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1、1 反比例函数系数k 的几何意义探究 教学任务分析 教学目标 知识 技能 1、 理解和运用反比例函数的图像和性质; 2、 掌握求反比例函数的解析式的方法; 3、 会用待定系数法求反比例函数表达式。 过程 方法 让学生经历从反比例函数上任一点向坐标轴的作垂线所得矩形或三角形 面积大小的过程,体会反比例函数系数的几何意义。 情感 态度 1、 让学生进一步体会数形结合和转化的数学思想; 2、 通过探究反比例函数系数的几何意义,培养学生的探索能力。 评价方式 纸笔测试A、B、 C组练习题。 重点探究反比例函数系数的几何意义 难点探究反比例函数系数的几何意义 流程、思路与理念 流程思路理念 复习回顾 引
2、入新课 通过简单题目复习回顾反比 例函数的图像和性质,为本节 课的学习做准备。并以最后一 题面积问题,有特殊到一般引 入新课。 从旧知识到新知识, 充分运用已学过的 反比例函数的图像和性质,为本节课的 探究做好准备, 并以最后一题面积的求 解引入新课。 让学生感受从特殊到一般 的数学思考方法。 小组合作 探究新知 分两点位于反比例函数图像同 一支和不同支,及函数在一、 三象限和二、四象限等不同情 况进行分类探究反比例函数系 数的几何意义。 让学生通过讨论和探究过程体会反比例 函数系数的几何意义,进一步体会分类 讨论和数形结合的数学思想。 分层练习 提高技能 通过技能的训练,巩固反比例 函数系数
3、的几何意义。 通过分层递进练习, 让每个学生都有可以 做的题目,使不同程度的学生通过练习得 到不同程度的发展和提高。体现人人学不 同数学的新课程理念。 典例分析 深化理解 通过两个不同类型的例题让 学生灵活运用反比例函数的 几何意义。 使学生正确理解反比例函数系数的几何 意义及函数交点的意义,规范学生的解 题步骤,让学生进一步体会数形结合和 转化的思想。 概括总结 画龙点睛 通过师生互动的形式再次呈现 本节课的主要知识。 概括是课堂教学的核心,适时的总结 利于学生对知识学习的升华。 2 教学过程设计 问题与情景师生行为设计意图 一、复习回顾,引入新课 1已知反比例函数的图像经过点 1 (, 2
4、) 2 P,则反比例数 的解析式是 _. 2.已知反比例函数 2a y x 的图像在二,四象限,则 a_. 3.已知反比例函数 k y x 在每一象限内y 随 x 的增大而 增大,则它的图像经过第_象限。 4. 已知点 A(1,2)在反比例函数 k y x 上,过点A 作 AB 垂直于 x 轴于点 B, 作 AC垂直于 y 轴于点 C, 则矩形 ABOC 的面积为 _。 学生独立完成, 教师 随意抽取学生的学案进 行点评。 在活动中教师应关注: 学生是否熟练掌握反比 例函数的图像和性质及 其运用,为本节课的探 究做好准备。 从旧知识到 新知识,充分 运用已学过 的反比例函 数的图像和 性质,为
5、本节 课的探究做 好准备,并以 最后一题面 积的求解引 入新课。让 学生感受从 特殊到一般 的数学思考 方法。 问题与情景师生活动设计意图 二、小组合作,探究新知 探究一 . 如图,在反比例函数(0) k yk x 图象上任 取两点 P,Q ,过点 P分别作 x 轴, y 轴的垂线,与两坐标 轴围成的矩形面积为 1S ,过点 Q 分别作 x 轴, y 轴的垂 线,与两坐标轴围成的矩形面积为 2S,请问1S 和2S之 间有什么关系?为什么? 思考: 1 若反比例函数的图像在二. 四象限内时 , 1S 和2S 之间有什么关系?为什么? 2. 若点 P,Q 分别在反比例函数的不同分支上时, 1S 和
6、2S 之间有什么关系?为什么? 小结 :从反比例函数y k x(k 为常数, k0)的图象上任一 点 P(x,y)分别向 x 轴和 y 轴作垂线,所构成的矩形的面积 Sxy_. 教师提出问题, 学生 思考、小组合作交流。 教师应该重点关注: (1)学生是否用正确 的数学语言书写; (2)思考问题中学生 是否注意符号问题 (3)问题探究过程中 学生是否正确进行分类 讨论; (4) 师生交流中学生体 现的情感态度。 让学生通 过讨论和探 究过程体会 反比例函数 系数的几何 意义,进一步 体会分类讨 论和数形结 合的数学思 想。 3 探究二 .如图 ,若 CA , 为 y k x(k 为常数,k 0
7、)上的任两点 , 过 CA , 分别作 x轴 (或 y轴)的垂线 , 垂 足 分 别 为 ,B D , 则 AOB 和 COD的面积相等吗?为什么 ? 小结 :从反比例函数y k x(k 为常数, k 0)的图象上任选一 点向一坐标轴作垂线,这一点和垂足及坐标原点所构成的 三角形的面积S 1 2 xy_ 三、典型例题 例 一 : 已 知 反 比 例 函 数y m7 x 的图象的一支位于第一 象限 (1)判断该函数图象的另一支所 在的象限,并求 m 的取值范围; (2)如图, O 为坐标原点,点A 在该反比例函数位于第一 象限的图象上,点B 与点 A 关于 x 轴对称,若OAB 的 面积为 6,
