关于几何最值问题解法的探讨.pdf
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1、几何最值问题解法探讨 在平面几何的动态问题中,当某几何元素在给定条件变动时,求某几何量(如线段的长度、图形的周 长或面积、角的度数以及它们的和与差)的最大值或最小值问题,称为最值问题。 解决平面几何最值问题的常用的方法有:(1)应用两点间线段最短的公理(含应用三角形的三边关系) 求最值;(2)应用垂线段最短的性质求最值;(3)应用轴对称的性质求最值;( 4)应用二次函数求最值; (5)应用其它知识求最值。下面通过近年全国各地中考的实例探讨其解法。 一、应用两点间线段最短的公理(含应用三角形的三边关系)求最值: 典型例题: 例 1. (2012 山东济南3 分) 如图, MON=90,矩形ABC
2、D的顶点 A、B分别在边OM ,ON 上,当 B在边 ON上运动时, A随之在边OM 上运动,矩形ABCD 的形状保持不变,其中AB=2 , BC=1 ,运动 过程中,点D到点 O的最大距离为【】 A21B5C 145 5 5 D 5 2 【答案】 A。 【考点】 矩形的性质,直角三角形斜边上的中线性质,三角形三边关系,勾股定理。 【分析】 如图,取AB的中点 E,连接 OE 、DE 、OD , OD OE+DE , 当 O 、 D 、E三点共线时,点D到点 O的距离最大, 此时, AB=2 , BC=1 ,OE=AE= 1 2 AB=1 。 DE= 2222 ADAE112, OD的最大值为
3、:21。故选 A。 例 2. (2012 湖北鄂州3 分) 在锐角三角形ABC中, BC=24,ABC=45 , BD平分 ABC , M 、 N 分别是 BD 、BC上的动点,则CM+MN 的最小值是 。 【答案】 4。 【考点】 最短路线问题,全等三角形的判定和性质,三角形三边关系,垂直线段的性质,锐角三角函数定 义,特殊角的三角函数值。 【分析】 如图,在BA上截取 BE=BN ,连接 EM 。 ABC的平分线交AC于点 D, EBM= NBM 。 在AME与AMN中, BE=BN ,EBM= NBM ,BM=BM , BME BMN ( SAS ) 。ME=MN。CM+MN=CM+ME
4、CE 。 又CM+MN 有最小值,当CE是点 C到直线 AB的距离时, CE取最小值。 BC=4 2,ABC=45 , CE 的最小值为4 2sin45 0=4。 CM+MN 的最小值是4。 例 4. (2012 四川眉山 3 分) 在ABC中, AB 5,AC 3,AD是 BC边上的中线,则AD的取值范围是 【答案】 1AD 4。 【考点】 全等三角形的判定和性质,三角形三边关系。 【分析】 延长 AD至 E,使 DE=AD , 连接 CE 根据 SAS证明 ABD ECD , 得 CE=AB , 再根据三角形的三边关系即可求解: 延长 AD至 E,使 DE=AD ,连接 CE 。 BD=C
5、D ,ADB= EDC ,AD=DE , ABD ECD ( SAS ) 。 CE=AB 。 在ACE中, CE AC AECE AC ,即 22AD 8。 1 AD 4。 二、应用垂线段最短的性质求最值: 典型例题: 例 1. (2012 山东莱芜4 分) 在ABC中, AB AC 5,BC 6若点 P在边 AC上移动,则 BP的最小值是 【答案】 24 5 。 【考点】 动点问题,垂直线段的性质,勾股定理。 【分析】 如图, 根据垂直线段最短的性质,当 BP AC 时,BP取得最小值。 设 AP =x,则由AB AC 5 得 CP =5 x, 又 BC 6,在 RtAB P和 RtCBP
6、中应用勾股定理,得 222222 BPABAPBPBCCP,。 2222 ABAPBCCP,即 2 222 5x66x,解得 7 x= 5 。 2 2 757624 BP5= 5255 ,即 BP的最小值是 24 5 。 例 11. (2012 福建南平14 分)如图,在ABC中,点 D、 E分别在边BC 、 AC上,连接 AD、 DE, 且1=B=C (1)由题设条件,请写出三个正确结论:(要求不再添加其他字母和辅助线,找结论过程中添加的字母和 辅助线不能出现在结论中,不必证明) 答:结论一:;结论二:;结论三: (2)若 B=45 , BC=2 ,当点 D在 BC上运动时(点D不与 B、
