椭圆化圆的初步研究.pdf
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1、椭圆化圆的初步研究 椭圆化圆就是通过“伸缩变换”将坐标空间伸缩,使椭圆转化成圆(有些题目须再化回椭圆),使问题的运算量下降、 难度降低,毕竟圆的“数形结合”属性要比椭圆明显好用的多!这也是转化化归思想的体现。并不是所有椭圆问题都可以 化圆处理, 必须保证转化前后的等价性。 目前我认为能够明确等价的是: “直线与椭圆的位置关系”伸缩后等价于“直线与圆的位置关系”; 直线平行关系等价; (直线的垂直关系及夹角大小一般会改变); 面积与伸缩成正比; 直线斜率与伸缩反比; 坐标与完全伸缩同步。 平行或共线 的线段长度比值不变!相互垂直的线段比值化其中一个关于y=x 对称点后不变(见后面 08 文) !
2、 (证明略,其他情况暂不可控!) 目前为止,我尚不能确定长度、角度是否存在可实际操作的关系,暂认为“不可控”。由于山东高考题11 年来文理科 均有一些题目必须依赖长度,因此能够用“椭圆化圆”处理的题目比例约为60% 多一点(准确统计见后面的统计表),尽管 “椭圆化圆”不是一种放之四海皆准的“通法”,但依然有很大的使用价值,从知识上看:近几年尖子生难以逾越140 与 解析几何关系最大,我们岂能因循守旧坐以待毙! 11, 22 2 2 2 2 yx b y a x b x y a x x可转化为则椭圆 SabSS ab S mk b a kmxkaybmkxy 即 不 变 !纵 截 距可 化 为
3、:直 线 , 1 , 椭圆化圆在山东高考中的有效率统计: 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 山东理科 抛物线双曲线椭圆抛物线椭圆椭圆椭圆抛物线椭圆抛物线椭圆 不可用不可用可用不可用不可用不可用有效不可用有效不可用有效椭圆化圆 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 山东文科 抛物线椭圆椭圆椭圆椭圆椭圆椭圆椭圆椭圆椭圆椭圆 不可用有效可用有效不可用可用有效不可用有效有效有效椭圆化圆 椭圆有效率11 年近 9 年近 5 年近 3 年 山东文科总有效率54
4、% 56% 80% 100% 山东文科椭圆类有效率60% 56% 80% 100% 山东理科总有效率28% 33% 60% 67% 山东理科椭圆类有效率50% 50% 100% 100% 例题分析: (2015 山东理 20题 ) 平面直角坐标系 xOy 中, 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 3 2 , 左、 右焦点分别是 12 ,F F , 以 1 F 为圆心,以3 为半径的圆与以 2 F 为圆心,以1 为半径的圆相交,交点在椭圆C上 . ()求椭圆C的方程; ()设椭圆 22 22 :1 44 xy E ab ,P为椭圆 C上的任意一点,过点P的直线 yk
5、xm 交椭圆 E于 A,B 两点,射线PO交椭 圆 E于点 Q. ()求 | | OQ OP 的值;()求 ABQ 面积最大值 . 研究:()椭圆C的方程为 2 2 1 4 x y . 过程略。 () ()椭圆化圆:1, 2 22 yxCyy x x可化 为圆:则椭 圆,椭圆4 22 yxE可化为圆:, 如下图由数形结合知: PO QO OP OQ 2 1 2 r r () ()1, 2 22 yxCyy x x可化 为圆:则椭 圆, 椭圆4 22 yxE可化为圆:, 10 4)(42 2 1 63 2 2222 dABOd ddddSSS OBAABOABQ 的距离,到直线为其中 364)(
6、6 222 ddS ABQ ( 2015 山东文 21 题仅第( 1)问与理科稍有不同,略) 与常规法相比“椭圆化圆”充分利用了圆“数形结合”的属性,使此题此题大大降低运 算量与运算能力!甚至可以乐观地估计,只要能够合理的转化过来,那么此题大部分“一本 线上”的学生都能够得满分! O P Q ( 2014 文 22)圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 3 2,直线 yx 被椭圆 C 截得的线段长为 4 10 5 . ()求椭圆 C 的方程;(II)过原点的直线与椭圆C 交于 A,B 两点( A,B 不是椭圆C 的顶点) . 点 D 在椭圆 C 上,且 ADAB ,直线
7、BD 与 x轴、 y 轴分别交于M,N 两点 . ( i)设直线BD, AM 的斜率分别为 12 ,k k ,证明存在常数使得 12 kk ,并求出的值; ( ii)求 OMN 面积的最大值 . 注:本题由课本经典结论改编而成! 研究:()椭圆 C 的方程: 1 4 2 2 y x ,过程略。 ( II) (i)1, 2 22 yxCyy x x可化 为圆:则椭 圆. 由题知:41 ADABADAB kkkk 1 1AB kk, 111 44, 1k x y kkkk B B ABAD ,设直线)0,3()( 4 : BB B B B xMxx x y yyDB 2 1 2 1 2 1 2 2
