2019届中考数学总复习:实数.pdf
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1、第 1 页 共 13 页 2019 届中考总复习:实数知识讲解 【考纲要求】 1. 了解有理数、无理数、实数的概念;借助数轴理解相反数、绝对值的概念及意义,会比较实数的大小; 2. 知道实数与数轴上的点一一对应,会用科学记数法表示有理数,会求近似数和有效数字;了解乘方与 开方、平方根、算术平方根、立方根的概念,并理解这两种运算之间的关系,了解整数指数幂的意义 和基本性质; 3. 掌握实数的运算法则,并能灵活运用. 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、实数的分类 1. 按定义分类: 正整数 自然数 整数零 有理数有限小数或无限循环小数负整数 实数正分数 分数 负分数 正无理数 无理数无限不循环小
2、数 负无理数 2. 按性质符号分类: 第 2 页 共 13 页 正整数 正有理数 正实数正分数 正无理数 实数零 负整数 负有理数 负实数 负分数 负无理数 有理数:整数和分数统称为有理数或者“形如 n m (m , n 是整数 n0)”的数叫有理数 无理数:无限不循环小数叫无理数 实数:有理数和无理数统称为实数 要点诠释: 常见的无理数有以下几种形式: (1)字母型:如 是无理数, 24 、等都是无理数,而不是分数; (2)构造型:如2.10100100010000 (每两个1 之间依次多一个0)就是一个无限不循环的小数; (3)根式型: 3 256、 、 ,都是一些开方开不尽的数; (4)
3、三角函数型:sin35 、 tan27 、 cos29等 . 考点二、实数的相关概念 1. 相反数 (1) 代数意义:只有符号不同的两个数,我们说其中一个是另一个的相反数0 的相反数是0; (2) 几何意义:在数轴上原点的两侧,与原点距离相等的两个点表示的两个数互为相反数; (3) 互为相反数的两个数之和等于0.a 、 b 互为相反数a+b=0. 2. 绝对值 (1) 代数意义:正数的绝对值是它本身;负数的绝对值是它的相反数;0 的绝对值是0 可用式子表示为: )0( )0(0 )0( aa a aa a (2) 几何意义:一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离距离是一个非负数
4、,所 以绝对值的几何意义本身就揭示了绝对值的本质,即绝对值是一个非负数 用式子表示:若a 是实数,则 |a| 0 要点诠释: 若,aa则0a;- ,aa则0a;-a b表示的几何意义就是在数轴上表示数a 与数 b 的点之间的 距离 . 3. 倒数 (1) 实数(0)a a的倒数是 a 1 ; 0 没有倒数; (2) 乘积是 1 的两个数互为倒数a、b 互为倒数1a b. 第 3 页 共 13 页 4. 平方根 (1) 如果一个数的平方等于a, 这个数就叫做a 的平方根 一个正数有两个平方根,它们互为相反数; 0 有一个平方根,它是0 本身;负数没有平方根a(a 0)的平方根记作a (2) 一个
5、正数a 的正的平方根,叫做a 的算术平方根a(a0)的算术平方根记作a 5. 立方根 如果 x 3=a,那么 x 叫做 a 的立方根 一个正数有一个正的立方根;一个负数有一个负的立方根;0 的立方根仍是0 考点三、实数与数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴,数轴的三要素缺一不可 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示,反过来,数轴上的每一个点都表示一个实数 要点诠释: (1)数轴的三要素:原点、正方向和单位长度. (2)实数和数轴上的点是一一对应的. 考点四、实数大小的比较 1. 对于数轴上的任意两个点,靠右边的点所表示的数较大. 2. 正数都大于0,负数都小于0,正数大于一切负数
6、;两个负数;绝对值大的反而小. 3. 对于实数a、b, 若 a-b0ab;a-b=0a=b; a-bb,bc,则 ac. 5. 无理数的比较大小: 利用平方转化为有理数:如果ab0, a 2b2 abba; 或利用倒数转化:如比较417与154. 要点诠释: 实数大小的比较方法: (1)直接比较法:正数都大于0,负数都小于0,正数大于一切负数;两个负 数,绝对值大的反而小.(2)数轴法:在数轴上,右边的数总比左边的数大. 考点五、实数的运算 1. 加法 同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加;绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的 加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值;互为相反
7、数的两个数相加得0;一个数同0 相加, 仍得这个数 满足运算律:加法的交换律a+b=b+a,加法的结合律(a+b)+c=a+(b+c) 2. 减法 减去一个数等于加上这个数的相反数 3. 乘法 两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘. 几个非零实数相乘,积的符号由负因数的个数决定,当负因数有偶数个时,积为正;当负因数有奇 数个时,积为负几个数相乘,有一个因数为0,积就为0 乘法运算的运算律: (1)乘法交换律ab=ba; (2)乘法结合律(ab)c=a(bc); (3)乘法对加法的分配 律 a(b+c)=ab+ac 4. 除法 (1)除以一个数,等于乘上这个数的倒数 第 4 页 共 13
