空间向量及其运算.pdf
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1、空间向量及其运算 最新考纲考情考向分析 1.了解空间向量的概念,了解空间向量的基 本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解 及其坐标表示 . 2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示. 3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能 运用向量的数量积判断向量的共线和垂直. 本节是空间向量的基础内容,涉及空间直角 坐标系、空间向量的有关概念、定理、公式 及四种运算等内容.一般不单独命题, 常以简 单几何体为载体;以解答题的形式出现,考 查平行、垂直关系的判断和证明及空间角的 计算,解题要求有较强的运算能力. 1.空间向量的有关概念 名称概念表示 零向量模为 0 的向量0 单位向量长度 (模 )为 1 的向
2、量 相等向量方向相同且模相等的向量a b 相反向量方向相反且模相等的向量a 的相反向量为a 共线向量 表示空间向量的有向线段所在的直 线互相平行或重合的向量 a b 共面向量平行于同一个平面的向量 2.空间向量中的有关定理 (1)共线向量定理 空间两个向量a 与 b(b0)共线的充要条件是存在实数 ,使得 a b. (2)共面向量定理 共面向量定理的向量表达式:pxayb,其中 x,yR,a,b为不共线向量 . (3)空间向量基本定理 如果三个向量a,b,c 不共面,那么对空间任一向量p,存在有序实数组x,y,z,使得 p xayb zc,a,b,c叫作空间的一个基底. 3.空间向量的数量积及
3、运算律 (1)数量积及相关概念 两向量的夹角 已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作 OA a,OB b,则 AOB 叫作向量a,b 的夹角,记作a,b ,其范围是0 a,b ,若 a,b 2,则称 a 与 b 互相垂直, 记作 ab. 两向量的数量积 已知空间两个非零向量a, b,则 |a|b|cosa,b叫作向量a,b 的数量积,记作a b,即 a b |a|b|cosa,b. (2)空间向量数量积的运算律 ( a) b (a b); 交换律: a bb a; 分配律: a (bc)a b a c. 4.空间向量的坐标表示及其应用 设 a(a1,a2,a3),b(b1,b2, b3)
4、. 向量表示坐标表示 数量积a ba1b1a2b2a3b3 共线a b(b 0, R)a1b 1,a2 b2,a3b3 垂直 a b0 (a0,b0) a1b1a2b2a3b3 0 模|a|a2 1a 2 2a 2 3 夹角 a,b (a0,b0) cosa,b a1b1a2b2a3b3 a 2 1 a 2 2a 2 3 b 2 1b 2 2b 2 3 概念方法微思考 1.共线向量与共面向量相同吗? 提示不相同 .平行于同一平面的向量就为共面向量. 2.零向量能作为基向量吗? 提示不能 .由于零向量与任意一个非零向量共线,与任意两个非零向量共面,故零向量不能 作为基向量 . 3.空间向量的坐标
5、运算与坐标原点的位置选取有关吗? 提示无关 .这是因为一个确定的几何体,其“线线”夹角、“点点”距离都是固定的,坐标 系的位置不同,只会影响其计算的繁简,不会影响结果. 题组一思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)空间中任意两个非零向量a,b 共面 .() (2)在向量的数量积运算中(a b) ca (b c).() (3)对于非零向量b,由 a bb c,则 ac.() (4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同.() (5)若 A,B, C,D 是空间任意四点,则有AB BC CD DA 0.() (6)若 a b0,则 a,b是钝角 .() 题组二教
6、材改编 2.如图所示, 在平行六面体ABCD A1B1C1D1中,M 为 A1C1与 B1D1的交点 .若AB a, AD b, AA1 c,则下列向量中与BM 相等的向量是 () A. 1 2a 1 2bc B. 1 2a 1 2bc C.1 2a 1 2bc D. 1 2a 1 2bc 答案A 解析BM BB1 B1M AA1 1 2(AD AB ) c1 2(ba) 1 2a 1 2bc. 3.正四面体ABCD 的棱长为2,E, F 分别为 BC,AD 的中点,则EF 的长为 _. 答案2 解析|EF | 2EF 2(EC CD DF ) 2 EC 2CD 2DF 22(EC CD EC
7、 DF CD DF ) 122212 2(12cos 120 021cos 120 ) 2, |EF |2,EF 的长为2. 题组三易错自纠 4.在空间直角坐标系中,已知A(1,2,3),B(2, 1,6),C(3,2,1),D(4,3,0),则直线AB 与 CD 的位置关系是 () A.垂直B.平行 C.异面D.相交但不垂直 答案B 解析由题意得, AB (3, 3,3),CD (1,1, 1), AB 3CD ,AB 与CD 共线,又 AB 与 CD 没有公共点, ABCD. 5.已知 a(2,3,1),b( 4,2,x),且 ab,则 |b|_. 答案26 解析 ab, a b2 (4)
