18年高考数学专题23数列通项公式的求解策略黄金解题模板.pdf
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1、1 。 。 。 内部文件,版权追溯 内部文件,版权追溯 内部文件,版权追溯 专题 23 数列通项公式的求解策略 【高考地位】 在高考中数列部分的考查既是重点又是难点,不论是选择题或填空题中对基础知识的考查,还是压轴 题中与其他章节知识的综合,抓住数列的通项公式通常是解题的关键和解决数列难题的瓶颈。求通项公式 也是学习数列时的一个难点。由于求通项公式时渗透多种数学思想方法,因此求解过程中往往显得方法多、 灵活度大、技巧性强。 【方法点评】 方法一数学归纳法 解题模板:第一步求出数列的前几项,并猜想出数列的通项; 第二步使用数学归纳法证明通项公式是成立的. 例 1 若数列 n a的前 n 项和为
2、n s,且方程 2 0 nn xa xa有一个根为 n s1,n=1,2,3 (1) 求 12 ,a a; (2)猜想数列 n S的通项公式,并用数学归纳法证明 试题解析:解: (1) 12 11 , 26 aa (2)由 2 (1)(1)0 nnnn SaSa 知 2 210 nnnn SSa S 2 1( 2) nnn aSSn代入 2 210 nnnn SSa S 1210nnnS SS(2)n() 【变式演练1】已知数列 n a满足 11 22 8(1)8 (21) (23)9 nn n aaa nn ,求数列 n a的通项公式。 3 由此可知,当 1nk 时等式也成立。 根据( 1)
3、 , ( 2)可知,等式对任何 * nN都成立。 【变式演练2】把数列 21n( Nn)依次按第一个括号一个数,第二个括号两个数,第三个括号三 个数,第四个括号四个数,第五个括号一个数,第六个括号两个数,进行摆放,即(3) , (5,7) , (9,11, 13) , (15,17,19,21) , (23) , (25,27) , (29,31,33) , (35,37,39, 41) , (43) , (45,47) ,则第 104 个括号内各数之和为() A2072 B2060 C2048 D2036 【答案】 A 【解析】 4 试题分析:该摆放具有周期性,周期为4,即一个周期内有4 个
4、括号,而第104 个括号位于第26 个周期内, 又第一个周期中最后一个数为21,第二个周期最后一个数为41,第三个周期最后一个数为81,易知每个周 期的最后一个数依次构成以21 为首项,公差为20 的等差数列,由此可得第104 个括号内的最后一个数为 521,由此得第104 个括号内的四个数为515、517、519、521. 考点:归纳推理的应用。 方法二 n S法 使用情景:已知()( ) nnn Sf aSf n或 解题模板:第一步利用 n S满足条件p,写出当2n时, 1n S 的表达式; 第二步利用 1( 2) nnn aSSn,求出 n a或者转化为 n a的递推公式的形式; 第三步
5、根据 11 aS求出 1 a,并代入 n a的通项公式进行验证,若成立,则合并;若不成立, 则写出分段形式或根据 1 a和 n a的递推公式求出 n a. 例 2 在数列 n a中,已知其前n项和为 23 n n S,则 n a_ 【答案】 1 5,1 2,2 nn n a n 【变式演练3】已知数列 n a的前项和为 n S,若=2-4 nn SanN,则= n a() A. 1 2 n B. 2 n C. -1 2 n D. -2 2 n 【答案】 A. 5 【解析】 试题分析: 1111 24(24)2 nnnnnnn aSSaaaa,再令1n, 111 244Saa,数列 n a是以
6、4 为首项, 2 为公比是等比数列, 11 4 22 nn n a,故选 A. 考点:本题主要考查数列的通项公式. 【变式演练4】在数列 n a中,1 1 a,)( 2 1 32 1321 Nna n naaaa nn (1)求数列 n a的通项 n a; (2)若存在 * nN,使得 (1) n an成立,求实数的最小值 . 【答案】(1) 2 1,1 2 3,2 n n n a n n ;(2) 1 3 6 方法三累加法 使用情景:型如 1 ( ) nn aaf n或 1 ( ) nn aaf n 解题模板:第一步将递推公式写成 1 ( ) nn aaf n; 第二步依次写出 121 ,
