解三角形大题专项训练.pdf
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1、专题:解三角形解答题 1.【A】在 b、c,向量2sin,3mB, 2 cos2 ,2cos1 2 B nB,且 /mn。 (I)求锐角 B 的大小;(II)如果2b,求ABC的面积 ABC S的最大值。 (1)解:mn 2sinB(2cos2 B 21) 3cos2B 2sinBcosB3cos2B tan2B3 02B,2B 2 3 ,锐角 B 3 (2)由 tan2B3 B 3或 5 6 当 B 3时,已知 b2,由余弦定理,得: 4a2c2ac2ac acac(当且仅当 ac2 时等号成立 ) ABC 的面积 SABC1 2 acsinB 3 4 ac3 ABC 的面积最大值为3 当
2、B5 6 时,已知 b2,由余弦定理,得: 4a2c23ac2ac3ac(23)ac(当且仅当 ac62时等号成立 ) ac4(2 3) ABC 的面积 SABC1 2 acsinB1 4ac2 3 ABC 的面积最大值为 23 1. 【B】在ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别是 a,b,c,且. 2 1 222 acbca (1)求B CA 2cos 2 sin 2 的值;(2)若 b=2,求ABC 面积的最大值 解:(1) 由余弦定理: conB=1 4 sin 2 2 AB +cos2B= - 1 4 (2)由 . 4 15 sin, 4 1 cosBB得 b=2, a 2 +c
3、2 =1 2ac+42ac, 得 ac 3 8 ,SABC= 1 2acsinB 3 15 (a=c时取等号 ) 故 SABC 的最大值为 3 15 2.【A】已知 a,b,c 分别为ABC 的三个内角 A,B,C 的对边, a2,且(2 b)(sin Asin B)(cb)sin C,则ABC 面积的最大值为 _ 【解析】由正弦定理得 (2b)(ab)(cb)c,即 (ab)(ab)(cb)c,即 b2 c 2a2bc,所以 cos Ab 2c2a2 2bc 1 2,又 A(0,) ,所以 A 3,又 b 2c2 a 2bc2 bc4,即 bc4 ,故 S ABC1 2bcsin A 1 2
4、 4 3 2 3,当且仅当 bc 2 时,等号成立,则 ABC 面积的最大值为3. 2. 【B】 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为abc, , 已知cossin.abCcB (1)求 B; (2)若 b2,求ABC 面积的最大值 【解析】 (1)由已知及正弦定理得 sin Asin Bcos Csin Csin B 又 A (BC),故 sin Asin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C 由和 C(0,)得 sin Bcos B. 又 B(0,),所以 B. 4 (2)ABC 的面积 S 1 sin 2 acB 2 4 ac. 由已知及余弦定理得 22 42cos. 4
5、acac . 又 22 2acac,故 4 2 2 ac,当且仅当 ac 时,等号成立 因此ABC 面积的最大值为2+1. 3. 【AB】 在ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 且.c o sc o s3c o sBcBaCb (I)求 cosB 的值;(II)若2BCBA,且22b,求ca和b 的值. 解: (I)由正弦定理得 CRcBRbARasin2,sin2,sin2 , ,0sin.cossin3sin ,cossin3)sin( ,cossin3cossincossin ,cossincossin3cossin ,cossin2cossin6cossi
6、n2 ABAA BACB BABCCB BCBACB BCRBARCBR 又可得 即 可得 故 则 因此 . 3 1 cosB 6 分 (II)解:由 2cos,2BaBCBA可得 , ,0)( ,12 ,cos2 ,6, 3 1 cos 2 22 222 caca ca Baccab acB 即所以 可得 由 故又 所以 ac6 4.【AB】在ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.已知 a+b=5,c =7 , 且. 2 7 2cos 2 sin4 2 C BA (1) 求角 C 的大小;(2)求ABC 的面积 . 解:(1) A+B+C=180 由 2 7 2cos 2 c
7、os4 2 7 2cos 2 sin4 22 C C C BA 得 2 7 )1cos2( 2 cos1 4 2 C C 整理,得 01cos4cos4 2 CC 解 得: 2 1 cosC 5 分 1800C C=60 (2)解:由余弦定理得: c2=a2+b22abcosC ,即 7=a2+b2ab abba3)(7 2 由条件 a+b=5得 7=253ab ab=6 2 33 2 3 6 2 1 sin 2 1 CabSABC 5.【AB】在ABC 中,已知 AB2,AC3,A60 . (1)求 BC 的长; (2)求 sin 2C 的值 【解析】 (1)由余弦定理知, BC 2AB2A
8、C22AB AC cos A 492 2 3 1 27, 所以 BC7. (2)由正弦定理知, AB sin C BC sin A, 所以 sin CAB BC sin A 2sin 60 7 21 7 . 因为 ABBC,所以 C 为锐角, 则 cos C1sin 2C3 1 7 2 7 7 . 所以 sin 2C2sin C cos C2 21 7 2 7 7 4 3 7 . 6.【A】在ABC中,已知 2222 () sin()() sin()abABabAB ,判断该三角形 的形状。 【解析】把已知等式都化为角的等式或都化为边的等式。 22 sin()sin() sin()sin()a
9、ABABbABAB 22 2cossin2cossinaABbBA 由正弦定理,即知 22 sincossinsincossinAABBBA sinsin(sincossincos)0ABAABB sin 2sin 2AB 由02 ,22AB,得22AB或22AB 即ABC为等腰三角形或直角三角形 6.【B】在中,分别为内角的对边, 且 ()求的大小; ()若,试判断的形状 . 解: ()由已知,根据正弦定理得 即 由余弦定理得 故 ()由()得 又,得 因为, 故所以是等腰的钝角三角形。 7.【A】在ABC 中,已知 ab a sin B sin Bsin A,且 cos(AB)cos C1
10、cos 2 C. (1)试确定 ABC 的形状; (2)求 ac b 的取值范围 解:(1)在ABC 中,设其外接圆半径为R, 根据正弦定理得, sin A a 2R,sin B b 2R, 代入 ab a sin B sin Bsin A,得 ab a b ba, 所以 b 2a2ab. 因为 cos(AB)cos C1cos 2C, 所以 cos(AB)cos(AB)2sin 2C, ABCabc、 、 ABC、 、 2 sin(2)sin(2)sinaAbcBcbC A sinsin1BCABC cbcbcba)2()2(2 2 bccba 222 Abccbacos2 222 120,
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