2018年高考数学黄金100题系列第33题三角函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性理.pdf
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1、1 。 。 。 。 内部文件,版权追溯 内部文件,版权追溯 内部文件,版权追溯 第 33 题三角函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性 例 2 (求函数 1 sin,2 ,2 23 yxx的单调 递增区间 【解析】设2 ,2A,函数 1 sin 23 yxxR 的单调递增区间为B由 1 22 2232 kxk,得 55 44,4,4 3333 kxkBkkkZ 易知 5 , 33 AB 【试题来源】人教版A 版必修4 第 39 页例 5 【母题评析】本题考查三角函数 单调区间的求法,是历年来高考 的一个常考点 【思路方法】限定区间上三角函 数单调区间的求法:先用整体思 想求sinyAxB 0,A
2、xR的单调区间, 再与 已知区间求交集即可 II 考场精彩真题回放 例( 2017 课标 3 理 6)设函数f(x)=cos(x+ 3 ) ,则下 列结论错误的是 Af(x) 的一个周期为 - 2 By=f(x)的图像关于直线x= 8 3 对称 Cf(x+) 的一个零点为x= 6 Df(x) 在( 2 , ) 单调递减 【命题意图】本题考查两角和的 正弦公式、周期公式、三角函数 的单调性考查学生分析问题解 决问题能力、转化与化归能力 【考试方向】这类试题在考查题 型上,通常以选择题或填空题或 2 【答案】D 【解析】 试题分析: 函数的最小正周期为 2 2 1 T,则函数 的周期为2TkkZ,
3、取1k,可得函数 fx的一个周期为2,选项 A正确; 函 数 的 对 称 轴 为 3 xkkZ, 即 : 3 xkkZ, 取3k可得 y=f(x) 的图像关于 直线x= 8 3 对称,选项B正确; coscos 33 fxxx ,函数 的零点满足 32 xkkZ,即 6 xkkZ,取0k可得f(x+) 的一个零 点为x= 6 ,选项C正确; 当, 2 x 时, 54 , 363 x ,函数在该区 间内不单调,选项D错误故选D 例例 (2017 天津,理7)设函数( )2sin()f xx, xR, 其 中0 ,| 若 5 ()2 8 f, ()0 8 f,且( )f x 的最小正周期大于2,则
4、 A 2 3 , 12 B 2 3 , 12 C 1 3 , 24 D 1 3 , 24 【答案】 A 解答题的形式出现,难度中等 【难点中心】解答此类问题的关 键是能综合运用三角公式化为形 式sinyAxB,再进一步 讨论相关性质 (1) 求最小正周期时可先把所给 三角函数式化为yAsin( x ) 或yAcos( x ) 的形 式,则最小正周期为 2 T;奇 偶性的判断关键是解析式是否为 yAsinx或yAcosxb 的形式 (2)求f(x)Asin( x )( 0) 的 对 称 轴 , 只 需 令 2 xkkZ,求x; 求f(x)的对称中心的横坐标,只 需令 xk(kZ) 即可 3 【解
5、析】由题意 1 2 5 2 82 11 8 k k , 其中 12 ,k kZ, 21 42 (2) 33 kk, 又 2 2T, 01, 2 3 , 1 1 2 12 k,由得 12 ,故 选 A 例(2017 浙江) 已知函数f(x)=sin 2x cos2 x2 3 sin x cos x(xR) ()求) 3 2 (f的值 ()求)(xf的最小正周期及单调递增区间 【答案】() 2;()最小正周期为,单调递增区 间为Zkkk 3 2 , 6 【解析】 试题分析: ()由函数概念 3 2 cos 3 2 sin32 3 2 cos 3 2 sin) 3 2 ( 22 f, 分 别 计 算
6、 可 得 ; ( ) 化 简 函 数 关 系 式 得 )sin( xAy,结合 2 T可得周期,利用正弦 函数的性质求函数的单调递增区间 试题解析:()由 2 3 3 2 sin , 2 1 3 2 cos, 4 ) 2 1 ( 2 3 32) 2 1 () 2 3 () 3 2 ( 22 f 得2) 3 2 (f ()由xxx 22 sincos2cos与 xxxcossin22sin得 ) 6 2sin(22sin32cos)(xxxxf )(xf的最小正周期是 由正弦函数的性质得 Zkkxk,2 2 3 6 22 2 解得Zkkxk, 3 2 6 )(xf的单调递增区间是Zkkk 3 2
7、 , 6 例3 (2016高 考 北 京 文 数 ) 已 知 函 数 )0(2coscossin2)(xxxxf的最小正周期 为 (1)求的值; (2)求)(xf的单调递增区间 【答案】 ()1;() 3 , 88 kk(k) 【分析】 () 运用两角和的正弦公式对)(xf化简整理, 由周期公式求的值;()根据函数xysin的单调 5 递增区间对应求解即可 【解析】(I )2sincoscos2fxxxx sin2cos2xx2 sin2 4 x, fx的 最小正周期 2 2 依题意,解得1 (II ) 由 (I ) 知2 sin2 4 fxx 函数sinyx 的单调递增区间为2,2 22 k
