量子力学习题分析.pdf
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1、河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷 学年第学期级专业(类) 考核科目 量子力学课程类别必修课考核类型考试 考核方式闭卷 卷别 A (注:考生务必将答案写在答题纸上,写在本试卷上的无效) 一、概念题:(共 20分,每小题 4 分) 1、简述波函数的统计解释; 2、对“轨道”和“电子云”的概念,量子力学的解释是什么? 3、力学量 G ?在自身表象中的矩阵表示有何特点? 4、简述能量的测不准关系; 5、电子在位置和自旋 z S ? 表象下,波函数 ),( ),( 2 1 zyx zyx 如何归一化?解释 各项的几率意义。 二(20 分)设一粒子在一维势场cbxaxxU 2 )(中运动( 0a )
2、 。求其定态 能级和波函数。 三(20 分)设某时刻,粒子处在状态)cos(sin)( 2 1 2 kxkxBx,求此时粒子的 平均动量和平均动能。 四(20 分)某体系存在一个三度简并能级,即EEEE )0( 3 )0( 2 )0( 1 。在不含时 微扰H ? 作用下,总哈密顿算符H ? 在 )0( ? H表象下为 2 1 1 0 0 E E E H 。求 受微扰后的能量至一级。 五(20 分)对电子,求在 x S ? 表象下的 x S ? 、 y S ? 、 z S ? 的矩阵表示。 A11 河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷 学年第学期级专业(类) 考核科目量子力学课程类别必修课 考
3、核类型考试 考核方式闭卷 卷别 B (注:考生务必将答案写在答题纸上,写在本试卷上的无效) 一、概念题:(共 20分,每小题 4 分) 1、何为束缚态? 2、当体系处于归一化波函数 ( , )r t 所描述的状态时,简述在 ( , )r t 状态 中测量力学量 F 的可能值及其几率的方法。 3、设粒子在位置表象中处于态),(tr, 采用 Dirac 符号时,若将( , )r t改 写为( , )r t有何不妥?采用Dirac 符号时,位置表象中的波函数应如 何表示? 4、简述定态微扰理论。 5、SternGerlach实验证实了什么? 二(20 分)设粒子在三维势场 ax a zyxU x 0
4、 ,中运动,求粒子定态能量 和波函数。 三( 20 分) 一维运动的粒子在态 0 0 0x xAxe x x 当 当 中运动,其中 0。求? 22 px 四(20 分)求一维线性谐振子偶极跃迁的选择定则。 五(20 分)对自旋为 2 1 s的粒子,求在 Sy表象中 Sx、Sy、 Sz的矩阵表示。 B11 河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷 学年第学期级专业(类) 考核科目量子力学课程类别必修课 考核类型考试 考核方式闭卷 卷别 C (注:考生务必将答案写在答题纸上,写在本试卷上的无效) 一、概念题:(共 20分,每小题 4 分) 1、一个物理体系存在束缚态的条件是什么? 2、两个对易的力学
5、量是否一定同时确定?为什么? 3、测不准关系是否与表象有关? 4、在简并定态微扰论中,如 ( ) H 0 的某一能级 )0( n E,对应 f 个正交归一本征 函数 i(i=1,2,f) ,为什么一般地i不能直接作为 HHH ? 0 的零级近似波函数? 5、在自旋态 1 2 ()sz 中, Sx和 Sy的测不准关系 ()()SS xy 22 是多少? 二(20 分)求在三维势场 byax zyxU 且当 其它区域 0 ,中运动的粒子的定态 能量和波函数。 三(20 分)求氢原子基态的最可几半径。 四(20 分)已知哈密顿算符H ? 在某表象下 202 050 0 bi iac H 且知其基态
6、E0=3,求实数 a,b,c。 五(20分)求在 Sz表象下, ()Sn xz 2 1 2 3 2 的本征值及本征函数。当体 系处于 1 2 ()sz态时,求Sn 2 的几率为多少? C 11 河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷 学年第学期级专业(类) 考核科目量子力学课程类别必修课 考核类型考试 考核方式闭卷 卷别 D (注:考生务必将答案写在答题纸上,写在本试卷上的无效) 一、概念题:(共 20分,每小题 4 分) 1、在定态问题中,不同能量所对应的态的迭加是否为定态Schrodinger 方 程 的 解 ? 同 一 能 量 对 应 的 各 简 并 态 的 迭 加 是 否 仍 为 定