7、nn aaaa,并将它们累加起来; 第三步得到 1n aa的值,解出 n a; 第四步检验 1 a是否满足所求通项公式,若成立,则合并;若不成立,则写出分段形式. 例 3 数列 n a满足 1 1 a ,对任意的 * nN都有naaa nn11 ,则 201621 111 aaa () A、 2015 2016 B、 4032 2017 C、 4034 2017 D、 2016 2017 【答案】 B 7 【变式演练5】在数列 n a中, 1 a=1, 1 1 nn aan (n=2 、3、4 ) ,求 n a 的通项公式。 【答案】 2 2 2 n nn a 【变式演练6】已知数列 an满足
8、a11 2, an 1an 1 n 2 n,求 an. 【答案】 31 2 n a n 8 方法四累乘法 使用情景:型如 1 ( ) n n a f n a 或 1 ( ) nn aaf n 解题模板:第一步将递推公式写成 1 ( ) n n a f n a ; 第二步依次写出 2 11 , n n aa aa ,并将它们累加起来; 第三步得到 1 n a a 的值,解出 n a; 第四步检验 1 a是否满足所求通项公式,若成立,则合并;若不成立,则写出分段形式. 例 4 已知数列 n a满足 nnn aa n n aa求, 1 , 3 2 11 【答案】 n an 3 2 【变式演练7】已知
9、数列 n a中, 1 a=1, n n n aa2 1 (n) N,则数列 n a的通项公式为() A 1 2 n n a B n n a2 9 C 2 )1( 2 nn n a D 2 2 2 n n a 【答案】 C 【解析】 试题分析: 1231 1324 1 1231 222222 nnn nn nn nn aaaaa aa aaaaa , 即 111 1 2 31 222 1 1 2222 n nn nn n n n n a aa a 故 C正确 考点: 1 累乘法求通项公式;2 等差数列的前n项和 方法五构造法一 使用情景:型如 1nn apaq(其中,p q为常数,且(1)0,p
10、q p) 解题模板:第一步假设将递推公式改写为an1tp(ant) ; 第二步由待定系数法,解得 1 q t p ; 第三步写出数列 1 n q a p 的通项公式; 第四步写出数列 n a通项公式 . 例 5 已知数列 n a满足 1 a=1, 1n a =21 n a (nN) ,求数列 n a 的通项公式。 【答案】 n a=21 n 【变式演练8】如题图, 已知点D为ABC的边BC上一点,3BDDC,() n EnN为边AC上的列点, 满足 1 1 (32) 4 nnnnn E AaE BaE D,其中实数列 na 中 1 0,1 n aa,则 na 的通项公式为() 10 A 1 3
11、 22 n B21 n C32 n D 1 2 31 n 【答案】 D 【解析】 试题分析:因为3BDDC,所以 14 33 nnn E CE BE D设 nn mE CE A,则由 1 1 4 nnn E AaE B (32) nn aE D, 得 1 11 34 n ma,4(32) 3 n ma, 所以 1 11 (32) 44 nn aa, 所以 1 13(1) nn aa 因 为 1 12a,所以数列1 n a是以2 为首项,3 为公比的等比数列,所以 1 12 3 n n a ,所以 1 2 31 n n a,故选 D 考点: 1、向量的加减运算;2、等比数列的定义及通项公式 【变
12、式演练10】已知数列 an 中,a11,an12an3,求an. 【答案】an2 n13. 方法六构造法二 使用情景:型如 1nn apaqnr(其中,p q为常数,且(1)0,pq p) 解题模板:第一步假设将递推公式改写为 1 (1)() nn ax nyp axny; 第二步由待定系数法,求出, x y的值; 第三步写出数列 n axny的通项公式; 第四步写出数列 n a通项公式 . 11 例 6 已知数列 n a满足 2 11 23451 nn aanna,求数列 n a的通项公式。 【答案】 42 231018 n n ann 2 13 1101 1813132a为首项,以2 为公
13、比的等比数列,因此 21 31018322 n nann, 则 42 231018 n n ann。 例 7 已知数列 n a中的 12 ,a a分别为直线2 +20x y -=在x轴、 y轴上的截距,且 2 1 2 nn nn aa aa + + - = + ,则数列 n a的通项公式为 【答案】 ( ) 31 4 n n - . 【解析】 12 试题分析: 由已知得: 12 1,2aa,已知条件可化为 21 23 nnn aaa,设 211nnnn ax ay ax a, 可化为: 21nnn ayx axya,则 2 3 yx xy ,解得: 3 1 y x ,即 211 3 nnnn