8、求 m 的值 例 二 :如 图 , 反 比 例 函 数 x k y的 图 象 与 一 次 函 数 bmxy的图象交于两点)1,(),3 , 1(aBA (1)求反比例函数与一次函数的函数关系式; (2)根据图象,直接回答:当x 取何值时,一次函数的 值大于反比例函数的 值; (3) 连接 AO、BO,求 ABO 的面积; 教师提问, 学生独立 思考,教师引导学生正 确运用反比例函数系数 的几何意义解决问题。 教师应关注: (1)学生是否直接应 用反比例函数系数的几 何意义解决解答题; (2)学生是否理解函 数交点要同时满足一次 函数和反比例函数的解 析式,并将几何问题转 化为代数问题,从而求
9、函数解析式; (2) 学生是否灵活运用 数形结合的思想解决问 题。 使学生正 确理解反比 例函数系数 的几何意义 及函数交点 的意义,规范 学生的解题 步骤,让学生 进一步体会 数形结合和 转化的思想。 B(a,-1) A(1,3) 0 y x -5 -4 -3 -2 -1 5 4 3 2 1 5-143 21 4 问题与情景师生行为设计意图 四、课堂练习 A 层 1如图,已知一次函数y axb 和反比例函数y k x 的图象相交于A,B 两点, 则 不 等 式ax b k x 的 解 集 为 ( ) Ax1 Cx3 或 0x1 D 3x1 2.如图,M 为反比例函数y k x的图象上 的一点
10、, MA 垂直于 y 轴,垂足为 A, MAO 的面积为2,则 k 的值为 _ B 层 3.如图所示, P1,P2,P3分别是双曲线一支上的三个点, 过这三个点分别作y 轴的垂线,垂足分别为A1, A2,A3, 连接 P1O,P2O,P3O,得到 P1A1O, P2A2O, P3A3O.设它们的面积分别 是 S1,S2,S3,则 ( ) AS1S2S3B S2S1S3 CS1S3S2DS1S2S3 4. 以正方形ABCD 两条对角线的交点 O 为坐标原点,建立如图所示的平面 直角坐标系,双曲线y3 x经过点 D, 则正方形 ABCD 的面积是 () A 10 B 11 C 12 D 13 C层
11、 5.如图,已知一次函数 bkxy 的图象与反比例函数 x y 8 的图象交于A、B 两点,且点A 的横坐标和点B 的纵坐标都是 -2求: (1)一次函数的解析式; (2)根据图象写出使一次函数的 值大于反比例函数的值的 x的取值范围 (3) AOB 的面积 教师提问, 学生独立 完成 A、 B、 C 组的练习。 教师给出A 组题目的答 案,点评B组,学生讨 论 C 组题目,教师讲评 C组题目。 教师应该重点关注: (1) 学生习题的完成情 况及正确率; (2) B、C组中学生是 否能够灵活运用反比例 函数系数的几何意义; 通过分层 练习回顾和 复习整节课 所学的全部 知识,同时检 测学生的学
12、 习效果。分层 的设计可以 满足不同层 次学生的学 习需求,让格 格层次的学 生都可以体 验到学习数 学的成就感, 从而激发学 生学习的兴 趣。 5 课堂小结 1.从反比例函数y k x (k 为常数, k 0)的图象上任一点 P(x,y)分别向x 轴和 y 轴作垂线,所构成的矩形的面积S xy_. 2.从反比例函数y k x(k 为常数, k 0)的图象上任选一点 P(x,y)向一坐标轴作垂线,这一点和垂足及坐标原点所构 成的三角形的面积S 1 2 xy_. 3.如何灵活运用反比例函数系数的几何意义,求一次函数 和反比例函数交点和原点所构成的三角形的面积? 教师提问,学生全体 回答。教师对学
13、生的进 步给予肯定,增强了学 生的信心。 教师应关注: (1)学生能否准确的 概括出本节课的内容; (2)不同层次的学生 对本节课知识的掌握情 况。 (3)特别强调解答题 中不可以直接利用反比 例函数的几何意义,要 有适当的步骤。 通过回顾 和反思,使学 生加深对反 比例函数系 数几何意义 的理解,能够 根据已知条 件确定反比 例函数的解 析式。 六.课后作业 1.如图,函数 y x 与 y 4 x 的图象 相交于 A,B 两点,过A,B 两点分 别作 y 轴的垂线,垂足分别为C,D, 则四边形 ACBD 的面积为 () A2 B4 C6 D8 2.如图, A,B 两点在双曲线y 4 x 上, 分别经过 A,B 两点向 x 轴,y 轴作垂 线段 已知 S阴影1, 则 S1S2() A3 B4 C5 D6 3.反比例函数y n7 x 的图象的一支 在第一象限, A( 1,a),B( 3,b)两点均在这个函数的 图象上 .(1)图象的另一支位于哪个象限?常数n 的取值范 围是什么? (2)请比较 a,b 的大小; (3)过点 A 作 AC x 轴于点 C,若 AOC 的面积为5,求 这个反比例函数的解析式. 课后学生及时巩固训练课后学生及 时巩固课堂 所学知识, 加 深对课堂学 习知识的理 解和内化。
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