18年高中数学黄金100题系列第74题双曲线中的基本问题理.pdf
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1、1 。 。 。 内部文件,版权追溯 内部文件,版权追溯 内部文件,版权追溯 第 74 题双曲线中的基本问题 I 题源探究黄金母题 【例1】双曲线 22 4640xy上一点P到它的一个焦点 的距离等于1,那么点P到另一个焦点的距离等于 【答案】 17 【解析】把方程化为标准方程,得 22 1 6416 yx 8a, 由双曲线定义可知, 点P到两焦点距离的差的绝对值等于16, P到另一个焦点的距离等于17 【例 2】求以椭圆1 58 22 yx 的焦点为顶点,以椭圆的顶点 为焦点的双曲线的方程 【解析】设双曲线的方程为)0, 0(1 2 2 2 2 ba b y a x ,因为 1 58 22 y
2、x ,8,358 22 ca,所求双曲线的方程为 1 83 22 yx 精彩解读 【试题来源】人教版A 版选修2-1P49习题 2 3A组 T1 【母题评析】本题考查双曲线的定义,考查 考生的简单的计算能力和逻辑推理能力 【思路方法】结合双曲线的定义解题 【试题来源】人教版 A版选修 1-1P61T4 【母题评析】 求圆锥曲线方程问题是教材中 例题和练习题都重点、高频出现的问题,也 是高考常见题,大多利用待定系数法求解, 本题主要借助圆锥曲线间的联系求解,主 要考查对椭圆、 双曲线的定义、 性质的理解 【思路方法】 求双曲线的标准方程先定“形” 再定“参” II 考场精彩真题回放 【 例1 】
3、 【 2017高 考 天 津 卷 】 已 知 双 曲 线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左焦点为F,离心率为2若 经过F和(0, 4)P两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则 双曲线的方程为() 【命题意图】这类题主要考查双曲线的定 义、标准方程及其简单几何性质等 【考试方向】 高考对这部分的考查主要集中 在以下几个方面:(1)根据双曲线的定义 求双曲线的标准方程(选择、填空,解答题 第一问,常与双曲线性质、其它圆锥曲线和 直线等综合考察);(2)双曲线性质的初 2 A 22 1 44 xy B 22 1 88 xy C 22 1 48 xy D 22 1 84 xy 【答案】
4、 B 【解析】由题意得 22 4 ,1,4 ,2 2 ,1 88 xy abcab c ,故选 B 【例 2】【 2017 高考北京卷】若双曲线 2 2 1 y x m 的离心率 为3,则实数m=_ 【答案】 2 【解析】 22 1,13 c abmm a , 解得 2m 【例3】【 2017 高考山东卷】在平面直角坐标系xOy 中,双 曲 线 22 22 10,0 xy ab ab 的 右 支 与 焦 点 为F的 抛 物 线 2 20xpx p交于,A B两点,若4AFBFOF ,则该 双曲线的渐近线方程为 【答案】 2 2 yx 【解析】4, 222 ABAB ppp AFBFyyyyp
5、22 2222222 2 22 22 1, 20 , 2, 22 ,2 , AB xy a yab ya b ab xpx pbpb yypab aa 故所求渐近线方程为 2 2 yx 【例4】【 2017 高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中,双 步运用 (选择、 填空、 解答题第一问) ; (3) 求双曲线中距离、周长或者面积等;(4) 求直线与双曲线相交时弦长、中点轨迹(解 答题第二问);(5)确定双曲线中的弦长、 式子的定值问题,确定与双曲线有关的曲线 经过的定点问题(解答题第二问);(6) 求双曲线中的弦长(或其它量)的最值或者 范围(解答题第二问) 【难点中心】 1利用待定系数法
6、求圆锥曲线方程是高考 常见题型,求双曲线方程最基础的方法就是 依据题目的条件列出关于, ,a b c的方程,解 方程组求出,a b,另外求双曲线方程要注意 巧设双曲线:(1)双曲线过两点可设为 22 1(0)mxnymn; (2) 与 22 22 1 xy ab 共渐近线的双曲线可设为 22 22 (0) xy ab ;( 3)等轴双曲线可 设为 22 (0)xy等,均为待定系数 法求标准方程 2在双曲线的几何性质中,渐近线是其独 特的一种性质,也是考查的重点内容对渐 近线: (1)掌握方程; ( 2)掌握其倾斜角、 斜率的求法;(3)会利用渐近线方程求双 曲线方程的待定系数 3求双曲线的离心