14、aaaa,所以数 列 1nn aa是以3为首项,3为公比的等比数列,则13 n nn aa两边同时除以 1 3 n 转化为: 11 11 11111 33 3334334 nnnn nnnn aaaa ,即数列 1 34 n n a 是以 1 12 为首项, 1 3 为公比的等比数列, 所以 11 31 111111 34123341234 nnn n nn n nn aa a 考点: 1. 等比数列的通项公式;2. 构造等比数列 【方法点晴】本题主要考察的是等比数列的通项公式和根据递推数列构造等比数列,属于难题本题两次 构造等比数列,首先设 211nnnn axay axa,再根据已知条件
15、21 23 nnn aaa确定,x y的值,构 造数列 1nn aa为等比数列; 第二,根据 1 3 n nn aa,两边同时除以 1 3 n 得数列 1 34 n n a 为等比数列, 从而得解因为两次构造等比数列,做题过程中要注意认真计算,否则容易出现错误 【变式演练11】 设数列 an 满足a14,an3an12n1(n2) ,求an. 【答案】an23 n n1. 【变式演练12】已知数列 n a中 1 1 2 a,函数 2 ( ) 1 x fx x (1)若正项数列 n a满足 1 () nn af a,试求出 2 a, 3 a, 4 a,由此归纳出通项 n a,并加以证明; 13
16、(2)若正项数列 n a满足 1 () nn af a(nN *) ,数列 n b的前项和为Tn,且 21 n nn a b ,求证: 1 2 n T 【答案】(1) 234 248 , 359 aaa, 1 1 2 12 n n n a ; (2)证明见解析 【解析】 试题分析: ( 1)由递推公式依次可求得 234 ,a aa,用数学归纳法的要求证明即可;也可把递推公式 1 2 1 n n n a a a 变形为 1 111 1(1) 2 nn aa ,则数列 1 1 n a 是等比数列; (2)要与( 1)进行联系,首选函数 22 ( )2 11 x f x xx ,因此( )f x在(
17、0,)上是增函数,可妨(1)进行归纳, 21 2 () 3 af a, 32 24 ()() 35 af af, 43 48 ()() 59 af af,也可把 1 () nn af a变形为 1 1 1 1 1 2 1 n n a a ,由累乘 证明如下: 1 2 1 n n n a a a , 1 11111 222 n nnn a aaa , 1 111 1(1) 2 nn aa , 数列 1 1 n a 是以 1 为首项、 1 2 为公比的等比数列, 14 1 11 1 2 n n a , 1 1 1 12 1 12 1 2 n nn n a ; (2) 1 2 () 1 n nn n
18、 a af a a (nN *) , 1 111 1(1) 2 nn aa , 1 1 1 1 1 2 1 n n a a , 累乘得: 1 1 1 1 1 1 2 1 n n a a , 1 11 1 2 n n a ,即 1 1 1 1 2 n n a , 1 1 2 12 n nn a, 1 1 1 11 2 211 12 1212(12 )(12)1212 n n n n nnnnnnn a b , 01121 111111 121212121212 nnn T 11 212 n 1 2 考点:归纳法,等比数列的公式,累乘法,放缩法证明不等式 方法七构造法三 使用情景:型如 1 n n
19、n apaq(其中,p q为常数,且 (1)0,pq p) 解题模板:第一步在递推公式两边同除以 1n q ,得 1 1 1 nn nn aap qq qq ; 第二步利用方法五,求数列 n n a q 的通项公式; 第三步写出数列 n a通项公式 . 例 7 已知数列 n a满足112356 n nn aaa,求数列 n a的通项公式。 【答案】 15 例 8 已知数列 n a满足 1 232 n nn aa, 1 2a,求数列 n a的通项公式。 【答案】 31 ()2 22 n n an 【变式演练13】已知数列 an中,a1 5 6, an1 1 3a n 1 2 n 1,求 an.
