轮换对称不等式的证明技巧(3).pdf
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1、轮换对称不等式的证明技巧第 1 页 共 7 页 轮换对称不等式的证明技巧 关注微信公众号“高中数学研讨会” ,获取更多数学资料 轮换对称不等式形式优美,证明技巧很多,但规律难寻。本文介绍利用基本不等式等号成立 的条件凑项证明,只要领悟添项的技巧,这类不等式完全可以程式化证明,供参考。 一、凑项升幂法 例1已知 Rzyx,,且1zyx, 求证:21141414zyx 分析:由于当 3 1 zyx时,上述不等式的“=”成立,于是 3 7 141414zyx 。 证明:因为14 3 7 14 3 7 2xx ,所以 )52( 7 3 14xx ,同理 )52( 7 3 14yy , )52( 7 3
2、 14zz,上述三式相加,并将1zyx代入化简即得证。 二、凑项降幂法 例2证明 Cauchy 不等式 n aaa aaa n n 2 2122 2 2 1 )( 证明:设aaaa n21 ,则 ii a n a n a a 2 )( 22 ,所以 n i i n i i a n a n a na 1 2 1 2 2 )(, 即 n aaa aaa n n 2 2122 2 2 1 )( 。 三、凑项去分母法 例 3设 n xxx, 21 是正数,且1 21n xxx, 求证: 2 1 1 2 1 2 1 32 2 2 21 2 1 xx x xx x xx x xx x n n nn n (
3、1990 年第 24 届全苏数学奥林匹克十年级题) 分析:由于当 n xxx n 1 21 时等号成立,于是)( 4 1 1 1 2 ii ii i xx xx x 。 证明:设 11 xxn ,因为 iii ii i xxx xx x )( 4 1 1 1 2 所以 n i i n i i n i i n i ii i xxx xx x 11 1 11 1 2 )( 4 1 ,即 2 1 11 2 n iii i xx x 。 例 4设 Rcba,,且1abc,求证: 2 3 )( 1 )( 1 )( 1 333 bacacbcba ( 1995 年第 36 届 IMO 题 2) 轮换对称不
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