空间图形的基本关系与公理.pdf
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1、空间图形的基本关系与公理 最新考纲考情考向分析 1.理解空间直线、平面位置关系的定义. 2.了解可以作为推理依据的公理和定理. 3.能运用公理、定理和已获得的结论证明 一些空间位置关系的简单命题. 主要考查与点、 线、面位置关系有关的命题 真假判断和求解异面直线所成的角,题型主 要以选择题和填空题的形式出现,解题要求 有较强的直观想象和逻辑推理等核心素养, 主要为中低档题. 1.四个公理 公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即 直线在平面内). 公理 2:经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面(即可以确定一个平面). 公理3:如果两个不重合的
2、平面有一个公共点,那么它们有且只有一条通过这个点的公共直 线. 公理 4:平行于同一条直线的两条直线平行. 2.直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类 共面直线 平行直线 相交直线 异面直线:不同在任何一个平面内,没有公共点 (2)异面直线所成的角 定义:设a,b 是两条异面直线,经过空间任一点O 作直线 a a,b b,把 a与 b 所成的锐角 (或直角 )叫作异面直线a 与 b 所成的角 . 范围:0, 2 . 3.直线与平面的位置关系有直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况. 4.平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况. 5.等角定理 空间中如果两个角的两条边分别对应
3、平行,那么这两个角相等或互补. 概念方法微思考 1.分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线吗? 提示不一定 .因为异面直线不同在任何一个平面内.分别在两个不同平面内的两条直线可能 平行或相交 . 2.空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角一定相等吗? 提示不一定 .如果这两个角开口方向一致,则它们相等,若反向则互补. 题组一思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)如果两个不重合的平面 , 有一条公共直线a, 就说平面 , 相交,并记作 a.() (2)两个平面 ,有一个公共点A,就说 , 相交于过A 点的任意一条直线.() (3)如果两个平面有三个公共点
4、,则这两个平面重合.() (4)经过两条相交直线,有且只有一个平面.() (5)没有公共点的两条直线是异面直线.() (6)若 a, b 是两条直线, ,是两个平面,且a ,b ,则 a,b 是异面直线 .() 题组二教材改编 2.如图所示,在正方体ABCD A1B1C1D1中, E,F 分别是 AB,AD 的中点,则异面直线 B1C 与 EF 所成角的大小为() A.30 B.45 C.60 D.90 答案C 解析连接B1D1,D1C,则 B1D1EF,故 D1B1C 即为所求的角.又 B1D1 B1CD1C, B1D1C 为等边三角形, D1B1C60 . 3.如图,在三棱锥ABCD 中,
5、 E,F, G,H 分别是棱AB,BC,CD,DA 的中点,则 (1)当 AC,BD 满足条件 _时,四边形EFGH 为菱形; (2)当 AC,BD 满足条件 _时,四边形EFGH 为正方形 . 答案(1)ACBD(2)ACBD 且 ACBD 解析(1)四边形 EFGH 为菱形, EFEH,ACBD. (2) 四边形 EFGH 为正方形, EFEH 且 EFEH, EFAC,EHBD,且 EF 1 2AC,EH 1 2BD, ACBD 且 AC BD. 题组三易错自纠 4.是一个平面, m, n是两条直线, A 是一个点,若m? ,n ,且 Am,A ,则 m,n 的位置关系不可能是() A.