7、C重合), 求 CE的最大值; 若 ADE是等腰三角形,求此时BD的长 (注意:在第(2)的求解过程中,若有运用(1)中得出的结论,须加以证明) 【答案】 解: (1)AB=AC ;AED= ADC ;ADE ACD 。 (2) B=C,B=45 , ACB为等腰直角三角形。 22 ACBC22 22 。 1=C,DAE= CAD , ADE ACD 。 AD : AC=AE :AD , 22 ADAD AE AC2 2 2 AD 2 。 当 AD最小时, AE最小,此时AD BC , AD=1 2 BC=1 。 AE的最小值为 222 1 22 。 CE的最大值 = 22 2 22 。 当
8、AD=AE 时, 1=AED=45 , DAE=90 。 点 D与 B重合,不合题意舍去。 当 EA=ED 时,如图1, EAD= 1=45。 AD平分 BAC ,AD 垂直平分BC 。BD=1 。 当 DA=DE 时,如图2, ADE ACD ,DA : AC=DE :DC 。 DC=CA=2。BD=BC DC=2 2。 综上所述,当 ADE是等腰三角形时,BD的长的长为1 或 22。 【考点】 相似三角形的判定和性质,勾股定理,等腰(直角)三角形的判定和性质。 【分析】 (1) 由B=C, 根据等腰三角形的性质可得AB=AC ; 由1=C, AED= EDC+ C 得到 AED= ADC
9、; 又由 DAE= CAD ,根据相似三角形的判定可得到ADE ACD 。 (2)由 B=C,B=45 可得 ACB为等腰直角三角形,则 22 ACBC22 22 ,由 1=C , DAE= CAD, 根 据 相 似 三 角 形 的 判 定 可 得 ADE ACD, 则 有AD: AC=AE : AD, 即 22 ADAD AE AC2 2 2 AD 2 ,当 AD BC,AD最小,此时AE最小,从而由CE=AC AE得到 CE的最大值。 分当 AD=AE , ,EA=ED ,DA=DE 三种情况讨论即可。 练习题: 1. ( 2011 浙江衢州3 分) 如图, OP平分 MON ,PA ON
10、 于点 A,点 Q是射线 OM上的一个动点,若PA=2 , 则 PQ的最小值为【】 A、1 B、 2 C、3 D 、4 2. (2011 四川南充 8 分) 如图,等腰梯形ABCD 中,AD BC , AD=AB=CD=2,C=60 , M是 BC的中点 (1)求证: MDC是等边三角形; (2)将 MDC绕点 M旋转,当MD (即 MD )与 AB交于一点E,MC (即 MC )同时与AD交于一点F 时, 点 E,F 和点 A构成 AEF 试探究 AEF 的周长是否存在最小值如果不存在,请说明理由;如果存在, 请计算出 AEF 周长的最小值 3. (2011 浙江台州4 分) 如图,O 的半
11、径为2,点 O到直线 l 的距离为3,点 P是直线 l 上的一个动点, PQ切O 于点 Q ,则 PQ的最小值为【】 A13 B5 C3 D2 4. (2011 河南省 3 分) 如图,在四边形ABCD中, A=90 , AD=4 ,连接BD ,BD CD ,ADB= C若P 是 BC边上一动点,则DP长的最小值为 5. (2011 云南昆明 12 分) 如图,在RtABC中, C=90 , AB=10cm ,AC :BC=4 :3,点 P从点 A出发沿 AB方向向点B运动,速度为1cm/s,同时点Q从点 B出发沿 BCA方向向点A运动,速度为2cm/s,当 一个运动点到达终点时,另一个运动点
12、也随之停止运动 (1)求 AC 、BC的长; (2)设点 P的运动时间为x(秒),PBQ的面积为y( cm 2) ,当 PBQ存在时,求 y 与 x 的函数关系式, 并写出自变量x 的取值范围; (3)当点 Q在 CA上运动,使PQ AB时,以点 B、P、Q为定点的三角形与 ABC 是否相似,请说明理由; (4)当 x=5 秒时,在直线PQ上是否存在一点M ,使 BCM得周长最小,若存在,求出最小周长,若不存 在,请说明理由 三、应用轴对称的性质求最值: 典型例题: 例 1. (2012 山东青岛3 分) 如图,圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm,在杯内 离杯底 4cm的点 C处有一