8、32 1 x0, x2, |b|4 222222 6. 6.O 为空间中任意一点,A,B,C 三点不共线,且OP 3 4OA 1 8OB tOC ,若P,A,B,C 四点共面,则实数t_. 答案 1 8 解析 P,A,B,C 四点共面, 3 4 1 8 t1,t 1 8. 题型一空间向量的线性运算 例 1如图所示, 在空间几何体ABCDA1B1C1D1中,各面为平行四边形,设AA1 a,AB b, AD c,M,N,P 分别是 AA1,BC,C1D1的中点,试用a,b,c表示以下各向量: (1)AP ; (2)MP NC1 . 解(1)因为 P 是 C1D1的中点, 所以 AP AA1 A1D
9、1 D1P aAD 1 2 D1C1 ac 1 2AB ac1 2b. (2)因为 M 是 AA1的中点, 所以 MP MA AP 1 2A1A AP 1 2a ac 1 2b 1 2a 1 2bc. 又NC1 NC CC1 1 2BC AA1 1 2AD AA1 1 2c a, 所以 MP NC1 1 2a 1 2bc a 1 2c 3 2a 1 2b 3 2c. 思维升华用基向量表示指定向量的方法 (1)结合已知向量和所求向量观察图形. (2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中. (3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来. 跟踪训练1(1)如图所示,
10、在长方体ABCDA1B1C1D1中,O 为 AC 的中点 .用AB ,AD ,AA1 表 示OC1 ,则 OC1 _. 答案 1 2AB 1 2AD AA1 解析 OC 1 2AC 1 2(AB AD ), OC1 OC CC1 1 2(AB AD )AA1 1 2AB 1 2AD AA1 . (2)如图,在三棱锥O ABC 中, M,N 分别是 AB,OC 的中点,设 OA a,OB b,OC c, 用 a,b,c 表示 NM ,则 NM 等于 () A. 1 2(abc) B.1 2(abc) C.1 2(abc) D.1 2(abc) 答案B 解析NM NA AM (OA ON ) 1
11、2AB OA 1 2OC 1 2(OB OA ) 1 2OA 1 2OB 1 2OC 1 2(ab c). 题型二共线定理、共面定理的应用 例 2如图,已知E,F,G,H 分别是空间四边形ABCD 的边 AB,BC, CD,DA 的中点 . (1)求证: E, F,G,H 四点共面; (2)求证: BD平面 EFGH . 证明(1)连接 BG, 则EG EB BG EB 1 2(BC BD ) EB BF EH EF EH , 由共面向量定理的推论知E,F, G, H 四点共面 . (2)因为 EH AH AE 1 2AD 1 2AB 1 2(AD AB ) 1 2BD , 所以 EHBD.
12、又 EH平面 EFGH ,BD? 平面 EFGH , 所以 BD平面 EFGH . 思维升华证明三点共线和空间四点共面的方法比较 三点 (P,A,B)共线空间四点 (M,P,A,B)共面 PA PB 且同过点P MP xMA yMB 对空间任一点O,OP OA tAB 对空间任一点O,OP OM xMA yMB 对空间任一点O,OP xOA (1 x)OB 对空间任一点O,OP xOM yOA (1x y)OB 跟踪训练2如图所示,已知斜三棱柱ABCA1B1C1,点 M,N 分别在 AC1和 BC 上,且满 足AM kAC1 ,BN kBC (0k1). (1)向量 MN 是否与向量 AB ,
13、AA1 共面? (2)直线 MN 是否与平面ABB1A1平行? 解(1)AM kAC1 ,BN kBC , MN MA AB BN kC1A AB kBC k(C1A BC )AB k(C1A B1C1 )AB kB1A AB AB kAB1 AB k(AA1 AB ) (1k)AB kAA1 , 由共面向量定理知向量MN 与向量 AB ,AA1 共面 . (2)当 k0 时,点 M,A 重合,点N,B 重合, MN 在平面 ABB1A1内, 当 0k1 时, MN 不在平面 ABB1A1内, 又由 (1)知MN 与AB ,AA1 共面, MN平面 ABB1A1. 综上,当k 0时, MN 在
14、平面 ABB1A1内; 当 0k1 时, MN平面 ABB1A1. 题型三空间向量数量积的应用 例 3如图所示, 已知空间四边形ABCD 的各边和对角线的长都等于a,点 M,N 分别是 AB, CD 的中点 . (1)求证: MNAB,MNCD; (2)求异面直线AN 与 CM 所成角的余弦值. (1)证明设AB p,AC q, AD r. 由题意可知,|p|q|r|a,且 p,q,r 三个向量两两夹角均为60 . MN AN AM 1 2(AC AD ) 1 2AB 1 2(qrp), MN AB 1 2(qrp) p 1 2(q pr pp 2) 1 2(a 2cos 60 a 2cos
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