8、 212112 kkkkk x y k B B ( ii)由( i)可求的: 8 9 2 16 9 )( 16 9 8 9 2 1 ) 4 3 ,0( 22 OMNOMN BB BBOMNB SS yxyxNOMOSyN 此题“椭圆化圆” 的优势并不明显, 因为此涉及斜率较多, 即使在椭圆内运算量也不大, 主要是量的代换问题! 因此此题不是一道很典型适合 “椭圆化圆” 的题目,不过总体来看“椭 圆化圆”还是使得此题稍变简单! A B D M N ( 2013 山东高考数学理科22 题) 椭圆 C: 22 22 1 xy ab (ab0)的左、右焦点分别是F1、F2,离心率为 3 2 ,过 F1
9、且垂 直于 x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为l. ()求椭圆C 的方程;答案:1 4 2 2 y x ()点 P是椭圆 C 上除长轴端点外的任一点,连接PF1、PF2,设 F1PF2的角平分线 PM 交 C 的长轴于点M(m,0) , 求 m 的取值范围; ()在()的条件下,过点p 作斜率为k 的直线 l,使得 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点,设直线 PF1,PF2的斜率分 别为 k1,k2,若 k0,试证明 12 11 kkkk 为定值,并求出这个定值. 研究:()考吧!系难找到!请老师们思的角平分线了,等价关已经不再是伸缩后 21PF FPM ()1, 2 22 yxCyy x
10、x可化 为圆:则椭 圆. 8) 11 (4 11 , 2 3 , 2 32121 21 kkkkkkkky x k x y k x y k P P P P P P 太轻松了! 椭圆化圆与常规方式比较起来无论是思维难度还是运算难度大大降低,甚至相当于一道小题! ( 2013 山东高考数学文科22 题( 2) )A,B 为椭圆 C:1 2 2 2 y x 上满足AOB的面积为 6 4 的任意两点,E 为线段 AB 的中点,射线OE 交椭圆 C 与点 P,设OPtOE,求实数t的值 研究: 1, 2 22 yxCyy x x可化为圆:则椭圆 , 方式一: 3 32 2 1 4 3 4 1 4 3 1
11、2 2 1 2 22 或,或 dEO PO OE OP tdddSSS AOBAOBAOB 方式二: 3 32 2 1 2 3 3 sin 2 1 6 sin 3 2 34 3 sin 2 1 2 2 或 或 或 dEO PO OE OP t rOEdrOEd BOABOArSSS AOBAOBAOB 由于三角形面积公式太多,其他方式略。 椭圆化圆与常规方式比较起来无论是思维难度还是运算难度大大降低,甚至相当于一道小题! (2012 文科 21) 如图,椭圆 22 22 :1(0) xy Mab ab 的离心率为 3 2 , 直线xa和 yb所 围成的矩形ABCD 的面积为8.()求椭圆 M
12、的标准方程; () 设直线:()lyxm mR 与 椭圆 M 有两个不同的交点,P Q l 与矩形ABCD 有两个不同的交点,S T .求 | | PQ ST 的最大值及 取得最大值时m 的值 . 研究:虽然长度本身伸缩后的变换“不可控”,但是共线与平行线段的比值伸缩前后不变,因此可保证此题的等价性! 解析:mxyyxCyy x x21, 2 22 ,直线可化为:可化为圆:则椭圆 当3, 12m时, )12( 2 6 3 12 2 m m ST PQ ,以下略。 当21 ,3m时,与3, 12m时对称,结果相同! 当1-2,2-1m时, 2 6 3 12 2 m ST PQ ,以下略。 本题与
13、常规方法相比椭圆化圆使得 QP 运算简化,但是 ST 、 | | PQ ST 等运算不仅未得到简化甚至略有增加。当然不排 除换一种处理方式会好一些,我暂时还未想到其他好的处理方式!2012 理科考得是抛物线,无法转化! ( 2011理科 22 题)已知直线 l 与椭圆 C: 22 1 32 xy 交于 P 1 x y.Q 1 xy 两不同点,且OPQ 的面积 S= 6 2 , 其中 Q为坐标原点。()证明: 2 2 2 1 xx和 2 2 2 1 yy均为定值()设线段 PQ的中点为M ,求PQOM的最大值; () 椭圆 C上是否存在点D,E,G,使得 2 6 OEGODGODE SSS若存在
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- 椭圆 初步 研究
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