空间几何体的表面积与体积.pdf
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1、空间几何体的表面积与体积 一、基础知识 1圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱圆锥圆台 侧面展开图 侧面积公式S圆柱侧2 rl S圆锥侧 rl S圆台侧 ( rr)l 几何体的侧面积是指(各个)侧面面积之和,而表面积是侧面积与所有底面面积之和. 圆台、圆柱、圆锥的转化 当圆台的上底面半径与下底面半径相等时,得到圆柱; 当圆台的上底面半径为零时,得到圆 锥,由此可得: 2空间几何体的表面积与体积公式 名称 几何体 表面积体积 柱体 (棱柱和圆柱 )S表面积S侧2S底VSh 锥体 (棱锥和圆锥 )S表面积S侧S底V 1 3Sh 台体 (棱台和圆台 )S表面积 S侧S上 S下V 1 3(S
2、 上S下 S 上S下)h 球S 4 R 2 V4 3 R 3 二、常用结论 几个与球有关的切、接常用结论 (1)正方体的棱长为a,球的半径为R, 若球为正方体的外接球,则2R3a; 若球为正方体的内切球,则2Ra; 若球与正方体的各棱相切,则2R2a. (2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a,b, c,外接球的半径为R,则2R a 2b2c2. (3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3 1. 考点一空间几何体的表面积 典例 (1)(2018全国卷 )已知圆柱的上、 下底面的中心分别为O1,O2,过直线 O1O2 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8 的正方形,则该圆柱的表面积为() A1
3、22B12 C82 D10 (2)(2019沈阳质检 )某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的侧面积是() A442 B4 22 C842 D.8 3 解析 (1)设圆柱的轴截面的边长为x, 则 x28,得 x2 2, S圆柱表 2S底S侧2 (2)22 222 12.故选 B. (2)由三视图可知该几何体是一个四棱锥,记为四棱锥P-ABCD,如 图所示, 其中 PA底面 ABCD,四边形 ABCD 是正方形, 且 PA2,AB 2, PB22,所以该四棱锥的侧面积S是四个直角三角形的面积和, 即 S2 1 2 221 2 22 2 4 4 2,故选 A. 答案 (1)B(2)A 题组训练 1
4、(2019 武汉部分学校调研)一个几何体的三视图如图所示,则它的表面积为() A28 B2425 C204 5 D2025 解析: 选 B如图,三视图所对应的几何体是长、宽、高分别为 2,2,3 的长方体去掉一个三棱柱后的棱柱ABIE-DCMH ,则该几何体的 表面积S(22)5 1 212 2212 5242 5.故选 B. 2 (2018 郑州第二次质量预测)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积是 () A202 B24(21) C24(22) D20(21) 解析: 选 B由三视图知, 该几何体是由一个棱长为2 的正方体挖去一个底面半径为1、 高为 1 的圆锥后所剩余的部分,所以
5、该几何体的表面积S622 12 1224 (21) ,故选 B. 考点二空间几何体的体积 典例 (1)(2019开封高三定位考试)某几何体的三视图如图所示,其中俯视图为扇形, 则该几何体的体积为() A4B2 C.4 3 D (2)(2018天津高考 )如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为 1, 则四棱锥A1-BB1D1D 的体积为 _ 解析 (1)直接法 由题意知该几何体的直观图如图所示,该几何体为圆柱的一部分,设底面扇形 的圆心角为 ,由 tan 3 1 3,得 3,故底面面积为 1 2 32 22 3 ,则该 几何体的体积为 2 3 32. (2)法一: 直接法 连接 A1
