知识讲解_基础_等差数列及其前n项和.pdf
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1、等差数列及其前n 项和 编稿:张希勇审稿:李霞 【学习目标】 1. 理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公式与前n项和公式, 了解等差数列与一次函数的关系; 2. 理解等差数列的性质,并会用性质灵活解决问题;体会等差数列的前n 项和公式与二次函数的关系 的联系,能用二次函数的知识解决数列问题. 3. 能在具体的问题情境中,识别数列的等差关系,并能用有关知识解决相应的问题. 【学习策略】 数列是特殊的函数,类比一次函数、二次函数等有关知识,研究等差数列的通项公式及前n 项和公式 的性质特点。 注意方程思想的应用:等差数列的通项公式和前n项和公式中,共涉及 1 a、n、d、 n a、 n S五个
2、量, 已知其中任意三个量,通过解方程或者方程组,便可求出其余两个量。 【要点梳理】 要点一、等差数列的定义 文字语言形式 一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,这个数列就叫做等 差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示。 要点诠释: 公差d一定是由后项减前项所得,而不能用前项减后项来求; 共同特征:从第二项起,每一项与它前面一项的差等于同一个常数d(即公差); 符号语言形式 对于数列 n a,若 1nn aad(nN,2n,d为常数 )或 1nn aad(nN,d为常数 ),则此 数列是等差数列,其中常数d叫做等差数列的公差。 要点诠释: 定义
3、中要求 “ 同一个常数d” ,必须与n无关。 等差中项 如果a,A,b成等差数列,那么 A叫做a与b的等差中项,即 2 ba A . 要点诠释: 两个数的等差中项就是两个数的算术平均数。任意两实数a,b 的等差中项存在且唯一. 三个数a,A,b成等差数列的充要条件是 2 ba A. 要点二、等差数列的通项公式 等差数列的通项公式 首相为 1 a,公差为d的等差数列 n a的通项公式为: 1 (1) n aand( * nN) 推导过程: (1)归纳法: 根据等差数列定义 1nn aad可得: 1nn aad, 211 (21)aadad, 32111 ()2(3 1)aadaddadad, 4
4、3111 (2 )3(41)aadaddadad, dnaan)1( 1 当 n=1 时,上式也成立 归纳得出等差数列的通项公式为:dnaan ) 1( 1 (nN) 。 (2)叠加法: 根据等差数列定义 1nn aad,有: 21 aad, 32 aad, 43 aad, 1nn aad 把这1n个等式的左边与右边分别相加(叠加),并化简得 1 (1) n aand, 1 (1) n aand. (3)迭代法: dnadddaddadaa n nnn)1()()(1 2 221 1 (1) n aand. 要点诠释: 通项公式由首项 1 a和公差d完全确定, 一旦一个等差数列的首项和公差确定
5、,该等差数列就唯一确 定了。 通项公式中共涉及 1 a、n、d、 n a四个量,已知其中任意三个量,通过解方程,便可求出第四个 量。 等差数列通项公式的推广 已知等差数列 n a中,第m项为 m a,公差为d,则: () nm aanm d 证明: 1 (1) n aand, 1 (1) m aamd 11 (1) (1) () nm aaandamdnm d () nm aanm d 由上可知,等差数列的通项公式可以用数列中的任一项与公差来表示,公式 1 (1) n aand可以看 成是1m时的特殊情况。 要点三、等差数列的性质 等差数列 n a中,公差为d,则 若 , ,m n p qN,
6、且mnpq,则 mnpq aaaa, 特别地,当2mnp时 2 mnp aaa. 下标成公差为m的等差数列的项 k a, km a, 2km a, 组成的新数列仍为等差数列,公差为md. 若数列 n b也为等差数列,则 nn ab, n kab, (k,b 为非零常数)也是等差数列. 123456789 ,aaaaaaaaa 仍是等差数列. 数列+ n ab(, b为非零常数)也是等差数列. 要点四、等差数列的前n项和公式 等差数列的前n项和公式 公式一: 2 )( 1n n aan S 证明:倒序相加法 nnn aaaaaS 1321 1221 aaaaaS nnnn +: 121321 2