7、率(或离心率的取值范 围),常见有两种方法: 求出a c,代入公式 c e a ; 3 曲线 2 2 1 3 x y的右准线与它的两条渐近线分别交于点P, Q ,其焦点是 12 ,F F ,则四边形 12 F PF Q 的面积是 【答案】 2 3 只需要根据一个条件得到关于a b c, ,的 齐次式,结合bca 222 转化为,a c的齐 次式,然后等式( 不等式 ) 两边分别除以a或 a 2 转化为关于e的方程 ( 不等式 ) ,解方程 ( 不等式 ) 即可得e(e的取值范围) 4双曲线的焦点到渐近线的距离是b;双曲 线的顶点到渐近线的距离是 ab c 5涉及直线与双曲线的位置关系的问题,
8、只要联立直线与双曲线的方程,借助根与系 数关系,找准题设条件中突显的或隐含的等 量关系,把这种关系“翻译”出来,有时不 一定要把结果及时求出来,可能需要整体代 换到后面的计算中去,从而减少计算量等 于“中点弦问题”,可以利用“点差法”处 理 III理论基础解题原理 考点一双曲线的定义 在平面内到两个定点 12 ,FF的距离之差的绝对值等于常数,大于0 且小于 12 F F的点的轨迹叫做双曲 线,两个定点叫做双曲线的焦点两焦点的距离叫做双曲线的焦距 考点二双曲线的标准方程 (1)焦点在x轴上: 22 22 1 xy ab 0,0ab;( 2)焦点在y轴上: 22 22 1 yx ab 0 ,0a
9、b 考点三双曲线的几何性质 标准方程 22 22 10 ,0 xy ab ab 22 22 10 ,0 yx ab ab 4 图形 性 质 范围,xayR,ya xR 对称性关于原点、x轴、y轴对称 顶点 12 ,0 , 0AaAa 12 0 ,0,AaAa 焦点 12 , 0 , 0FcFc 12 0,0,FcFc 轴长与焦距实轴长 12 2A Aa,虚轴长 12 2B Bb,焦距 12 2F Fc 渐近线方程 b yx a a yx b 离心率 c e a ,1,e ,a b c关系 222 0,0abccacb IV题型攻略深度挖掘 【考试方向】 这类试题在考查题型上,通常以解答题的形式
10、出现,难度较小,往往以椭圆、抛物线、双曲线为载体, 考查圆锥曲线的定义、性质等基本知识 双曲线问题借助定义 12 2PFPFa,结合试题所给其它条件解题,特别是在焦三角形中,经常利 用 三 角 形 的 边 角 关 系 ( 正 弦 定 理 、 余 弦 定 理 、 有 时 利 用 勾 股 定 理 、 面 积 公 式 ) 解 题 , 注 意 1212 ,PFPFPFPF之间的联系,灵活应用定义解题 双曲线是圆锥曲线中最重要的一类曲线,在高考中出现的次数也最多,主要考查双曲线的定义、性质、 方程,在解答题中多与直线、向量、轨迹等综合出题 【易错指导】 1判断两种标准方程的方法为比较标准形式中x 2 与
11、y 2 的正负 2注意双曲线的范围,在设双曲线 22 22 10 ,0 xy ab ab 上点的坐标为P(x,y) 时,则 |x| a, 这往往在求与点P有关的最值问题中用到,也是容易被忽略而导致求最值错误的原因 3学习中,要注意双曲线几何性质的挖掘: 5 (1)双曲线中有两条对称轴,“四点”(两个焦点、两个顶点),要注意它们之间的位置关系(如焦 点在长轴上等)以及相互间的距离( 如焦点到相应顶点的距离为ac) ,过焦点垂直于长轴的通径长为 22 2 2 bb e ca 等 (2)设双曲线 22 22 10 ,0 xy ab ab 上任意一点P(x,y) ,则当y0 时, |OP| 有最小值a
12、,这时, P在实轴端点处 (3)双曲线上任意一点P(x,y)(y0)与两焦点F1( c,0) ,F2(c,0) 构成的PF1F2称为焦点三角形, 其周长为2(ac) (4)双曲线的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形,其中c是斜边,c 2 a 2 b 2 4重视向量在解析几何中的应用,注意合理运用中点、对称、弦长、垂直等几何特征 5在应用双曲线定义时,要注意定义中的条件,搞清所求轨迹是双曲线,还是双曲线的一支若是双 曲线的一支,则需确定是哪一支 V举一反三触类旁通 考向一双曲线的定义与焦点三角形 【例 1】已知双曲线 2 2 1 24 y x的两个焦点为 12 ,FFP为双曲线右支上一