20、【答案】bn32 2 3 n, an bn 2 n3 1 2 n2 1 3 n. 【解析】法一:在an11 3a n 1 2 n 1 两边乘以2 n1,得 2n 1 an12 3(2 n an) 1. 令bn2 n an,则bn1 2 3b n1, 16 17 方法八构造法四 使用情景:型如 11nnn apaqa(其中,p q为常数,且0,2pqn) 解题模板:第一步假设将递推公式改写成 11 () nnnn asat asa; 第二步利用待定系数法,求出 , s t的值; 第三步求数列 1 nn asa的通项公式; 第四步根据数列 1 nn asa的通项公式,求出数列 n a通项公式 .
21、例 9 数列 n a中, nnn aaaaa 1221 23 ,2, 1,求数列 n a的通项公式。 【答案】 n a 1 ) 3 1 ( 4 3 4 7 n 【变式演练14】已知数列 n a满足 * 1221 1,4,43(). nnn aaaaanN (1)求 34 ,a a的值;(2)证明:数列 1nn aa是等比数列; (3)求数列 n a的通项公式; 18 【答案】见解析 方法九构造五 使用情景:型如 1 n n n pa a qar (其中, ,p q r为常数) 解题模板:第一步将递推公式两边取倒数得 1 11 nn rq apap ; 第二步利用方法五,求出数列 1 n a 的
22、通项公式; 第三步求出数列 n a通项公式 . 例 10 已知数列 n a满足, 1, 13 1 1 1 a a a a n n n 求数列 n a的通项公式。 【答案】 1 32 n a n 19 【变式演练15】已知数列 an的首项a13 5, an1 3an 2an1, n1,2,3 ,求 an的通项公式 【答案】an 3 n 3 n2. 【解析】an 1 3an 2an 1, 1 an 1 2 3 1 3an, 方法十构造六 使用情景:型如 1( 2,0) r nn apanp 解题模板:第一步对递推公式两边取对数转化为 1nn bpbq; 第二步利用方法五,求出数列 n b的通项公式
23、; 第三步求出数列 n a通项公式 . 例 11 若数列 n a中, 1 a=3 且 2 1nn aa (n 是正整数),求它的通项公式是 n a。 20 【变式演练16】已知数列 an中,a1 1,an 11 a a 2 n(a0),求数列 an 的通项公式 【答案】 1 1 2n n aa 所以bncnlg 1 a2 n1lg1 alg 1 a lga 1 a 2n1 lga 1 12n , 即 lg anlga 1 12n ,所以 1 1 2 n n aa. 【高考再现】 1. 【 2015 高考新课标1,文 7】已知 n a是公差为1 的等差数列, n S为 n a的前n项和,若 84
24、 4SS,则 10 a() (A) 17 2 (B) 19 2 (C)10(D)12 【答案】 B 21 【考点定位】等差数列通项公式及前n 项和公式 【名师点睛】解等差数列问题关键在于熟记等差数列定义、性质、通项公式、前n 项和公式,利用方程思 想和公式列出关于首项与公差的方程,解出首项与公差,利用等差数列性质可以简化计算. 2. 【2016 高考浙江理数】设数列an的前n项和为Sn. 若S2=4,an+1=2Sn+1,nN *,则 a1= ,S5= . 【答案】 1121 【解析】 试题分析: 122112 4,211,3aaaaaa, 1111 21,21(2)23(2) nnnnnnn
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