18年高考数学常见题型解法归纳反馈训练第39讲数列求和的方法.pdf
《18年高考数学常见题型解法归纳反馈训练第39讲数列求和的方法.pdf》由会员分享,可在线阅读,更多相关《18年高考数学常见题型解法归纳反馈训练第39讲数列求和的方法.pdf(17页珍藏版)》请在三一文库上搜索。
1、1 。 。 。 内部文件,版权追溯 内部文件,版权追溯 内部文件,版权追溯 第 39 讲 数列求和的方法 【知识要点】 一、数列的求和要有通项意识,先要对通项特征进行分析(数列的通项决定了数列的求和方法),再确定数 列求和的方法. 二、数列常用的求和方法有六种:求和六法一公二错三分四裂五倒六并,最后一定要牢记,公比为1 不 为 1. 1、公式法: 如果一个数列是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列的数列,我们可以运用等差、等比 数列的前n项和的公式来求和. 对于一些特殊的数列(正整数数列、正整数的平方和立方数列等)也可以直 接使用公式求和. 等差数列求和公式: 1 1 1 22 n n
2、 n aan n Snad 等比数列求和公式: 1 1 1 1 1 1 11 n n n na q S aq aa q q qq 常见的数列的前n项和:123+n= (1) 2 n n , 1 35721n= 2 n , 2222 123 +n = (1)(21) 6 n nn , 3333 123 +n = 2 (1) 2 n n 等. 2、错位相减法: 若数列 nn b c,其中 n b是等差数列, n c是等比数列,则采用错位相减法. 若 nnn abc,其中 nb 是等差数列, nc 是公比为q等比数列,令 1 12211nnnnn Sb cb cbcb c, 则 n qS 12231
3、1nnnn b cb cbcb c 两式错位相减并化简整理即得. 2 3、分组求和法: 有一类数列 nn ab,它既不是等差数列,也不是等比数列,但是数列, nn ab是等差数列或等比数 列或常见特殊数列,则可以将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比数列或常见的特殊数列,然后分 别求和,再将其合并即可. 4、裂项相消法: 把数列的通项拆成两项之差,即数列的每一项都可按此法拆成两项之差,在求和时一些正负项相互抵 消, 于是前n项的和变成首尾若干少数项之和,这一求和方法称为裂项相消法. 适用于类似 1nn c a a (其中 n a是各项不为零的等差数列,c为常数)的数列、部分无理数列等. 用裂
4、项相消法求和,需要掌握一些常 见的裂项方法: 1111 n nkknnk ,特别地当1k时, 111 11n nnn 11 nkn knkn ,特别地当1k时 1 1 1 nn nn 22 22 (2 )(41)11111 11() (21)(21)41412 2121 n nn a nnnnnn )2)(1( 1 )1( 1 2 1 )2)(1( 1 nnnnnnn an 1 212(1)111 (1) 2(1)22(1)2 n nnnn nnn a n nn nnn !(1)1!(1)!n nnnnn 5、倒序相加法: 类似于等差数列的前n项和的公式的推导方法. 如果一个数列 n a, 与
5、首末两项等距的两项之和等于首 末两项之和,可采用正序写和与倒序写和的两个和式相加,就得到一个常数列的和. 这一种求和的方法称为 倒序相加法 . 6. 并项求和法 . 有些数列的通项里有1 n (- ),这种数列求和时,一般要分奇数和偶数来分类讨论. 3 【方法讲评】 方法一公式法 使用情景 如果一个数列是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列的数列,我们可以运 用等差、等比数列的前n项和的公式来求和. 对于一些特殊的数列(正整数数列、正整数的 平方和立方数列等)也可以直接使用公式求和. 解题步骤直接代入公式即可. 【例 1】已知等比数列 n a中, 1 64a, 公比1q, 234 ,a
6、aa又分别是某等差数列的第7项,第3项, 第1项. (1) 求 n a; (2) 设 2 log nn ba, 求数列| n b的前n项和 n T. 【解析】(1)依题意有 2434 3()aaaa, 即 432 230aaa, 32 111 230a qa qa q, 即 2 2310qq2. 1q, 1 2 q. 故 11 64( ) 2 n n a. 4 【点评】(1)利用公式法求数列的前n项和,一般先求好数列前n项和公式的各个基本量,再代入公式. (2)第 2问注意要分类讨论,因为 n与 7 的大小关系不能确定 . 【反馈检测1】已知 n a是公差不为零的等差数列, 1 1a,且 13
