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1、1 2016年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷) 数学(理工类) 第 1 卷(选择题共 50 分) 一、选择题:本大题共10 小题,每小题5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题 目要求的。 1设集合| 22Axx,Z 为整数集,则AZ中元素的个数是 ( A) 3( B) 4(C)5(D)6 2设 i 为虚数单位,则 6 (i)x的展开式中含x 4的项为 ( A) 15x4(B)15x4(C) 20i x4(D)20i x4 3为了得到函数 sin(2) 3 yx的图象,只需把函数sin 2yx的图象上所有的点 ( A)向左平行移动 3 个单位长度(B)向右平行移动
2、 3 个单位长度 ( C)向左平行移动 6 个单位长度(D)向右平行移动 6 个单位长度 4用数字1, 2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数,其中奇数的个数为 ( A) 24(B)48( C)60(D)72 5某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司 2015 年全年投入研发资金130 万元,在此基 础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200 万元的年份 是 (参考数据:lg 1.120.05,lg 1.3 0.11,lg20.30) ( A) 2018 年(B)2019 年(C)2020 年(D)2021 年 6秦九韶是我国南宋时期的
3、数学家,普州(现四川省安岳县)人,他在所著的数书九章中提出的多项 式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了 利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例,若输入n, x 的值分别为3,2, 判断出 v 的值为 ( A) 9(B)18 ( C) 20(D)35 7设 p:实数 x,y 满足 (x 1)2(y1)2 2,q:实数 x,y 满足 1, 1, 1, yx yx y 则 p 是 q 的 ( A)必要不充分条件 ( B)充分不必要条件 ( C)充要条件 ( D)既不充分也不必要条件 8设 O 为坐标原点,P是以 F 为焦点的抛物线 2 2(p0)ypx上任意一点, 2
4、M 是线段 PF 上的点,且 PM=2MF,则直线 OM 的斜率的最大值为 ( A) 3 3 (B) 2 3 (C) 2 2 (D)1 9设直线l1, l2分别是函数f(x)= ln,01, ln,1, xx x x 图象上点P1,P2处的切线, l1与 l2垂直相交于点 P,且 l1,l2分别与 y 轴相交于点A,B,则 PAB 的面积的取值范围是 ( A) (0,1)(B)(0,2)( C)(0,+)(D)(1,+) 10在平面内,定点A,B,C, D 满足DA=DB=DC,DA DB =DB DC =DC DA =-2,动点 P,M 满足AP=1,PM=MC ,则 2 BM 的最大值是
5、(A) 43 4 (B) 49 4 (C) 376 3 4 (D) 372 33 4 二、填空题:本大题共5 小题,每小题5 分,共 25 分。 11 cos 2 8 sin 2 8 =. 12同时抛掷两枚质地均匀的硬币,当至少有一枚硬币正面向上时,就说这次试验成功,则在2 次试验中 成功次数X的均值是. 13已知三棱镜的四个面都是腰长为2 的等腰三角形,该三棱锥的正视图如图所示, 则该三棱锥的体积是。 14已知函数f (x)是定义在R 上的周期为2 的奇函数, 当 0x1 时,f (x) =,则 f() + f( 1)=。15在平面直角坐标系中,当P(x,y)不是原点时,定义P 的“伴随点”
6、 为 2222 (,) yx P xyxy ; 当 P 是原点时,定义P 的“伴随点“为它自身,平面曲线C 上所有点的“伴随点”所构成的曲线 C定 义为曲线C 的“伴随曲线”.现有下列命题: 若点 A 的“ 伴随点 ” 是点 A,则点 A的“伴随点”是点A 单位圆的“伴随曲线”是它自身; 若曲线C 关于 x 轴对称,则其“伴随曲线” C关于 y 轴对称; 一条直线的“伴随曲线”是一条直线. 其中的真命题是_(写出所有真命题的序列). 三、解答题:本大题共6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.(本小题满分12 分) 3 我国是世界上严重缺水的国家,某市政府为了鼓
7、励居民节约用水,计划调整居民生活用水收费方案, 拟确定一个合理的月用水量标准x(吨) 、一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费,超出x的部分 按议价收费 .为了了解居民用水情况,通过抽样,获得了某年100 位居民每人的月均用水量(单位:吨),将 数据按照 0,0.5),0.5,1), 4,4.5)分成 9 组,制成了如图所示的频率分布直方图. (I)求直方图中a 的值; (II)设该市有30 万居民,估计全市居民中月均用水量不低于3 吨的人数,并说明理由; (III )若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x(吨) ,估计x的值,并说明理由. 17 (本小题满分12 分) 在
8、ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是a,b,c,且 coscossinABC abc . ( I)证明:sinsinsinABC; ( II)若 2226 5 bcabc,求tanB. 18.(本小题满分12 分) 如图,在四棱锥P-ABCD 中,ADBC,ADC=PAB=90,BC=CD= 1 2 AD.E为边AD的中点,异面 直线PA与CD所成的角为90. ( I)在平面PAB内找一点M,使得直线CM平面PBE,并说明理由; ( II)若二面角P-CD-A的大小为45,求直线PA 与平面 PCE所成角 的正弦值 . 19.(本小题满分12 分) 已 知 数 列 n a 的 首 项 为
9、 1, n S为 数 列 n a 的 前 n 项 和 , 11 nn SqS,其中 q0, * nN. (I)若 232 2,2a a a成等差数列,求an的通项公式; (ii )设双曲线 2 2 2 1 n y x a 的离心率为 n e,且 2 5 3 e,证明: 121 43 3 nn nn eee . 4 20 (本小题满分13 分) 已知椭圆E:的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点,直线l:y=-x+3 与椭圆E有且只有 一个公共点T. (I)求椭圆E 的方程及点T 的坐标; (II)设 O 是坐标原点,直线l 平行于 OT,与椭圆 E 交于不同的两点A、B,且与直线l 交于点 P.证明:存 在常数,使得PT2= PA PB,并求的值 . 21 (本小题满分14 分) 设函数 f(x)=ax2-a-lnx,其中 aR. ( I)讨论 f(x)的单调性; ( II)确定 a 的所有可能取值,使得f(x) -e1-x+在区间( 1,+)内恒成立 (e=2.718为自然对数的底数).
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