知识讲解_数列的全章复习与巩固_提高.pdf
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1、数列的全章复习与巩固 编稿:李霞审稿:张林娟 【学习目标】 1系统掌握数列的有关概念和公式; 2掌握等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式与前n项和公式,并运用这些知识解决问题; 3了解数列的通项公式 n a与前n项和公式 n S的关系,能通过前n项和公式 n S求出数列的通项公 式 n a; 4掌握常见的几种数列求和方法. 【知识网络】 【要点梳理】 要点一:数列的通项公式 数列的通项公式 一个数列 n a的第 n 项 n a与项数 n 之间的函数关系,如果可以用一个公式( ) n af n来表示,我 们就把这个公式叫做这个数列的通项公式. 要点诠释: 不是每个数列都能写出它的通项公式.如
2、数列 1,2,3,1,4,2,就写不出通项公式; 有的数列虽然有通项公式,但在形式上又不一定是唯一的.如:数列 1,1,1,1,的通项 公式可以写成( 1) n n a,也可以写成cos n an; 数列的通项 1 1 ,(1) ,(2) n nn Sn a SSn 通项公式 等差中项 前 n项和公式 等差数列性质 通项公式 等比中项 前 n项和公式 等比数列性质 数列 数列前 n 项和 数列的递推公式 应 用 仅仅知道一个数列的前面的有限项,无其他说明,数列是不能确定的. 通项 n a与前 n 项和 n S的关系: 任意数列 n a的前 n 项和 12nn Saaa; 1 1 (1) (2)
3、 n nn Sn a SSn 要点诠释: 由前 n 项和 n S求数列通项时,要分三步进行: (1)求 11 aS, (2)求出当n2 时的 n a, (3)如果令n2时得出的 n a中的 n=1 时有 11 aS成立,则最后的通项公式可以统一写成一个形 式,否则就只能写成分段的形式. 数列的递推式: 如果已知数列的第一项或前若干项,且任一项 n a与它的前一项 1n a 或前若干项间的关系可以用一 个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式,简称递推式. 要点诠释: 利用递推关系表示数列时,需要有相应个数的初始值,可用凑配法、换元法等. 要点二:等差数列 判定一个数列为等差数列的常用
4、方法 定义法: 1nn aad(常数) n a是等差数列; 中项公式法: 12 2(*) nnnn aaanNa是等差数列; 通项公式法: n apnq(p,q 为常数) n a是等差数列; 前 n 项和公式法: 2 n SAnBn(A,B 为常数) n a是等差数列 . 要点诠释: 对于探索性较强的问题,则应注意从特例入手,归纳猜想一般特性. 等差数列的有关性质: (1)通项公式的推广:+(nm nm aa)d (2)若 * ()mnpq mnpqN、 、 、,则 mnpq aaaa; 特别,若2mnp,则 2 mnp aaa (3) 等差数列 n a中, 若 * mnp mnpN、 、(
5、、 、)成等差数列,则 mnp aaa、成等差数列. (4)公差为d 的等差数列中,连续k 项和 232 , kkkkk S SS SS, 组成新的等差数列. (5)等差数列 n a,前 n 项和为 n S 当 n 为奇数时, 1 2 nn Sn a; 1 2 n SSa 奇偶 ; 1 1 S n Sn 奇 偶 ; 当 n 为偶数时, 1 22 () 2 nn n aa Sn; 1 2 SSdn 偶奇 ; 2 1 2 n n a S Sa 奇 偶 . (6)等差数列 n a,前 n 项和为 n S,则 mnm n SSS mnmn (m、nN* ,且 m n ). (7)等差数列 n a中,若
6、 m+n=p+q (m、n、p、 qN* ,且 m n ,pq) ,则 pq mn SS SS mnpq . (8) 等差数列 n a中, 公差 d, 依次每 k 项和: k S, 2kk SS, 32kk SS成等差数列, 新公差 2 dk d. 等差数列前n 项和 n S的最值问题: 等差数列 n a中 若 a10,d0, n S有最大值,可由不等式组 1 0 0 n n a a 来确定 n; 若a1 0, d 0, n S有最小值,可由不等式组 1 0 0 n n a a 来确定n,也可由前n 项和公式 2 1 () 22 n dd Snan来确定 n. 要点诠释: 等差数列的求和中的函
