcca , 即 222 2()18abc abbcca , 故 2229 abbccaabc . 4. 解: 2 2222 1111 23+1231=2 2323 xyzxyz 即 222 424 23= 11 11 1 23 xyz当且仅当 23 111 23 xyz 即 6412 , 111111 xyz时取等号 . 5. 解: (I )因为( )f xxaxbc xaxbc = abc 当且仅当axb时,等号成立 . 又0,0ab,所以=abab, 所以( )f x的最小值为 abc. 又( )f x的最小值为 4,所以4abc. (II )由( I )知: 4abc ,由柯西不等式得 2 222 11 491231 4923 ab abcc 2 =16abc 即 222118 497 abc 当且仅当 11 32 231 ba c ,即 8182 , 777 abc时等号成立 . 故 22211 49 abc的最小值为 8 7 . 解析:本题的第( 1)小题,考查绝对值不等式;第( 2)小题,考查柯西不等式 . 整体考察了推理论证能力,体现了化归与转化思想.
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- 不等式 最小值 问题 配套 练习题
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