7、态 Schrodinger方程的解? 2、两个不对易的算符所表示的力学量是否一定不能同时确定?举例说明。 3、说明厄米矩阵的对角元素是实的,关于对角线对称的元素互相共轭。 4、何谓选择定则。 5、能否由Schrodinger方程直接导出自旋? 二 (20分)求在一维势阱 其它 bxaU xU 0 中运动的粒子的定态能级和波函 数。 三 (20 分) 当体系处在状态 cos 2 3 sin 2 1 时,(这里为角坐标)。 求角动量 z 分量 Lz的可能值及其平均值。 四(20 分)转动惯量为 I ,电偶极矩为D的空间转子,处在均匀电场中,如 电场较小,用微扰方法求转子基态能量至二级。 五(20分
8、)已知JJiJ xy,J 为角动量算符,jm为,JJz 2 共同本征态, 试证明:()(),Jjmj jm mj m111 D 11 河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷 学年第学期级专业(类) 考核科目量子力学课程类别必修课 考核类型考试 考核方式闭卷 卷别 E (注:考生务必将答案写在答题纸上,写在本试卷上的无效) 一、概念题:(共 20分,每小题 4 分) 1、叙述量子力学的态迭加原理。 2、厄米算符是如何定义的? 3、据 a ? , a ? =1,aaN ? ? ,nnnN ? ,证明:1 ?nnna 。 4、非简并定态微扰论的计算公式是什么?写出其适用条件。 5、自旋S 2 ,问是
9、否厄米算符?是否一种角动量算符? 二(20 分)粒子在势场 ax ax ax xU 2 2 2 1中运动,求其定态能级及波函 数。 三(20 分)氢原子处于基态。求 (1) r的平均值; (2) 动量P的平均值 四(20 分)已知哈密顿算符 30 20 001 ai aiH 求: (1)能量本征值;(2)当 a 很小时,能量修正至二级。 五(20 分)设(),F l lLJLS l 1 21 1 1 ,其中,L S 2 分别为 轨道角动量和自旋 s 1 2 的自旋角动量。lj,分别为,LJ 22 的量子数。求证: 在l确定的态中,当jl 1 2时 F l 1;当jl 1 2时 F l 0。 E
10、11 河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷 学年第学期级专业(类) 考核科目量子力学 课程类别必修课 考核类型考试 考核方式闭卷 卷别 F (注:考生务必将答案写在答题纸上,写在本试卷上的无效) 一、概念题:(共 20分,每小题 4 分) 1、波函数的量纲是否与表象有关?举例说明。 2、动量的本征函数有哪两种归一化方法?予以简述。 3、知Gee xx ,问能否得到 G d dx ?为什么? 4、简述变分法求基态能量及波函数的过程。 5、简单 Zeemann效应是否可以证实自旋的存在? 二(20 分)求在辏力场势 ar ar rU 0 中运动的粒子,当 l=0 时的定态能级 与波函数。(l 为
11、角量子数) 三(20 分)证明 x L ? , y P ? = zPi ? 。其中 x L ? 为轨道角动量 x 分量, y P ? 为动量 y 分 量。 四(20 分)已知哈密顿算符在某表象下 302 020 201 bi ia H。求: (1)实数 a,b; (2)能级和本征态。 五(20 分)已知()HA SSSBL xyzz 222 ,其中 S为自旋 2 1 s的自旋角动量, L 为轨道角动量。求体系的定态能级与波函数。 F11 河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷 学年第学期级专业(类) 考核科目量子力学课程类别必修课 考核类型考试 考核方式闭卷 卷别 G (注:考生务必将答案写在