7、9 ,a a a成等比数列 . ()求数列 n a的通项;()求数列2 n a 的前n项和 n S. 方法二错位相减法 使用情景已知数列 nn bc,其中 n b是等差数列, n c是等比数列,则采用错位相减法. 解题步骤 若 nnn abc,其中 n b是等差数列, n c是公比为q等比数列,令 1 12211nnnnn Sb cb cbcb c, 则 n qS 122311nnnn b cb cbcb c 两式相减并整理即得. 【例 2】 已知函数xxxf63)( 2 , n S是数列 n a的前n项和,点(n, n S) (nN)在曲线 5 )(xfy上 .()求数列 n a的通项公式;
8、()若 1 ) 2 1 ( n n b, 6 nn n ba c,且 n T是数列 n c的前n 项和 . 试问 n T是否存在最大值?若存在,请求出 n T的最大值;若不存在,请说明理由. ()因为 1 1 1 (96 )( ) 111 2 ( ),(32 )( ) 2662 n nn nnnn n bca bn 所以 23 1111 ( 1)( )( 3)()(32 )() , 2222 n n Tn 2341 11111 ()( 1)( )( 3)()(32 )(), 22222 n n Tn 得 132 ) 2 1 )(23() 2 1 )(2() 2 1 )(2() 2 1 )(2(
9、 2 1 2 1nn n nT 1 12 ) 2 1 )(23( 2 1 1 ) 2 1 (1) 2 1 ( )2( 2 1 n n n. 整理得1) 2 1 )(12( n n nT, 6 策略二利用商值比较法 由式得0) 2 1 )(12(1 n n nT. 因为 1 1 1 (23)( ) 123(21)2 2 , 1 12(21)2(21) (21)( ) 2 n n n n n Tnn Tnn n 1 6 5 ) 12 2 1( 2 1 ) 12 2 1( 2 1 n 所以11 1nn TT,即 nn TT 1 . 所以 1321nn TTTTT 所以 n T存在最大值 2 1 1
10、T. 策略三利用放缩法 由式得0) 2 1 )(21 () 2 1 )(1(23 11 1 nn n nnc,又因为 n T是数列 n c的前n项和, 所以 nnnn TcTT 11 . 所以 1321nn TTTTT 所以 n T存在最大值 2 1 1 T. 【反馈检测2】数列 n a的通项 n a是关于x的不等式 2 xxnx的解集中正整数的个数, 7 111 ( ) 12 nnn f n aaan (1)求数列 n a的通项公式;(2)若 2 n n n a b,求数列 n b的前n项和 n S; (3)求证:对2n且 * nN恒有 7 ( )1 12 f n 方法三分组求和法 使用情景
11、 有一类数列 nn ab,它既不是等差数列,也不是等比数列,但是数列, nn ab是等 差数列或等比数列或常见特殊数列. 解题步骤 可以将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比数列或常见的特殊数列,然后分别求和, 再将其合并即可. 【例 3】已知数列 n a 的前n项和为 n S,且满足*)(2NnanS nn (1)证明:数列 1 n a为等比数列,并求数列 n a 的通项公式; (2) 数列 n a 满足*)(1(log2Nnaab nnn , 其前n项和为 n T, 试求满足2015 2 2 nn Tn 的 最小正整数n ( 2)(21)2 nn n bnnn 设 23 1 222322
12、 n n Kn 8 【点评】(1)数列2 n n bnn求和时,要分成两个数列求和,其中一个是数列通项是2 n n cn,它 用错位相减来求和,另外一个数列是 n dn,它是一个等差数列,直接用公式法求和. ( 2)解不等式 1 (1)222015 n n时,直接用代值试验解答就可以了. 【反馈检测3】已知数列 n a的前n项和为 n S,且满足 * 23 nn aSnN. (1)求数列 n a的通项公式; (2)设 2 log nn ba,求数列 nn ab的前n项和 n T. 方法四裂项相消法 使用情景类似 1nn c a a (其中 n a是各项不为零的等差数列,c为常数)的数列、部分无
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 18 年高 数学 常见 题型 解法 归纳 反馈 训练 39 数列 求和 方法
链接地址:https://www.31doc.com/p-4763987.html