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1、二零一六年八月十二日 已知正方形 ABCD,AB=6,点 P 在对角线 BD 上,AP 交 DC 于 G,PHDC, PEPA 交 BC 于 E,PFBC,垂足为 F 点,连结 EG 交 PF 于 N,连结 AN 交 PE 于 M,EKBD 于 K,连结 AE 交 BD 于 Q 点。 第一问求证: PAE 是等腰直角三角形; 方法一:在四边形ABEP 中,ABE=APE=90,即 ABE+APE=180,由此可知A、B、E、P四点共圆 . 故AEP=ABD=45 , 所以 PAE 是等腰直角三角形。 方法二:根据对称性知AP=CP,PAB=PCB. 在四边形 ABEP 中, ABE=APE=9
2、0,即 PAB+PEB=180, 又PEB+PEC=180,所以 PAB=PEC, 故PEC=PCB,PE=PC,AP =PE . 又APE=90,所以 PAE 是等腰直角三角形。 方法三:过 P做 PI 垂直 AB,垂足为 I,易知四边形 IBFP 为正方形 . 由APE=IPF=90可得 API=EPF. 又 PI=PF,故 RtAIPRtEFP,从而 AP=EP. 所以 PAE 是等腰直角三角形。 第二问求证: EF=FC ; 简证:由第一问方法二可知EP=CP. 又 PFBC,故 EF=FC(“三线合一”)。 第三问求证: PB-PD= 2BE; 简证: PB=2BF,PD=2PH=2
3、FC=2EF, 故 PB-PD=2(BF-EF)=2BE。 第四问求证: EG=EB+DG ; 简证:由第一问可知 EAP=45,即 BAE+GAD=45. 在 CB 的延长线上取一点G,使BG =DG. 易知 RtABGRtADG,即 G AB=GAD,AG =AG. 所以 G AE=G AB+BAE=GAD+ BAE=45. 在G AE 和GAE 中, AG =AG,G AE=GAE=45,AE=AE 即G AEGAE, 从而 EG=EG =EB+BG =EB+DG。 第五问求证: BC+BE=2BP; 简证:由第二问可知EF=FC, 故 BC+BE=2BF. 又 BP=2BF,即2BP=
4、2BF,所以 BC+BE=BP。 第六问求证: GA 平分DGE ; 简证:由第四问可知AG E=AGE=AGD, 故 GA 平分 DGE。 第七问求证: A 到 EG 的距离为定值; 方法一: 过点 A 作 EG 的垂线,垂足为N . 由第六问可知GA 平分 DGE,即AGN =AGD, 故 RtAGNRtAGD,所以 AN=AD=6,即 A 到 EG 的距离为 6(定值)。 方法二:令 A 到 EG 的距离为 h,BE=x,DG=y. 由等面积法,得 yxyxhyx66 2 1 6 2 1 6 2 1 66 2 1 ,即 . 36 yx xy h 由勾股定理,得 yxyx66 22 ,即.
5、636yxxy 故 为定值6 636 yx yx yx xy h。 第八问求证: EFN 的周长为定值; 简证:由第二问可知F 为 EC 的中点,所以. 2 1 ECGEFGCC 由第四问可知EG=BE+DG,故,12)()(GCDGECBEGCECEGC ECG 所以6 EFG C。 第九问求证: FH=AP ; 简证:由第一问可知AP=CP. 又四边形 PFCG为矩形,所以 FH=CP,故 FH=AP。 第十问求证: BAE= BPE; 简证:由第一问可知QEP=45,又 ABQ=45, 在AQB 和PQE 中,AQB=PQE,QEPABQ=45, 所以 BAE=BPE。 第十一问求证:
6、APB= AEG ; 简证:同理第十问,得APB= AEB. 由第四问,可知AEB= AEG , 故APB= AEG 。 第十二问求证: DGE=2 AQD ; 简证:同理( 10),得AQD= AGD. 又由(6)可知DGE=2 AGD. 故DGE=2 AQD 。 第十三问求证:PQ 2=BQ2+PD2; 简证:将 ABQ 沿 AQ翻折,点 B的对应点为 B ,并连接 AB 、PB . BAQ= B AQ ,B AQ+ B AP=45 , BAQ+ DAP=45 , 即B AP= DAP. 又 AB =AB=AD, 故B AP DAP. 从而AB P= ADP=45 ,PD=PB . 又AB
7、 Q= ABQ=45 ,BQ=QB . 所以, QB P=90 , PQ 2=QB 2+PB 2=BQ2+PD2。 第十四问求证:AB=2PK ; 方法一:连接 AC ,易知 AC BD ,交点为 O. PAO+ APO=90 , EPK+ APO=90 . 故PAO= EPK. 由第一问可知, AP=PE , 即 RtPAO RtEPK, 得 PK=AO. 易知 AB= 2AO,所以 AB=2PK. 方法二: KP=BD-(BK+PD) =BD-( 2 2 BE+2PH) =BD-( 2 2 BE+2 2 EC ) =BD- 2 2 (BE+EC) =BD- 2 2 BC = 2AB- 2
8、2 AB = 2 2 AB , 故 AB= 2PK 。 第十五问若 BE=2,求 PF ; 简解:由 BE=2 ,BC=6,得 EF=FC=2 ,PF=4, 所以,PF=BF=4 。 第十六问若EPF=22.5,求 PF; 简解:因为 EPF=22.5,所以 PEF=67.5. 易知PAB= PEF,故PAB=67.5 . 又ABP=45 ,故 APB=67.5. 所以,BP=AB=6. 又 BP= 2PF,从而, PF= 2 2 BP= 2 2 6=23。 第十七问若PEC为等边三角形,求PD的长; 简解:因为 PEC为等边三角形,所以 PCH=30 . 令 PH=x ,则 HC=3x,PD
9、=x2,DH=x36. 又 PH=DH ,所以 x=x36,即 x=133. 故 PD=)26(32x。 第十八问若 SABE=6, 求 S ECG; 简解:因为 S ABE=6,AB=6,所以 BE=2,EC=4. 由第四问可知 EG=EB+DG. 令 DG=x ,得 EG=2+x ,GC=6-x , 在 RtECG 中,根据勾股定理,得 (2+x) 2=42+(6-x)2,即 x=3. 所以,DG=3 ,GC=6-x=3. 故 S ECG= 634 2 1 2 1 GCEC。 第十九问若 AN EG,求 PD ; 简解:由 AN EG,易知 EG BD,AN BD, EAB= EAN= GAN= GAD=22.5 , 故BAP= BPA=67.5 ,即 BP=AB , 所以,PD=BD-BP=BD-AB= 626。 第二十问若 AN EG ,求证: NA-NE=2NP ; 简证:由 AN EG ,易知 NA=AB=BC,BE=NE=NG=NP. 故 NA-NE=BC-BE=EC= 2 2 EG= NPNP22 2 2 。
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