8、 页 (2)两个数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除0除以任何一个不等于0 的数都得0 5. 乘方与开方 (1)求 n 个相同因数的积的运算叫做乘方,a n 所表示的意义是n 个 a 相乘 . 正数的任何次幂是正数,负数的偶次幂是正数,负数的奇次幂是负数 (2) 正数和 0 可以开平方,负数不能开平方;正数、负数和0 都可以开立方 (3) 零指数与负指数 0 1 1(0)(0). p p aaaa a , 要点诠释: 加和减是一级运算,乘和除是二级运算,乘方和开方是三级运算这三级运算的顺序是三、二、一如 果有括号,先算括号内的;如果没有括号,同一级运算中要从左至右依次运算 考点六、有效数
9、字和科学记数法 一个近似数, 四舍五入到哪一位,就说这个近似数精确到哪一位一个近似数,从左边第一个不是0 的数字起,到精确到的数位为止,所有的数字,都叫做这个近似数的有效数字精确度的形式有两种: (1)精确到哪一位; (2)保留几个有效数字. 把一个数用a10 n(其中 1 10,n 为整数)的形式记数的方法叫科学记数法 要点诠释: (1)当要表示的数的绝对值大于1 时,用科学记数法写成a10 n ,其中 1a 10,n 为正整数, 其值等于原数中整数部分的数位减去1; (2)当要表示的数的绝对值小于1 时,用科学记数法写成a10 n ,其中 1a 10,n 为负整数, 其值等于原数中第一个非
10、零数字前面所用零的个数的相反数(包括小数点前面的零). 【典型例题】 类型一、实数的有关概念 1 (1)a 的相反数是 1 5 ,则 a 的倒数是 _ (2)实数 a、b 在数轴上对应点的位置如图所示: 则化简 2 ()ab=_ 0ab (3)(泉州市)去年泉州市林业用地面积约为10200000 亩,用科学记数法表示为约_ 【答案】(1)5 ; (2)-a-b ;( 3)1.02 10 7 亩. 【解析】(1)注意相反数和倒数概念的区别,互为相反数的两个数只有性质符号不同,互为倒数的两个 数要改变分子分母的位置;或者利用互为相反数的两个数之和等于0,互为倒数的两个数乘积等 于 1 来计算 .
11、(2)此题考查绝对值的几何意义,绝对值和二次根式的化简. 注意要去掉绝对值符号,要判别绝 对值内的数的性质符号. 由图知: 2 00 | |0()|().ababababababab, (3)考查科学记数法的概念. 【点评】 本大题旨在通过几个简单的填空,让学生加强对实数有关概念的理解 举一反三: 第 5 页 共 13 页 【变式 】据市旅游局统计,今年“五一”小长假期间,我市旅游市场走势良好,假期旅游总收入达到 8. 55 亿元,用科学记数法可以表示为() A8. 5510 6 B 8. 5510 7 C8. 5510 8 D8. 5510 9 【答案】 C. 类型二、实数的分类与计算 2下
12、列实数 22 7 、sin60 、 3 、 0 2、3.14159 、-9、 2 7、8中无理数有()个 A1 B 2 C3 D4 【答案】 C. 【解析】 无理数有sin60 、 3 、8. 【点评】 对实数进行分类不能只看表面形式,应先化简,再根据结果去判断 举一反三: 【高清课程名称:实数高清 ID 号:369214 关联的位置名称(播放点名称):经典例题 1】 【变式 】 在,30cos, 2 ,)23(,4,8,14.3 0 ,45tan, 7 12 ,1010010001.0,5 1 13. 0%,3 中, 哪些是有理数? 哪些是无理数? 【答案】 0 3.14,4, ( 32)
13、,45tan, 7 12 ,5 1 13 .0%,3 都是有理数; 8,cos30 , 2 0.1010010001,都 是无理数 . 3 (2015?梅州)计算:+|23| () 1( 2015+ ) 0 【答案与解析】 解:原式 =2+3231=1 【点评】 该题是实数的混合运算,包括绝对值,0 指数幂、负整数指数幂等只要准确把握各自的意义, 就能正确的进行运算 举一反三: 【高清课程名称:实数高清 ID 号: 369214 关联的位置名称(播放点名称):经典例题 8-9 】 【变式 1】计算:(2015?甘南州)计算:|1|+2012 0( ) 13tan30 第 6 页 共 13 页
14、【答案】 解:原式 =1+1( 3) 3=+3=3 【变式 2】计算:12004200320022001 【答案】 设 n=2001,则原式 =1)3)(2)(1(nnnn 1)23)(3( 22 nnnn(把 n 2 +3n 看作一个整体) =1)3(2)3( 222 nnnn =n 2+3n+1 =n(n+3)+1 =20012004+1 =4010005. 类型三、实数大小的比较 4比较下列每组数的大小: (1)417与154(2)a 与 a 1 (a0) 【答案与解析】 (1) 1 1740 174 , 1 4150 415 , 而174与415可以很容易进行比较得到: 1744150
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