18版高中数学小问题集中营专题2.5正弦定理和余弦定理的应用.pdf
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1、1 。 。 。 内部文件,版权追溯 内部文件,版权追溯 内部文件,版权追溯 内部文件,版权追溯 专题 2.5 正弦定理和余弦定理的应用 一、问题的提出 高考试卷对正弦定理和余弦定理的考查一直是重点、热点,基础题型是通过边角转化后与三角恒等变换 的结合,难点题目是与基本不等式及其他知识点的结合,本文从多角度分析其应用,希望能给学生带来 启发。 二、问题的探源 1正弦定理 (1) 正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即 a sinA b sinB c sinC 2R 其中R是三角形外接圆的半径 (2) 正弦定理的其他形式: a2RsinA,b 2RsinB,c2RsinC; s
2、inA a 2R ,sinB b 2R ,sinC c 2R ; abcsinAsinB sinC 2余弦定理 (1) 余弦定理:三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的 两倍即 a 2 b 2 c 22bccos A,b 2 c 2 a 22cacos B, c 2. 若令 C90,则c 2,即为勾股定理 (2) 余弦定理的推论:cosA b 2 c 2 a 2 2bc ,cosBc 2a2 b 2 2ca ,cosC a 2 b 2 c 2 2ab 三、问题的佐证 1. 判断三角形解的个数问题 例 1. ABC中,已知ax,2b,60B,如果ABC有两
3、组解,则x的取值范围() A. 2x B. 2x C. 4 23 3 x D. 4 23 3 x 【答案】 D 2 利用正弦函数的图象可得:60A120, 若 A=90,这样补角也是90,一解,不合题意, 3 2 sinA 1, x= 4 3 3 sinA ,则 2x 4 3 3 故选 D 2三角形的面积问题 例 2.已知ABC, 角A B C、 、的对边分别为abc、 、,2b, 6 B, sin2 1 1cos2 C C ,则ABC 的面积为 ( ) A. 2 32 B. 2 32 C. 31 D. 31 【答案】 D 【解析】由 sin2 1 1cos2 C C ,化简可得 2 22si
4、nCcosCcos C,得1tanC,即 4 C 由正弦定理: abc sinAsinBsinC , 可得2 262ca, ABC的面积 1 31 2 SabsinC 故选 D 【评注】 三角形的面积公式为三角形面积公式S1 2absin C 1 2bcsin A 1 2acsin B,一般情况根据已知哪个 角,选哪个面积为宜三角形面积问题经常与余弦定理结合考查. 例 3.在ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且 cosB cosC b 2ac. (1) 求B的大小; (2) 若b13,ac4,求ABC的面积 解: (1) 由余弦定理知,co sB a 2 c 2 b 2 2ac ,
5、cosC a 2 b 2 c 2 2ab ,将上式代入 cosB cosC b 2ac得 3 a 2 c 2 b 2 2ac 2ab a 2 b 2c2 b 2ac,整理得 a 2 c 2 b 2 ac. cosB a 2 c 2b2 2ac ac 2ac 1 2. B为三角形的内角,B 2 3. (2) 将b13,ac4,B 2 3 代入 b 2 a 2 c 22accosB ,得 134 22ac2accos2 3,解得 ac3. SABC1 2acsin B3 3 4 . 【评注】根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键熟练运 用余弦定理及其推论,同时还要注
6、意整体思想、方程思想在解题过程中的运用 3. 判断三角形形状问题 例 4.在ABC中,若则ABC的形状一定是() A. 等腰直角三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等边三角形 【答案】 B 【解析】因为2cos Bsin Asin C,所以 2 222 2 acb ac ac, 所以ab,所以ABC为等腰三角形 4. 边角转化问题 例 5.已知ABC的内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c,若3 cos2 cosaCcA, 1 tan 3 A, 则B _ 【答案】 3 4 4 点睛:本题主要考查了解三角形的综合应用问题,其中解答中涉及正弦定理、同角三角函数基本关系式, 两角和差
7、的正切公式、诱导公式等知识点的综合运用,着重考查了学生推理能力和运算能力,试题有一 定的综合性,属于中档试题,解答中利用正弦定理,求得tanC的值是解答的关键 四、问题的解决 1在ABC中,若30B,2 3AB,2AC,则ABC的面积为() A. 3 B. 2 3或2 C. 2 3 D. 2 3或3 【答案】 D 5 2. 在ABC中,内角,A B C的对边分别为, ,a b c,若 cos 60 sin45 sin aB b A ,则B( ) A. 30 B. 45 C. 135 D. 150 【答案】 D 【解析】因为 cos 60 sin45 sin aB b A 所以 2sin cos
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