6、垂直B.相交 C.异面D.平行 答案D 解析依题意, m A, n , m 与 n 可能异面、相交(垂直是相交的特例),一定不平行 . 5.如图, l,A,B ,C ,且 C?l,直线 ABl M,过 A,B,C 三点的平面记作 , 则 与 的交线必通过() A.点 AB.点 B C.点 C 但不过点 MD.点 C 和点 M 答案D 解析 AB ,MAB, M . 又 l,Ml,M . 根据公理3 可知, M 在 与 的交线上 . 同理可知,点C 也在 与 的交线上 . 6.如图为正方体表面的一种展开图,则图中的四条线段AB,CD,EF,GH 在原正方体中互 为异面的对数为_. 答案3 解析平
7、面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化,则AB,CD,EF 和 GH 在原正方体 中,显然AB 与 CD,EF 与 GH,AB 与 GH 都是异面直线,而AB 与 EF 相交, CD 与 GH 相 交, CD 与 EF 平行 .故互为异面的直线有且只有3 对. 题型一平面基本性质的应用 例 1如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中, E,F 分别是 AB 和 AA1的中点 .求证: (1)E,C,D1,F 四点共面; (2)CE,D1F,DA 三线共点 . 证明(1)如图,连接EF,CD1,A1B. E,F 分别是 AB,AA1的中点, EF BA1. 又 A1BD1C, EFCD1,
8、 E,C,D1,F 四点共面 . (2) EFCD1,EF0),则 AA1tAB. AB1, AA1t.A1C12,A1B t 21 BC 1, cosA1BC1A 1B 2BC2 1A1C 2 1 2A1BBC1 t 21t2 12 2t 21 t21 9 10. t 3,即 AA1 AB 3. 思维升华用平移法求异面直线所成的角的三个步骤 (1)一作:根据定义作平行线,作出异面直线所成的角. (2)二证:证明作出的角是异面直线所成的角. (3)三求:解三角形,求出所作的角. 跟踪训练3(2018 全国 )在长方体 ABCD A1B1C1D1中,ABBC 1,AA13,则异面直 线 AD1与
9、 DB1所成角的余弦值为() A. 1 5 B. 5 6 C. 5 5 D. 2 2 答案C 解析方法一如图,在长方体ABCDA1B1C1D1的一侧补上一个相同的长方体AB BA A1B1 B1A1.连接 B1B,由长方体性质可知,B1B AD1,所以 DB1B为异面直线 AD1与 DB1所成的角或其补角 .连接 DB,由题意,得DB12 1 1 2 5, BB1 123 22, DB 1 12123 2 5. 在DBB1中,由余弦定理,得 DB 2BB2 1DB 2 12BB1 DB1 cosDB1B, 即 545 225cosDB1B,cosDB1B 5 5 . 故选 C. 方法二如图,以
10、点D 为坐标原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x,y,z 轴建立空间 直角坐标系 . 由题意,得A(1,0,0),D(0,0,0), D1(0,0,3),B1(1,1,3), AD1 (1,0,3), DB1 (1,1,3), AD1 DB1 1101 (3)22, |AD1 | 2,|DB1 |5, cosAD1 ,DB1 AD1 DB1 |AD1 |DB1 | 2 25 5 5 . 故选 C. 立体几何中的线面位置关系 直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化,利用空间形式特别是图 形,理解和解决数学问题. 例 如图所示, 四边形 ABEF 和 ABCD 都是梯形, B
11、CAD 且 BC 1 2AD, BEFA 且 BE 1 2FA, G,H 分别为 FA,FD 的中点 . (1)证明:四边形BCHG 是平行四边形; (2)C,D,F,E 四点是否共面?为什么? (1)证明由已知 FGGA,FH HD, 可得 GHAD 且 GH 1 2AD. 又 BCAD 且 BC 1 2AD, GHBC 且 GHBC, 四边形 BCHG 为平行四边形 . (2)解BEAF 且 BE 1 2AF,G 为 FA 的中点, BEFG 且 BEFG, 四边形 BEFG 为平行四边形, EFBG. 由(1)知 BGCH. EFCH, EF 与 CH 共面 . 又 DFH ,C,D,F
12、,E 四点共面 . 素养提升平面几何和立体几何在点线面的位置关系中有很多的不同,借助确定的几何模型, 利用直观想象讨论点线面关系在平面和空间中的差异. 1.四条线段顺次首尾相连,它们最多可确定的平面个数为() A.4 B.3 C.2 D.1 答案A 解析首尾相连的四条线段每相邻两条确定一个平面,所以最多可以确定四个平面. 2.a, b,c 是两两不同的三条直线,下面四个命题中,真命题是() A.若直线 a, b 异面, b, c 异面,则a,c 异面 B.若直线 a,b 相交, b, c 相交,则a,c 相交 C.若 ab,则 a,b 与 c 所成的角相等 D.若 ab,bc,则 a c 答案
13、C 解析若直线 a,b 异面, b,c 异面,则 a,c 相交、平行或异面;若a,b 相交, b,c 相交, 则 a,c 相交、平行或异面;若ab,bc,则 a, c 相交、平行或异面;由异面直线所成的 角的定义知C 正确 .故选 C. 3.如图所示,平面 平面 l,A ,B ,ABlD,C ,C?l,则平面ABC 与平面 的交线是 () A.直线 AC B.直线 AB C.直线 CD D.直线 BC 答案C 解析由题意知, Dl,l ,所以 D , 又因为 DAB,所以 D平面 ABC, 所以点 D 在平面 ABC 与平面 的交线上 . 又因为 C平面 ABC,C , 所以点 C 在平面 与
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