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1、第 1 页 共 17 页 2019 届中考数学总复习:方程与不等式综合复习 【考纲要求】 1会从定义上判断方程( 组) 的类型,并能根据定义的双重性解方程( 组) 和研究分式方程的增根情况; 2掌握解方程(组) 的方法,明确解方程组的实质是“消元降次”、 “化分式方程为整式方程”、 “化无理 式为有理式” ; 3理解不等式的性质,一元一次不等式( 组) 的解法,在数轴上表示解集,以及求特殊解集; 4列方程 ( 组) 、列不等式 ( 组) 解决社会关注的热点问题; 5. 解方程或不等式是中考的必考点,运用方程思想与不等式(组) 解决实际问题是中考的难点和热点 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、
2、一元一次方程 1. 方程 含有未知数的等式叫做方程. 2. 方程的解 能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解. 3. 等式的性质 ( 1)等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,所得结果仍是等式. ( 2)等式的两边都乘以(或除以)同一个数(除数不能是零),所得结果仍是等式. 第 2 页 共 17 页 4. 一元一次方程 只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是1 的整式方程叫做一元一次方程,其中方程 )为未知数,(0ax0bax叫做一元一次方程的标准形式,a 是未知数x 的系数, b 是常数项 . 5. 一元一次方程解法的一般步骤 整理方程去分母去括号移项合并同类项系数化为1 (
3、检验方程的 解). 6. 列一元一次方程解应用题 (1) 读题分析法:多用于“和,差,倍,分问题” 仔细读题,找出表示相等关系的关键字,例如:“大,小,多,少,是,共,合,为,完成,增加, 减少,配套” ,利用这些关键字列出文字等式,并且根据题意设出未知数,最后利用题目中的量与量的 关系填入代数式,得到方程. (2) 画图分析法:多用于“行程问题” 利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现,仔细读题,依照题意画出有关图形,使图 形各部分具有特定的含义,通过图形找相等关系是解决问题的关键,从而取得布列方程的依据,最后利 用量与量之间的关系( 可把未知数看作已知量) ,填入有关的代数式是获
4、得方程的基础. 要点诠释: 列方程解应用题的常用公式: (1) 行程问题:距离 =速度时间 时间 距离 速度 速度 距离 时间 ; (2) 工程问题:工作量 =工效工时 工时 工作量 工效 工效 工作量 工时 ; (3) 比率问题:部分 =全体比率 全体 部分 比率 比率 部分 全体; (4) 顺逆流问题:顺流速度 =静水速度 +水流速度,逆流速度=静水速度 - 水流速度; (5) 商品价格问题:售价 =定价折 10 1 ,利润 =售价 - 成本,%100 成本 成本售价 利润率; (6) 周长、面积、体积问题:C圆=2R,S圆=R 2,C 长方形=2(a+b) ,S长方形=ab, C正方形=
5、4a, S正方形=a 2,S 环形=(R 2-r2) , V 长方体=abh,V正方体=a 3,V 圆柱=R 2h ,V 圆锥= 3 1 R 2 h. 考点二、一元二次方程 1. 一元二次方程 含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2 的整式方程叫做一元二次方程. 2. 一元二次方程的一般形式 )0(0 2 acbxax,它的特征是:等式左边是一个关于未知数x 的二次多项式,等式右边是 零,其中 2 ax叫做二次项,a 叫做二次项系数;bx 叫做一次项, b 叫做一次项系数;c 叫做常数项 . 3. 一元二次方程的解法 第 3 页 共 17 页 ( 1)直接开平方法 利用平方根的定义直接开平方
6、求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法. 直接开平方法适用于 解形如bax 2 )(的一元二次方程. 根据平方根的定义可知,ax是 b 的平方根,当0b时, bax,bax,当 b0. 故 =b 2-4ac0. 此时方程有两个不相等的实数 根. ( ii ) 证法一 : 若 ac0, 由(2) 知 a-b+kc =0, 故 b=a+kc. =b 2 -4ac= (a+kc) 2-4ac=a2+2kac+(kc)2-4ac = a2-2kac+(kc)2+4kac-4ac =(a-kc) 2+4ac(k-1). 方程 kx=x+2 的根为正实数, 方程 (k-1) x=2的根为正实数. 由 x