13、滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂 蚁到达蜂蜜的最 短距离为 cm 【答案】 15。 【考点】 圆柱的展开,矩形的性质,轴对称的性质,三角形三边关系,勾股定理。 【分析】 如图,圆柱形玻璃杯展开(沿点A 竖直剖开)后侧面是一个长 18 宽 12 的矩形,作点 A关于杯上沿MN 的对称点B, 连接 BC交 MN于点 P , 连接 BM ,过点 C作 AB的垂线交剖开线MA于点 D。 由轴对称的性质和三角形三边关系知AP PC为蚂蚁到达蜂蜜 的最短距离,且AP=BP 。 由已知和矩形的性质,得DC=9 , BD=12 。 在 RtBCD中,由勾股定理得 222
14、2 BCDCBD91215。 AP PC=BP PC=BC=15 ,即蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为15cm 。 例 2. (2012 甘肃兰州 4 分) 如图,四边形ABCD 中, BAD 120, BD90,在BC 、CD上分别 找一点 M 、N,使 AMN周长最小时,则 AMN ANM 的度数为【】 A130 B120 C110 D100 【答案】 B。 【考点】 轴对称(最短路线问题),三角形三边关系,三角形外角性质,等腰三角形的性质。 【分析】 根据要使 AMN的周长最小,即利用点的对称,让三角形的三边在同一直线上,作出A关于 BC和 ED 的对称点A,A,即可得出 AA M A HAA
15、60,进而得出 AMN ANM 2(AA M A) 即可得出答案: 如图,作A关于 BC和 ED的对称点A,A,连接AA,交BC于 M ,交 CD于 N,则 AA即 为AMN的周长最小值。作DA延长线 AH 。 BAD 120, HAA 60。 AA M A HAA 60。 MA AMAA , NAD A, 且MA AMAA AMN , NAD A ANM , AMN ANM MA AMAA NAD A2(AA M A) 260120。 故选 B。 例 4. (2012 四川攀枝花4 分)如图, 正方形 ABCD中,AB=4 ,E是 BC的中点, 点 P是对角线AC上一动点, 则 PE+PB的
16、最小值为 【答案】2 5。 【考点】 轴对称(最短路线问题),正方形的性质,勾股定理。 【分析】 连接 DE ,交 BD于点 P ,连接 BD 。 点 B与点 D关于 AC对称, DE 的长即为PE+PB的最小值。 AB=4 , E是 BC的中点, CE=2 。 在 RtCDE中, 2222 DE=CD +CE4 +22 5。 练习题: 1. ( 2011 黑龙江大庆3 分) 如图,已知点A(1,1) 、B(3, 2) ,且 P为 x 轴上一动点,则 ABP 的周长的 最小值为 2. (2011 辽宁营口3 分) 如图,在平面直角坐标系中,有A(1,2) ,B(3,3) 两点,现另取一点C(a
17、,1) , 当 a 时, AC BC的值最小 3. (2011 山东济宁8 分)去冬今春,济宁市遭遇了200 年不遇的大旱,某乡镇为了解决抗旱问题,要在某 河道建一座水泵站,分别向河的同一侧张村A和李村 B送水。经实地勘查后,工程人员设计图纸时,以河 道上的大桥O为坐标原点, 以河道所在的直线为x轴建立直角坐标系 (如图)。 两村的坐标分别为A (2, 3) , B(12,7) 。 (1) 若从节约经费考虑,水泵站建在距离大桥O多远的地方可使所用输水管道最短? (2) 水泵站建在距离大桥O多远的地方,可使它到张村、李村的距离相等? 4. (2011 辽宁本溪3 分) 如图,正方形ABCD 的边
18、长是4,DAC的平分线交DC于点 E,若点 P、Q分别是 AD和 AE上的动点,则DQ+PQ 的最小值【】 A、2 B、 4 C、2 2 D、4 2 5. (2011 辽宁阜新 3 分) 如图,在矩形ABCD 中, AB 6, BC 8,点 E是 BC中点,点F 是边 CD上的 任意一点,当 AEF 的周长最小时,则DF的长为【】 A1 B2 C3 D4 6. (2011 贵州六盘水3 分) 如图,在菱形ABCD 中,对角线AC=6 ,BD=8 ,点 E、 F分别是边AB 、BC的 中点,点P在 AC上运动,在运动过程中,存在PE+PF的最小值,则这个最小值是【】 A3 B4 C5 D6 7.