6、C1交 B1D1于点 E,则 A1EB1D1,A1EBB1,则 A1E平 面 BB1D1D, 所以 A1E 为四棱锥 A1-BB1D1D 的高,且A1E 2 2 , 矩形 BB1D1D 的长和宽分别为 2,1, 故 VA1-BB1D 1D 1 3(1 2) 2 2 1 3. 法二: 割补法 连接 BD1, 则四棱锥 A1-BB1D1D 分成两个三棱锥 B-A1DD1与 B-A1B1D1, 所以 VA1-BB1D1D VB-A 1DD1VB-A1B1D1 1 3 1 211 1 1 3 1 21 11 1 3. 答案 (1)B(2)1 3 题组训练 1. 等体积法如图所示,已知三棱柱 ABC-A
7、1B1C1的所有棱长均为 1,且 AA1底面 ABC,则三棱锥 B1-ABC1的体积为 () A. 3 12 B. 3 4 C. 6 12 D. 6 4 解析: 选 A三棱锥 B1-ABC1的体积等于三棱锥A-B1BC1的体积,三棱锥A-B1BC1的高 为 3 2 ,底面积为 1 2,故其体积为 1 3 1 2 3 2 3 12. 2. 割补法某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积是 () A13 B14 C15 D16 解析: 选 C所求几何体可看作是将长方体截去两个三棱柱得 到的几何体, 在长方体中还原该几何体,如图中 ABCD-ABCD 所示,长方体的长、宽、高分别为4,2,3,两
8、个三棱柱的高为2,底 面是两直角边长分别为3 和 1.5 的直角三角形, 故该几何体的体积V 423 2 1 23 3 2 215,故选 C. 3. 直接法一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如图所示,则该几何体的体积 为() A. 1 3 2 3 B.1 3 2 3 C.1 3 2 6 D1 2 6 解析: 选 C由三视图知,四棱锥是底面边长为1,高为 1 的正四棱锥,结合三视图可 得半球半径为 2 2 ,从而该几何体的体积为 1 31 211 2 4 3 2 2 31 3 2 6 . 考点三与球有关的切、接问题 考法 (一)球与柱体的切、接问题 典例 (2017 江苏高考 )如图,在圆
9、柱O1O2内有一个球 O,该球与圆柱的上、 下底面及母线均相切记圆柱O1O2的体积为V1,球 O 的体积为V2,则 V1 V2的值是 _ 解析 设球 O 的半径为 R,因为球O 与圆柱 O1O2的上、下底面及母线均相切,所以 圆柱的底面半径为R、高为 2R,所以 V1 V2 R 2 2R 4 3 R 3 3 2. 答案 3 2 考法 (二)球与锥体的切、接问题 典例 (2018 全国卷 )设 A,B,C,D 是同一个半径为4 的球的球面上四点,ABC 为等边三角形且其面积为93,则三棱锥D-ABC 体积的最大值为() A123B18 3 C243 D543 解析 由等边 ABC 的面积为 93
10、,可得 3 4 AB 29 3,所以 AB6,所以等边 ABC 的外接圆的半径为r 3 3 AB23.设球的半径为R,球心到等边ABC 的外接圆圆心的距 离为 d,则 dR2r216122.所以三棱锥D-ABC 高的最大值为246,所以三棱 锥 D-ABC 体积的最大值为 1 39 36183. 答案 B 题组训练 1(2018 福建第一学期高三期末考试)已知圆柱的高为2,底面半径为3,若该圆柱的 两个底面的圆周都在同一个球面上,则这个球的表面积等于() A4B.16 3 C.32 3 D16 解析: 选 D如图,由题意知圆柱的中心O 为这个球的球心, 于是,球的半径rOBOA 2AB2 1
11、2 3 22. 故这个球的表面积S4 r216.故选 D. 2三棱锥 P-ABC 中, ABBC15,AC6,PC平面 ABC,PC2,则该三棱锥的 外接球表面积为_ 解析: 由题可知,ABC 中 AC 边上的高为15 3 2 6,球心 O 在底面 ABC 的投影 即为 ABC 的外心D,设 DADBDCx,所以x232(6x)2,解得x5 6 4 ,所以 R 2 x2 PC 2 275 8 1 83 8 (其中 R 为三棱锥外接球的半径),所以外接球的表面积S4 R 2 83 2 . 答案: 83 2 课时跟踪检测 1(2019 深圳摸底 )过半径为2 的球的一条半径的中点,作垂直于该半径的
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