8、k(k) 由222 242 kxk,得 3 88 kxk fx的 单 调 递 增 区 间 为 3 , 88 kk (k) 例4 (2016高 考浙江理数 】设函数 2 ( )sinsinf xxbxc, 则( )f x的 最 小 正 周 期 () A与b有关,且与c有关 B与b有关,但与c无 关 C与b无关,且与c无关 D与b无关,但与c有 关 【答案】 B 【解析】试题分析: 21cos2cos21 ( )sinsinsinsin 222 xx f xxbxcbxcbxc 6 ,其中当0b时, cos21 ( ) 22 x f xc,此时周 期是;当0b时,周期为2,而c不影响周期故 选 B
9、 例 5 (2016 高考山东理数】 函数f(x)= (3sin x+cos x)(3cos xsin x) 的 最 小 正 周 期 是 () (A) 2 (B)(C) 2 3 (D)2 【答案】 B 【解析】 2sin2cos2sin2 663 fxxxx ,故最小正周期 2 2 T,故选 B III理论基础解题原理 考点一三角函数的单调性 xysin在)(2 2 ,2 2 Zkkk上单调递增,在 )(2 2 3 ,2 2 Zkkk 上 单 调 递 减 , 当Zkkx,2 2 时 ,1 m a x y; 当 Zkkx,2 2 时,1 min y;xycos在)(2 ,2Zkkk上单调递增,
10、在)(2,2Zkkk上 单 调 递 减 , 当Zkkx,2时 ,1 max y; 当 Zkkx,2时,1 min y;xytan在)( 2 , 2 Zkkk 上单调递增 考点二三角函数的周期性 函数sin,cosyx yx的最小正周期为2,tanyx的最小正周期为 7 考点三三角函数的奇偶性 对于函数sin0,0yAxA,当且仅当kkZ时是奇函数, 当 且仅当 2 kkZ时是偶函数;对于函数cos0,0yAxA,当 且仅当 2 kkZ时是奇函数,当且仅当kkZ时是偶函数 考点四三角函数的对称性 sinyx的 图 像 既 是 轴 对 称 图 形 , 又 是 中 心 对 称 图 形 , 其 对 称
11、 轴 是 直 线 2 xkkZ,其对称中心是 ,0kkZ;cosyx的图像既是轴对称图形,又 是中心对称图形,其对称轴是直线xkkZ,其对称中心是 ,0 2 kkZ; tanyx的图像不是轴对称图形,是中心对称图形,其对称中心是 ,0 2 k kZ IV题型攻略深度挖掘 【考试方向】 这类试题在考查题型上,通常以选择题或填空题的形式出现,难度中等 【技能方法】 ( 1)讨论sin,cos,tanyAxB yAxB yAxB的 单调性可用整体思想:把0x视为一个整体,00AA所列不等式的方向 与sin ,cos ,tanyx yx yx的单调区间对应的不等式方向相同(反) (2)利用三角函数的单
12、调性比较两个同名三角函数值的大小,必须先看两角是否同属 于这一函数的同一单调区间内,若不属于, 可先化至同一单调区间内;若不是同名三角函数, 则应考虑化为同名三角函数或用差值法(例如与0 比较、与1比较等)求解 (3)函数sin,cosyAxB yAxB的最小正周期为 2 , tanyAxB的最小正周期为 8 (4)三角函数中奇函数一般可化为sinyAx或tanyAx,而偶函数一般可化 为cosyAxB的形式 (5) sin0fxAxA 的图像既是轴对称图形,又是中心对称图形, fx图像关于直线 0 xx对称的充要条件是 0 fxA,fx图像关于点 0 (,0)x对称 的充要条件是 0 0fx
13、 【易错指导】 (1)对于三角函数sin0yAxA求其单调区间,要注意的正负, 若 为负,则需先化正, 化为 sinyAx 的形式,若求其单调递增区间,应把 x 放在正弦函数的单调减区间内;若求其单调递减区间,应把x放在正弦函数的单调 增区间内 (2)解答时不要遗漏 “kZ” ,另外三角函数存在多个单调区间时不能用“”联结 (3)必须先将解析式化为 sin,cos,tanyAxB yAxB yAxB的形式,再分别利用公式 2 ,TT求周期,注意一定要加绝对值 V举一反三触类旁通 考向 1 三角函数的单调性(单调区间) 例 1 (2018 河南名校联考) 已知, 则() A B C D 【答案】
14、 D 【 解 析 】, 小 于1的 数 越 平 方 越 小 , 9 ,故选 D 例 2函数) 4 2cos(2)( xxf的单调增区间别为 【答案】)( , 8 , 8 3 Zkkk 例 3 函数2sin2 6 yx (0,x)为增函数的区间是 【答案】 5 , 36 【解析】) 6 2sin(2xy,只要求函数) 6 2sin(2xy的减区间即可解 2 3 2 6 2 2 2kxk可得 6 10 22 3 2 2kxk,即 3 5 3 kxk, 6 5 3 x,故答案为 5 , 36 【易错点晴】本题以函数2sin2 6 yx的表达式的单调区间为背景,考查的是三 角函数中形如)sin()(x
15、Axf的正弦函数的图象和性质解答时先从题设中的条件增 函数入手,对函数2sin2 6 yx 进行变形,将其变形为一般式) 6 2sin(2xy, 将其转化为求函数) 6 2sin(2xy的减区间最后将其转化为正弦函数的单调递减区间 的求法通过解不等式使得本题获解 例 4 (2018 河北石家庄) 已知 2 sinsin cos2sincos 44 fxxxxxx x 10 ()当, 12 2 x 时,求fx的值域; ()若函数fx的图象向右平移 8 个单位后,所得图象恰与函数g x的图象关于 直线 6 x,求函数g x的单调递增区间 【答案】 (1) 21 0, 2 ;(2) 5 , 1212
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