19、 (2011 甘肃天水4 分) 如图,在梯形ABCD 中,AB CD ,BAD=90 ,AB=6 ,对角线AC平分 BAD ,点 E在 AB上,且 AE=2 ( AE AD ) ,点 P是 AC上的动点,则PE+PB的最小值是 四、应用二次函数求最值:典型例题: 例 1. (2012 四川自贡4 分) 正方形 ABCD的边长为1cm , M 、 N分别是 BC CD上两个动点, 且始终保持AM MN , 当 BM= cm时,四边形ABCN的面积最大,最大面积为 cm 2 【答案】 1 2 , 5 8 。 【考点】 正方形的性质,相似三角形的判定和性质,二次函数的最值。 【分析】 设 BM=xc
20、m ,则 MC=1 xcm, AMN=90 , AMB+ NMC=90 , NMC+ MNC=90 , AMB=90 NMC= MNC 。 ABM MCN , ABBM MCCN ,即 1x 1xCN ,解得 CN=x ( 1x) 。 22 ABCN 1111115 S1 1x1x xxx 2222228 四形 ()() 边 。 1 2 0,当 x= 1 2 cm时, S四边形 ABCN最大,最大值是 5 8 cm 2。 例 2. (2012 江苏扬州3 分) 如图,线段AB的长为 2,C为 AB上一个动点,分别以AC 、BC为斜边在AB的 同侧作两个等腰直角三角形ACD 和BCE ,那么DE
21、长的最小值是 【答案】 1。 【考点】 动点问题,等腰直角三角形的性质,平角定义,勾股定理,二次函数的最值。 【分析】 设 AC x,则 BC 2x, ACD和BCE都是等腰直角三角形, DCA 45, ECB 45,DC 2 x 2 ,CE 2 (2x) 2 。 DCE 90。 DE 2 DC2CE2(2 x 2 ) 22 (2x) 2 2 x2 2x2 (x 1)2 1。 当 x1 时, DE 2 取得最小值, DE也取得最小值,最小值为1。 例 3. (2012 宁夏区 10 分) 在矩形 ABCD 中, AB=2 ,AD=3,P 是 BC上的任意一点(P与 B、C不重合),过点 P作
22、AP PE ,垂足为P,PE交 CD于点 E. (1) 连接 AE ,当 APE与ADE全等时,求BP的长; (2) 若设 BP为 x, CE为 y,试确定y 与 x 的函数关系式。当x 取何值时, y 的值最大?最大值是多少? (3) 若 PE BD ,试求出此时BP的长 . 【答案】 解: (1) APE ADE ,AP=AD=3 。 在 RtABP中, AB=2 ,BP= 2222 APAB325。 (2) AP PE ,RtABP RtPCE 。 ABBP PCCE ,即 2x 3xy 。 2 13 yxx 22 。 22 13139 yxx(x) 22228 当 3 x 2 时, y
23、 的值最大,最大值是 9 8 。 (2)设 BP=x, 由( 2)得 213 CExx 22 。 PE BD , CPE CBD 。 CPCE CBCD ,即 213 xx 3x 22 32 , 化简得 2 3x13x120。 解得 1 4 x 3 或 2 x3(不合题意,舍去) 。 当 BP=4 3 时,PE BD 。 【考点】 矩形的性质,全等三角形的性质,勾股定理,相似三角形的判定和性质,二次函数的最值,平行 的性质,解一元二次方程。 【分析】(1)由 APE ADE可得 AP=AD=3 ,在 RtABP中,应用勾股定理即可求得BP的长。 (2)由 AP PE ,得 RtABP RtPC
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