空间几何体的三视图及表面积和体积的计算问题.pdf
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1、第 1 讲空间几何体的三视图及表面积 和体积的计算问题 高考定位1.三视图的识别和简单应用;2.简单几何体的表面积与体积计算,主 要以选择题、填空题的形式呈现,在解答题中,有时与空间线、面位置证明相结 合,面积与体积的计算作为其中的一问. 真 题 感 悟 1.(2016 全国卷)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条 互相垂直的半径 .若该几何体的体积是 28 3 ,则它的表面积是 () A.17 B.18 C.20 D.28 解析由题知,该几何体的直观图如图所示,它是一个球(被过球心 O 且互相垂 直的三个平面 ) 切掉左上角的 1 8后得到的组合体,其表面积是球面面积的 7
2、 8和三个 1 4圆面积之和, 易得球的半径为 2,则得 S 7 84 2 231 4 2 217. 答案A 2.(2017 全国卷)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何 体的三视图, 该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积 为() A.90 B.63 C.42 D.36 解析法一(割补法 )由几何体的三视图可知,该几何体是一个圆柱被截去上面 虚线部分所得,如图所示. 将圆柱补全,并将圆柱体从点A 处水平分成上下两部分 .由图可知,该几何体的 体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的 1 2,所以该几何体的体积 V 3 24 3261 263. 法二(
3、估值法 )由题意知, 1 2V 圆柱V几何体V圆柱,又 V圆柱 3 21090 , 45 V几何体90.观察选项可知只有63 符合. 答案B 3.(2017 全国卷)已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2 的同一个 球的球面上,则该圆柱的体积为() A. B.3 4 C. 2 D. 4 解析如图画出圆柱的轴截面ABCD,O 为球心.球半径 ROA1,球心到底面 圆的距离为 OM 1 2. 底面圆半径 rOA 2OM2 3 2 ,故圆柱体积 Vr 2 h3 2 2 13 4 . 答案B 4.(2017 全国卷)已知三棱锥 SABC 的所有顶点都在球O 的球面上, SC 是球 O 的直径.
4、若平面 SCA平面 SCB,SAAC,SBBC,三棱锥 SABC 的体积为 9,则球 O 的表面积为 _. 解析如图,连接 OA,OB,因为 SAAC,SB BC,所以 OASC,OBSC. 因为平面 SAC平面 SBC,平面 SAC平面 SBCSC,且 OA? 平面 SAC,所以 OA平面 SBC. 设球的半径为 r,则 OAOBr,SC2r, 所以 VASBC1 3S SBCOA 1 3 1 22rrr 1 3r 3, 所以 1 3r 39? r3,所以球的表面积为 4 r 236. 答案36 考 点 整 合 1.空间几何体的三视图 (1)几何体的摆放位置不同,其三视图也不同,需要注意长对
5、正、高平齐、宽相 等. (2)由三视图还原几何体:一般先从俯视图确定底面,再利用正视图与侧视图确 定几何体 . 2.空间几何体的两组常用公式 (1)柱体、锥体、台体的侧面积公式: S柱侧ch(c 为底面周长, h 为高); S锥侧1 2ch( c 为底面周长, h 为斜高); S台侧1 2(cc) h(c ,c 分别为上下底面的周长, h为斜高 ); S球表4 R 2(R 为球的半径 ). (2)柱体、锥体和球的体积公式: V柱体Sh(S为底面面积, h 为高); V锥体1 3Sh(S为底面面积, h 为高); V球 4 3 R 3. 热点一空间几何体的三视图与直观图 【例 1】 (1)“牟合
6、方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造 的一个和谐优美的几何体.它由完全相同的四个曲面构成,相对的两个曲面在同 一个圆柱的侧面上,好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞 (方盖).其直观图如图, 图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线.当其正视图和侧视图完全相同时, 它的俯视图可能是 () (2)(2017 泰安模拟 )某三棱锥的三视图如图所示,其侧视图为直角三角形,则该 三棱锥最长的棱长等于 () A.42 B. 34 C. 41 D.5 2 解析(1)由直观图知,俯视图应为正方形,又上半部分相邻两曲面的交线为可 见线,在俯视图中应为实线,因此,选项B 可以是几何体的俯视图. (2
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