解答立体几何问题的五大数学思想方法.pdf
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1、解答立体几何问题的五大数学思想方法 学习立体几何,除了要掌握基本的数学知识和技能外,还要注意领会与总结解决解答对应问题的常见 数学思想方法,下面对解答立体几何问题的五大数学思想方法加以归纳整理,供复习参考 割补思想 分割与补形的思想方法是处理几何图形的重要方法,特别在处理非常规图形时,即使涉及比较熟悉的 图形的问题, 有时结合割补法也可以更好的得以解决,因此, 此考点可明考,即出示陌生图形,也可暗考, 即给出熟悉图形,但进行割补实现快速解题 例如图,在多面体ABCDEF中,已知ABCD是边长为1 的正方形,且,ADEBCF均为 正三角形,EFAB,2EF,则该多面体的体积为() ()A 3 2
2、 ()B 3 3 ()C 3 4 ()D 2 3 解析本题所涉及的为非常规图形,没有可套用的体积公 式,故需要考虑割补 解如图, 作,AG BH垂直于EF,垂足分别为,G H,连 结,DG CH,由A BC DEF, 则有,DG CH垂直于EF由 图 形 的 对 称 性 , 2EF , 知 1 1, 2 GHEGFH , 由 1B FA B, 3 BFE, 3 2 BH, 得 2 4 B C H S 故所求体积为 21212 12 43423 , 选()A 例表面积为2 3的正八面体的各个顶点都在同一个球面上,则此球的体积为() ()A 2 3 ()B 1 3 ()C 2 3 ()D 2 2
3、3 解析将正八面体嵌入到正方体中,即以正八面体的顶点为正方体各面的中心,则可知正八面体的棱 长为,则正方体底面对角线长为,正方体棱长为2,即为正八面体外接球的直径,故球的体积为 A C D FGH B E 图 2 3 ,选()A 分类讨论思想 若题目描述的情形不唯一,就要考虑借助分类与整合的思想方法解答 例如图,在直三棱柱 111 ABCA BC中,2ABBC, 1 2BB,90ABC,,E F分 别为 111 ,AA C B的中点,沿棱柱的表面从E到F两点的最短路径的 长度为 解 析分 别 将 111 A B C沿 11 A B折 到 平 面 11 ABB A上 ; 将 111 ABC沿 1
4、1 AC折到平面 11 ACC A上;将 11 BCC B沿 1 BB折到平面 11 ABB A上;将 11 BCC B沿 1 CC折到平面 11 ACC A上,比较其中EF 长即可结果为 32 2 等价转化思想 一些立体几何问题,借助等价转化思想,可以得到更好解答 求距离的转化 点、线与面之间的距离,可以借助平行关系,借助等体积等方 法实现距离的转化 例如图,正方体 1111 ABCDA BC D的棱长为,O是 底面 1111 A BC D的中心,则O到平面 11 ABCD的距离为() ()A 2 1 ()B 4 2 ()C 2 2 ()D 2 3 解析若直接过点O作平面 11 ABC D的
5、垂线求距离,则 难以操作 但若借助 “过O与平面 11 ABC D平行的直线上每个 点到平面 11 ABCD的距离相等”,如图,点,E F分别是棱 1111 ,AD BC的中点,易知EF过点O且与平面 11 ABC D平行, A B C 1 B F 图 1 A 1 C E AB D 1 D E O 1 B F G C 1 C 图 1 A AB D 1 D O 1 B C 1 C 图 1 A 于是,只需求点F到平面 11 ABC D的距离,又可得所求为 1 BC的 1 4 ,即 4 2 求角的转化 求角问题,往往也可以借助平行关系进行转化解答 例如图,在三棱锥PABC 中, AB BC, 1 2
6、 ABBCPA, 点 O、 D 分别是 AC、 PC 的中点,OP底面 ABC 求直线PA与平面PBC 所成角的大小 解析若直接求直线PA与平面PBC所成的角,不易操作,但若根 据PAOD,则可转化为求OD与平面PBC所成的 角 ABBCOAOC, OAOBOC,OPABC又平面,PAPBPC ,取 BC的中 点E,连结PE,则BCP OE平面,作OFPE于F,连结DF,则OF平面 PBC ,所以ODF是 OD与平面PBC所成的角 又ODPA, 所以PA与平面PBC所成的角的大小等于ODF , 在 R t O D F 中, 210 sin 30 OF ODF OD ,所以PA与平面PBC所成角
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