13、点若 12 4 3 PFPF,则 12 PF F的面积为() A48 B24 C 12 D 6 反思提炼:双曲线定义的应用规律 1求方程:由题目条件判断出动点轨迹是双曲线,由双曲线定义,确定2, 2ab或2c的值,从而求出 22 ,ab的值,写出双曲线方程; 2解焦点三角形有关问题:利用双曲线上点M与两焦点的距离差的绝对值 12 2MFMFa(其中 12 2aF F)与正弦定理、余弦定理,运用“整体代入法”解决焦点三角形问题 【跟踪练习】 已知双曲线C的离心率为2,焦点为 12,FF,点A在C上若122F AF A,则21cosAF F( ) 6 A 1 4 B 1 3 C 2 4 D 2 3
14、 【答案】 A 【解析】由2 c e a 得2ca,如图,由双曲线的定义得 12 2F AF Aa 又 12 2F AF A,故 222 1221 4241 4 ,2 ,cos 2 424 aaa F AaF AaAF F aa 考向二双曲线的标准方程 【例 2】已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左焦点为F,离心率为2若经过F和(0, 4)P两点 的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为() A 22 1 44 xy B 22 1 88 xy C 22 1 48 xy D 22 1 84 xy 【答案】B 反思提炼: 1求双曲线的标准方程关键在于确定,a b的值
15、,通过条件找出,a b c之间的关系,再结合 222 cab,解出,a b c的值 2求双曲线方程还要注意巧设双曲线: (1)若已知双曲线过两点方程可设为 22 1(0)AxByAB或 22 10AxByAB; (2)若已知等轴双曲线方程可设为 22 (0)xy; (3)与双曲线 22 22 1 xy ab 有公共渐近线的双曲线方程可设为 22 22 0 xy ab ; (4)若已知双曲线的渐近线方程为 b yx a 或 b yx a ,则可设双曲线方程为 22 22 0 xy ab ; 7 (5)与双曲线 22 22 1 xy ab 共焦点的双曲线方程可设为 22 22 22 1 xy bk
16、a akbk ; (6)与椭圆 22 22 10 xy ab ab 有共同焦点的双曲线方程可设为 22 22 22 1 xy ba ab 【跟踪练习】 1已知直线l过点1,0A且与圆 22 :20Bxyx相切于点D,以坐标轴为对称轴的双曲线E过 点D,其一条渐近线平行于l,则E的方程为() A 22 3 1 44 xy B 22 3 1 22 xy C 2 2 5 1 3 y x D 22 3 1 22 yx 【答案】 D 【解析】可设直线方程: 22 (1),:20yk xBxyx的圆心为(1,0)半径为 1,由相切得条件可 得: 2 0 3 d=1 3 1 kk k k ,所以直线方程:
17、3 (1), 3 yx,联立圆解得: 1313 ,(,) 2222 xyD,故渐近线方程为 3 2 yx,设双曲线方程为 221 3 yxm代入 D可 得双曲线方程: 22 3 1 22 yx 2已知双曲线M的实轴长为2,且它的一条渐近线方程为2yx,则双曲线M的 标准方程可能是 () A 22 41xy B 22 1 464 xy C 2 2 1 4 y x D 22 41yx 【答案】 D 【注意问题】需讨论焦点在x轴上焦点在 y轴上两种情况 3已知圆C1:(x3) 2 y 21 和圆 C2:(x3) 2 y 29,动圆 M同时与圆C1及圆C2相外切,则动圆圆 8 心M的轨迹方程为_ 【答
18、案】x 2y 2 8 1(x 1) 【解析】如图所示,设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B 根据两圆外切的条件,得|MC 1| |AC1| |MA| ,|MC2| |BC2| |MB| , 因为 |MA| |MB| ,所以 |MC 1| |AC1| |MC2| |BC2| , 即|MC2| |MC1| |BC2| |AC1| 2, 所以点M到两定点C1、C2的距离的差是常数且小于|C1C2| 6 又根据 双曲线的定义,得动点M的轨迹为双曲线的左支( 点M与C2的距离大,与C1的距离小 ) ,其中a 1,c3,则b 28故点 M的轨迹方程为x 2y 2 8 1(x 1) 【注意问题】 又根据
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- 18 年高 数学 黄金 100 系列 74 双曲线 中的 基本 问题
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