7、数思想是解决最值问题的基本方法. 要点三:等比数列 判定一个数列是等比数列的常用方法 (1)定义法: 1n n a q a (q 是不为 0 的常数, n N* ) n a是等比数列; (2)通项公式法: n n acq(c、q 均是不为 0 的常数 nN* ) n a是等比数列; (3)中项公式法: 2 12nnn aaa( 12 0 nnn aaa,*nN) n a是等比数列 . 等比数列的主要性质: (1)通项公式的推广: n m nm aa q (2)若 * ()mnpq mnpqN、 、 、,则 mnpq aaaa. 特别,若2mnp,则 2 mnp aaa (3) 等比数列 n a
8、中, 若 * mnp mnpN、 、( 、 、)成等差数列,则 mnp aaa、成等比数列. (4)公比为q 的等比数列中,连续k 项和 232 , kkkkk S SS SS, 组成新的等比数列. (5)等比数列 n a,前 n 项和为 n S,当 n 为偶数时,SS q 偶奇 . (6)等比数列 n a中,公比为 q,依次每 k 项和: k S, 2kk SS, 32kk SS成公比为q k 的等比 数列 . (7)若 n a为正项等比数列,则log an a( a0 且 a1 )为等差数列;反之,若 n a为等差数 列,则 n a a(a 0 且 a1 )为等比数列 . (8)等比数列
9、n a前 n 项积为 n V,则 (1) 2 1 (*) n n n n Va qnN 等比数列的通项公式与函数: 1 1 n n aa q 方程观点:知二求一; 函数观点: 11 1 nn n a aa qq q 01qq且时,是关于n 的指数型函数; 1q时,是常数函数; 要点诠释: 当1q时,若 1 0a,等比数列 n a是递增数列;若 1 0a,等比数列 n a是递减数列; 当01q时,若 1 0a,等比数列 n a是递减数列;若 1 0a,等比数列 n a是递增数列; 当0q时,等比数列 n a是摆动数列; 当1q时,等比数列 n a是非零常数列. 要点四:常见的数列求和方法 公式法
10、: 如果一个数列是等差数列或者等比数列,直接用其前n 项和公式求和. 分组求和法: 将通项拆开成等差数列和等比数列相加或相减的形式,然后分别对等差数列和等比数列求和.如: an=2n+3 n. 裂项相消求和法: 把数列的通项拆成两项之差,正负相消,剩下首尾若干项的方法.一般通项的分子为非零常数,分 母为非常数列的等差数列的两项积的形式. 若 1 ()() n a AnBAnC ,分子为非零常数,分母为非常数列的等差数列的两项积的形式, 则) 11 ( 1 )( 1 CAnBAnBCCAnBAn an,如 an= 1 (1)n n 11 1nn 错位相减求和法: 通项为非常数列的等差数列与等比数
11、列的对应项的积的形式: nnn cba, 其中 n b是公差 d0 等差数列, n c是公比 q1等比数列,如an=(2n-1)2 n. 一般步骤: nnnnn cbcbcbcbS 112211 ,则 1211nnnnn qSbcbcb c 所以有 13211 )()1( nnnn cbdccccbSq 要点诠释: 求和中观察数列的类型,选择合适的变形手段,注意错位相减中变形的要点. 要点五:数列应用问题 数列应用问题是中学数学教学与研究的一个重要内容,解答数学应用问题的核心是建立数学模型,有 关平均增长率、利率(复利)以及等值增减等实际问题,需利用数列知识建立数学模型. 建立数学模型的一般方
12、法步骤. 认真审题,准确理解题意,达到如下要求: 明确问题属于哪类应用问题; 弄清题目中的主要已知事项; 明确所求的结论是什么. 抓住数量关系,联想数学知识和数学方法,恰当引入参数变量或适当建立坐标系,将文字语言翻 译成数学语言,将数量关系用数学式子表达. 将实际问题抽象为数学问题,将已知与所求联系起来,据题意列出满足题意的数学关系式(如函 数关系、方程、不等式). 要点诠释: 数列的建模过程是解决数列应用题的重点,要正确理解题意,恰当设出数列的基本量. 【典型例题】 类型一:数列的概念与通项 例 1写出数列: 1 5 , 10 3 , 5 17 , 26 7 , 的一个通项公式. 【思路点拨
13、】 从各项符号看, 负正相间, 可用符号( 1) n 表示; 数列各项的分子:1,3,5,7, 是个奇数列, 可用21n表示;数列各项的分母: 5, 10, 17, 26, 恰是 2 21, 2 31, 2 41, 2 51, 可用 2 (1)1n表示 . 【解析】通项公式为: 2 21 ( 1) (1)1 n n n a n . 【总结升华】 求数列的通项公式就是求数列中第n项与项数n之间的数学关系式.如果把数列的第1,2,3, 项分别记作(1)f,(2)f,(3)f,那么求数列的通项公式就是求以正整数n(项数 )为自变量的函数 ( )f n的表达式; 通项公式若不要求写多种形式,一般只写出
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