第22炼恒成立问题——参变分离法.pdf
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1、本书由作者独家授权“学易书城”,其所含章节未经作者与学易书城同意不得随意转载 第 22 炼 恒成立问题参变分离法 一、基础知识: 1、参变分离:顾名思义,就是在不等式中含有两个字母时(一个视为变量,另一个视为参 数) ,可利用不等式的等价变形让两个字母分居不等号的两侧,即不等号的每一侧都是只含 有一个字母的表达式。然后可利用其中一个变量的范围求出另一变量的范围 2、如何确定变量与参数:一般情况下,那个字母的范围已知,就将其视为变量,构造关于 它的函数,另一个字母(一般为所求)视为参数。 3、参变分离法的适用范围:判断恒成立问题是否可以采用参变分离法,可遵循以下两点原 则: (1)已知不等式中两
2、个字母是否便于进行分离,如果仅通过几步简单变换即可达到分离目 的,则参变分离法可行。但有些不等式中由于两个字母的关系过于“紧密”,会出现无法分 离的情形,此时要考虑其他方法。例如: 2 1log a xx, 1 1 1 ax x e x 等 (2)要看参变分离后,已知变量的函数解析式是否便于求出最值(或临界值),若解析式过 于复杂而无法求出最值(或临界值),则也无法用参变分离法解决问题。(可参见”恒成立问 题最值分析法“中的相关题目) 4、参变分离后会出现的情况及处理方法:(假设x为自变量, 其范围设为D,fx为函数; a为参数,g a为其表达式) (1)若fx的值域为 ,m M ,xD g
3、afx,则只需要 min g afxm ,xD g xfx,则只需要 min g afxm ,xD g afx,则只需要 max =g afxM ,xD g afx,则只需要 max =g afxM ,xD g afx,则只需要 max g afxM ,xD g afx,则只需要 max g afxM ,xD g afx,则只需要 min g afxm 本书由作者独家授权“学易书城”,其所含章节未经作者与学易书城同意不得随意转载 ,xD g afx,则只需要 min g afxm (2)若fx的值域为,m M ,xD g afx ,则只需要 g am ,xD g afx,则只需要g am(注意
4、与( 1)中对应情况进行对比) ,xD g afx,则只需要g aM ,xD g afx,则只需要g aM(注意与( 1)中对应情况进行对比) ,xD g afx,则只需要g aM(注意与( 1)中对应情况进行对比) ,xD g afx ,则只需要 g aM ,xD g afx,则只需要g am(注意与( 1)中对应情况进行对比) ,xD g afx,则只需要g am 5、多变量恒成立问题:对于含两个以上字母(通常为3 个)的恒成立不等式,先观察好哪 些字母的范围已知(作为变量),那个是所求的参数,然后通常有两种方式处理 (1)选择一个已知变量,与所求参数放在一起与另一变量进行分离。则不含参数
5、的一侧可 以解出最值(同时消去一元),进而多变量恒成立问题就转化为传统的恒成立问题了。 (2)将参数与变量进行分离,即不等号一侧只含有参数,另一侧是双变量的表达式,然后 按所需求得双变量表达式的最值即可。 二、典型例题: 例 1:已知函数 xx fxeae,若 ( )2 3fx恒成立, 则实数a的取值范围是_ 思路:首先转化不等式, ( ) xx fxeae,即2 3 x x a e e 恒成立,观察不等式a与 x e 便于分离, 考虑利用参变分离法,使,a x分居不等式两侧, 2 2 3 xx aee,若不等式 恒成立, 只需 2 max 2 3 xx aee,令 2 2 2 333 xxx
6、 g xeee(解 析式可看做关于 x e的二次函数,故配方求最值) m a x 3g x,所以3a 答案:3a 例 2:已知函数ln a fxx x ,若 2 fxx在1,上恒成立,则a的取值范围是 本书由作者独家授权“学易书城”,其所含章节未经作者与学易书城同意不得随意转载 _ 思路:恒成立的不等式为 2 ln a xx x ,便于参数分离,所以考虑尝试参变分离法 解: 233 lnlnln a xxxxaxaxxx x ,其中1,x 只需要 3 max lnaxxx,令 3 lng xxxx 2 ( )1ln3g xxx(导函数无法直接确定单调区间,但再求一次导即可将ln x变为 1 x
7、 ,所以二阶 导函数的单调性可分析,为了便于确定 gx的符号,不妨先验边界值) 12g, 2 116 60 x gxx xx ,(判断单调性时一定要先看定义域,有可能会 简化判断的过程) gx在1,单调递减, 10( )gxgg x在1,单调递减 11g xg1a 答案:1a 小炼有话说: 求导数的目的是利用导函数的符号得到原函数的单调性,当导函数无法直接判 断符号时, 可根据导函数解析式的特点以及定义域尝试在求一次导数,进而通过单调性和关 键点(边界点,零点)等确定符号。 例 3:若对任意xR,不等式 23 32 4 xaxx恒成立, 则实数a的范围是 思路:在本题中关于,a x的项仅有2a
8、x一项,便于进行参变分离,但由于xR, 则分离参 数时要对x的符号进行讨论,并且利用x的符号的讨论也可把绝对值去掉,进而得到a的范 围, 22 33 3223 44 xaxxaxxx,当0x时, min 3 231 4 ax x ,而 333 31312 312 444 xxx xxx 221aa;当0x时,不等式恒 成立;当0x时, max 3 231 4 ax x ,而 33 31132 44 xx xx 221aa综上所述:11a 答案:11a 小炼有话说:( 1)不等式含有绝对值时,可对绝对值内部的符号进行分类讨论,进而去掉绝 本书由作者独家授权“学易书城”,其所含章节未经作者与学易书
9、城同意不得随意转载 对值, 在本题中对x进行符号讨论一举两得:一是去掉了绝对值,二是参变分离时确定不等 号的是否变号。 (2)在求x解析式最值时根据式子特点巧妙使用均值不等式,替代了原有的构造函数求导 出最值的方法,简化了运算。 (3)注意最后确定a的范围时是三部分取交集,因为是对x的取值范围进行的讨论,而无 论x取何值,a的值都要保证不等式恒成立,即a要保证三段范围下不等式同时成立,所以 取交集。 例 4:设函数 2 ( )1f xx, 对任意的 2 3 ,4( )(1)4 () 2 x xfm f xf xf m m 恒成立,则实数m的取值范围是_ 思路:先将不等式进行化简可得: 2 2
10、222 1411141 x mxxm m ,即 222 2 1 423mxxx m ,便于进行分离,考虑不等式两边同时除以 2 x,可得: 2 2 22 min 123 4 xx m mx , 2 2 2 2311 321 xx g x xxx , 12 0, 3x 最小值 25 33 g , 242 2 15 412530 3 mmm m 即 22 31430mm 解得: 33 , 22 m 答案: 33 , 22 m 小炼有话说: 本题不等式看似复杂,化简后参变分离还是比较容易的,从另一个角度看本题 所用不等式为二次不等式,那么能否用二次函数图像来解决呢?并不是一个很好的办法,因 为二次项
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- 22 成立 问题 分离法
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