7、0, 20, 得 k-10. 4ac(k-1)0. (a-kc) 2 0, =(a-kc) 2+4ac(k-1)0. 此时方程有两个不相等的实数根. 证法二 : 若 ac0, 抛物线 y=ax 2-bx+kc 与 x 轴有交点 , 1=(-b) 2-4akc =b2-4akc 0. (b 2-4ac)-( b2-4akc)=4ac(k-1). 由证法一知 k-10, b 2 -4ac b 2-4akc 0. = b 2-4ac0. 此时方程有两个不相等的实数根. 综上 , 方程有两个不相等的实数根. 【总结升华】方程与函数综合题. 中考所考知识点的综合与相互渗透. 举一反三: 【变式 】已知关
8、于x的一元二次方程0)2() 1(2 2 mmxmx. (1)若 x= 2 是这个方程的一个根,求m的值和方程的另一个根; (2)求证:对于任意实数m ,这个方程都有两个不相等的实数根. 【答案】 (1)解:把x=2 代入方程,得0)2()2()1(24mmm, 即02 2 mm. 解得0 1 m,2 2 m. 当0m时 , 原 方 程 为02 2 xx, 则 方 程 的 另 一 个 根 为0x. 当2m时 , 原 方 程 为082 2 xx, 则 方 程 的 另 一 个 根 为4x. (2)证明:)2(4)1(2 2 mmm48 2 m, 第 8 页 共 17 页 对于任意实数m,0 2 m
9、 , 048 2 m . 对于任意实数m,这个方程都有两个不相等的实数根. 类型二、解不等式(组) 3 (2015?江西样卷)解不等式组,并把解集在数轴上表示出来 【思路点拨】 求出每个不等式的解集,根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可 【答案与解析】 解:, 解不等式 得: x 1, 解不等式 得: x 2, 不等式组的解集为:2 x 1 在数轴上表示不等式组的解集为: 【总结升华】注意解不等式组的解题步骤,在数轴上表示不等式组时,能根据不等式的解集找出不等式 组的解集 举一反三: 【变式 】 (2014?泗县校级模拟)求不等式组的整数解,并在数轴上表示出来 【答案】 解:, 由得
10、: x 2, 由得: x6, 不等式组的解集是:2x6 整数解是:1,0,1,2,3,4, 5,6 在数轴上表示出来为: 类型三、方程(组)与不等式(组)的综合应用 第 9 页 共 17 页 4如果关于x 的方程 2 2 1 24 xm xx 的解也是不等式组 1 2, 2 2(3)8 x x xx 的一个解, 求 m的取值范围 【思路点拨】 解方程求出x 的值(是用含有m的式子表示的) ,再解不等式组求出x 的取值范围,最后方程的解 与不等式组的解结合起来求m的取值范围 . 【答案与解析】 解方程 2 2 1 24 xm xx ,得 x-m-2 因为 2 4(4)xm m, 所以 m -4
11、且 m 0 时,有 2 40x 所以方程 2 2 1 24 xm xx 的解为 x-m-2 其中 m -4 且 m 0 解不等式组 1 2, 2 2(3)8, x x xx 得 x-2 由题意,得 -m-2 -2,解得 m 0 所以 m的取值范围是m 0 【总结升华】方程与不等式的综合题,是中考考查的重点之一 举一反三: 【高清课程名称:方程与不等式综合复习高清 ID 号: 405277 关联的位置名称(播放点名称):例 1】 【变式 】如果不等式组 2 2 23 x a xb 的解集是01x,那么ab的值为 【答案】解不等式组得: 3 4-2 2 b ax,因为不等式组 2 2 23 x a
12、 xb 的解集是01x,所以 4-20 3 1 2 a b 解得 2 1 a b 所以1ab. 5 某采摘农场计划种植BA、两种草莓共6 亩,根据表格信息,解答下列问题: 第 10 页 共 17 页 (1) 若该农场每年草莓全部被采摘的总收入为46000O元,那么BA、两种草莓各种多少亩? (2)若要求种植A种草莓的亩数不少于种植B种草莓的一半,那么种植A种草莓多少亩时,可使该 农场每年草莓全部被采摘的总收入最多? 【思路点拨】 ( 1)根据等量关系:总收入=A地的亩数年亩产量采摘价格+B地的亩数年亩产量采摘价格, 列方程求解; ( 2)这是一道只有一个函数关系式的求最值问题,根据题意确定自变
13、量的取值范围,由函数y 随 x 的变化求出最大利润 【答案与解析】 设该农场种植A种草莓x亩,B种草莓)6(x亩 依题意,得:460000)6(200040120060xx 解得:5.2x , 5.36x (2)由)6( 2 1 xx,解得2x 设农场每年草莓全部被采摘的收入为y 元,则: 4800008000)6(200040120060xxxy 当2x时, y 有最大值为464000 答: (l)A种草莓种植2.5 亩 , B 种草莓种植3.5 亩 (2)若种植 A种草莓的亩数不少于种植B种草莓的一半,那么种植A种草莓2 亩时,可使农场 每年草莓全部被采摘的总收入最多. 【总结升华】 本题