12、答题纸上,写在本试卷上的无效) 一、概念题:(共 20分,每小题 4 分) 1、 不考虑自旋,当粒子在库仑场中运动时, 束缚态能级En的简并度是多少? 若粒子自旋为 s,问En的简并度又是多少 ? 2、根据 ? , ? 1 ? HF it F dt Fd 说明粒子在辏力场中运动时,角动量守恒。 3、 对线性谐振子定态问题, 旧量子论与量子力学的结论存在哪些根本区别? 4、简述氢原子的一级stark效应。 5、写出Jjm的计算公式。 二(20 分)已知粒子在势场 ax ax x UxU 当 当 当 0 0 0 0 中运动,0 0 U,求束缚 态能级所满足的方程。 三(20 分)证明:x ?,)
13、? (Pf= x P i ? ) ? (Pf 四(20 分)求线性谐振子在动量表象下的能级和波函数。 五(20 分)已知体系()HA LLLBS xyzz 222 ,其中 L 为轨道角动量, S为 自旋( 2 1 s)角动量。求体系的定态能级与波函数。 G 11 河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷 学年第学期级专业(类) 考核科目量子力学课程类别必修课 考核类型考试 考核方式闭卷 卷别 H (注:考生务必将答案写在答题纸上,写在本试卷上的无效) 一、概念题:(共 20分,每小题 4 分) 1、由1 2 d,说明波函数的量纲。 2、F ?、 G?为厄米算符,问 F ?, G? 与i F ?,
14、G? 是否厄米算符? 3、 据 a ? , a ? =1,aaN? ? ,nnnN ? 证明:11?nnna。 4、利用量子力学的含时微扰论,能否直接计算发射系数和吸收系数? 5、什么是耦合表象? 二(20 分)粒子在势场 其它 且当czby,x 0 , a zyxU 中运动,求其定态 能级及波函数。 三(20 分)球谐振子基态为 22 2 1 2 3 r e,求动能平均值和最可几半径。 四(20 分)某体系 0 ? H存在三个非简并能级: E01,E02,E03,相应波函数为 01, 02,03。受微扰 cde dbai eaia H下,求其能量至二级,波函数至一级。 (注:H是在 0 ?
15、H表象下给出的)。 五(20 分)求在 zS ? 表象下,)?( 2 ? 2 2 2 2 yxn S的本征值及本征函数。 当体系处于 1 2 ()sz态时,求 2 n S 的几率为多少? H 11 河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷 学年第学期级专业(类) 考核科目量子力学课程类别 必修课 考核类型考试 考核方式闭卷 卷别 I (注:考生务必将答案写在答题纸上,写在本试卷上的无效) 一、概念题:(共 20分,每小题 4 分) 1、不考虑粒子内部自由度,宇称算符P ?是否为线性厄米算符?为什么? 2、写出几率密度与几率流密度所满足的连续性方程。 3、已知aax? 2 ? 2 1 ,aa i
16、px ? 2 1 ? 2 1 ,且 1 ? nn na, 1 1? nn na,试推出线性谐振子波函数的递推公式。 4、写出一级近似下,跃迁几率的计算式。 5、何谓无耦合表象? 二(20分)粒子在 22 2 22 1 2 1 2 1 ,yxyxU中运动,求其定态能级及波函数。 三(20 分)证明: 2 ? 1 2 2 2 2 2 r P r r rr ,其中 rri Pr 1 ? 。 四(20分)F ?在某表象下矩阵形式为 000 00 00 i i F,求其本征值及本征函数。 五(20 分)证明 ()()()ABA BiAB 。其中 ,A B为与对易的矢量 算符,S 2 为s 1 2 的自旋
17、算符。 I11 河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷 学年第学期级专业(类) 考核科目量子力学课程类别必修课 考核类型考试 考核方式闭卷 卷别 J (注:考生务必将答案写在答题纸上,写在本试卷上的无效) 一、概念题:(共 20分,每小题 4 分) 1、给出线性谐振子定态波函数的递推公式。 2、G ? , G ?是否线性算符? 3、在什么样的基组中,厄米算符是厄米矩阵? 4、何谓选择定则? 5、写出jmJ ? 公式。 二、 (20 分) 已知粒子在 bxa0 ax0 bx0x 0 当 当 或当 UxU 中运动,求束缚态能级满足 的关系式。 三、 (20 分)设粒子在一维无限深势阱中运动,其基态
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