7、()()()() nnnnn Saaaaaaaa 121321nnnn aaaaaaaa )(2 1nn aanS 由此得: 2 )( 1n n aan S 公式二: 2 ) 1( 1 dnn naSn 证明: 将dnaan ) 1( 1 代入 2 )( 1n n aan S可得: 2 )1( 1 dnn naSn 要点诠释: 倒序相加是数列求和的重要方法之一。 上面两个公式均为等差数列的求和公式,共涉及 1 a、n、d、 n a、 n S五个量,已知其中任意三个 量,通过解方程组,便可求出其余两个量。 要点五、等差数列的前n项和的有关性质 等差数列 n a中,公差为d,则 连续k项的和依然成
8、等差数列,即 k S, 2kk SS, 32kk SS,成等差数列,且公差为 2 k d. 若项数为2n,则 21 () nnn Sn aa,SSnd 偶奇 , 1 n n Sa Sa 奇 偶 若项数为2n-1,则 21 (21) nn Sna, n Sna 奇 ,(1) n Sna 偶 , n SSa 奇偶 , 1 Sn Sn 奇 偶 要点六、等差数列中的函数关系 等差数列 n a的通项公式是关于n 的一次函数 (或常数函数 ) 等差数列 n a中, 11 (1)() n aanddnad,令 1 adb,则: n adnb(d,b是常数且d为公差) (1)当0d时, n ab为常数函数,
9、n a为常数列;它的图象是在直线yb上均匀排列的一群孤 立的点。 (2)当0d时, n adnb是n的一次函数; 它的图象是在直线ydxb上均匀排列的一群孤立 的点。 当0d时,一次函数单调增, n a为递增数列; 当d0 时,一次函数单调减, n a为递减数列。 等差数列 n a的前n项和公式是关于n 的一个常数项为零的二次函数(或一次函数) 由n d an d d nn naSn) 2 ( 22 ) 1( 1 2 1 ,令 2 d A, 1 2 d Ba,则: 2 n SAnBn(A,B为常数) (1)当0d即0A时, 1n SBnna, n S是关于 n的一个一次函数;它的图象是在直线
10、1 ya x 上的一群孤立的点。 (2)当0d即0A时, n S是关于n的一个常数项为零的二次函数;它的图象是在抛物线 2 yAxBx上的一群孤立的点。 当0d时 n S有最小值 当0d时, n S有最大值 要点诠释: 1. 公差不为0 的等差数列 n a的通项公式是关于n的一次函数。 2. n apnq(p,q是常数)是数列 n a成等差数列的充要条件。 3. 公差不为0 的等差数列 n a的前n项和公式是关于n 的一个常数项为零的二次函数。 4. 2 n SAnBn( 其中A,B为常数 ) 是数列 n a成等差数列的充要条件. 【典型例题】 类型一:等差数列的定义 例 1.(1)求等差数列
11、3,7,11, 的第 11 项. (2)100 是不是等差数列2,9, 16, 的项?如果是,是第几项?如果不是,说明理由. 【思路点拨】 (1)根据所给数列的前2 项求得首项和公差,写出该数列的通项公式,从而求出所求项;(2)题中要 想判断一数是否为某一数列的其中一项,关键是要看是否存在一正整数n值,使得 n a等于这一数 . 【解析】 (1)根据题意可知: 1 3a,734d. 该数列的通项公式为:34(1)41 n ann(1n,nN) 11 34(11 1)43a. (2)根据题意可得: 1 2a,927d. 此数列通项公式为: 27(1)75 n ann(1n,nN). 令75100
12、n,解得:15n, 100 是这个数列的第15 项. 【总结升华】 1.根据所给数列的前2 项求得首项 1 a和公差d,写出通项公式 n a. 2.要注意解题步骤的规范性与准确性. 举一反三: 【变式 1】求等差数列8,5,2 的第 21 项 【答案】由 1 8a,58253d, 21 8(21 1) ( 3)52a. 【变式 2】 20 是不是等差数列0, 7 2 ,7, 的项?如果是,是第几项?如果不是,说明理由. 【答案】由题意可知: 1 0a, 7 2 d,此数列的通项公式为: 77 22 n an, 令 77 20 22 n,解得 47 7 nN,所以 20 不是这个数列的项. 【变
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