14、考查的是用一次函数解决实际问题,此类题是近年中考中的热点问题注意利用一次函数求 最值时,关键是应用一次函数的性质;即由函数y 随 x 的变化,结合自变量的取值范围确定最值 举一反三: 【变式 】某运输公司用10 辆相同的汽车将一批苹果运到外地,每辆汽车能装8 吨甲种苹果, 或10吨乙种苹果,或11吨丙种苹果公司规定每辆车只能装同一种苹果,而且必须 满载已知公司运送了甲、乙、丙三种苹果共100 吨,且每种苹果不少于一车 ( 1)设用x辆车装甲种苹果,y辆车装乙种苹果,求y与x之间的函数关系式,并写 出自变量x的取值范围; ( 2)若运送三种苹果所获利润的情况如下表所示: 苹果品种甲乙丙 每吨苹果
15、所获利润(万元) 0.2 2 0.21 0.2 设 此 次 运 输 的 利 润 为W( 万 元 ) , 问 : 如 何 安 排 车 辆 分 配 方 案 才 能 使 运 输 利 润W 最大,并求出最大利润 【答案】 项目品种A B 年亩产(单位:千克)1200 2000 采摘价格(单位:元/ 千克)60 40 第 11 页 共 17 页 (1)81011(10)100xyxy, y与x之间的函数关系式为310yx y1,解得x3 x1,10xy1,且x是正整数, 自变量x的取值范围是x =1 或x =2 或x =3 (2)80.22100.2111(10)0.20.1421Wxyxyx 因为 W
16、随x的增大而减小,所以x取 1 时,可获得最大利润, 此时20.86W(万元) 获得最大运输利润的方案为:用1 辆车装甲种苹果,用7 辆车装乙种苹果,2 辆车装丙种 苹果 类型四、用不等式(组)解决决策性问题 6为了美化家园,创建文明城市,园林部门决定利用现有的3600 盆甲种花卉和2900 盆乙种花卉 搭配 A 、B两种园艺造型共50 个,摆放在迎宾大道两侧,搭配每个造型所需花卉的情况如下表所示; 造型甲乙 A 90 盆30 盆 B 40 盆100 盆 综合上述信息,解答下列问题: (1)符合题意的搭配方案有哪儿种? (2)若搭配一个A种造型的成本为1000 元,搭配一个B种选型的成本为12
17、00 元,试说明选用(1) 中 哪种方案成本最低? 【思路点拨】 本题首先需要从文字和表格中获取信息,建立不等式 ( 组) ,然后求出其解集,根据实际问题的意义, 再求出正整数解,从而确定搭配方案 【答案与解析】 解: (1) 设搭配 x 个 A种造型,则需要搭配(50-x) 个 B种造型,由题意,得 9040(50)3600, 30100(50)2900, xx xx 解得 30x32 所以 x 的正整数解为30,31,32 所以符合题意的方案有3 种,分别为: A种造型 30 个, B种造型 20 个; A种造型 31 个, B种造型 19 个; A种造型 32 个, B种造型 18 个
18、(2) 由题意易知,三种方案的成本分别为: 第一种方案:301000+20120054000; 第二种办案:311000+19120053800; 第三种方案:321000+18120053600. 所以第三种方案成本最低 【总结升华】实际问题的“最值问题”一般是指“成本最低”、 “利润最高” 、 “支出最少”等问题 举一反三: 【高清课程名称:方程与不等式综合复习高清 ID 号: 405277 关联的位置名称(播放点名称):例 4】 第 12 页 共 17 页 【变式 】某商场“家电下乡”指定型号冰箱,彩电的进价和售价如下表所示: (1)按国家政策,购买“家电下乡”产品享受售价13的政府补贴
19、. 若到该商场购买了冰箱,彩电各一 台,可以享受多少元的补贴? (2) 为满足需求,商场决定用不超过85000 元采购冰箱,彩电共40 台,且冰箱的数量不少于彩电数量 的 5 6 . 请你帮助该商场设计相应的进货方案; 用哪种方案商场获得利润最大?(利润=售价 - 进价) ,最大利润是多少? 【答案】 (1) (2420+1980)1 3=572(元) (2)设冰箱采购x 台,则彩电采购(40-x )台, 解不等式组得 23 1821 117 x ,因为x为整数,所以x=19、20、 21, 方案一:冰箱购买19 台,彩电购买21 台, 方案二:冰箱购买20 台,彩电购买20 台, 方案一:冰
20、箱购买21 台,彩电购买19 台. 设商场获得总利润为y元,则y=(2420-2320)x+(1980-1900)(40-x)=20x+3200 20 0,y随x的增大而增大, 当x=21 时,y最大=2021+3200=3620 (元). 第 13 页 共 17 页 【巩固练习】 一、选择题 1某城市2010 年底已有绿化面积300 公顷,经过两年绿化,绿化面积逐年增加,到2012 年底增加 到 363 公顷设绿化面积平均每年的增长率为x,由题意,所列方程正确的是( ) A300(1+x) 363 B300(1+2x) 363 C300(1+x) 2363 D 363(1-x)2300 2若
21、方程组 111 222 a xb yc a xb yc 的解是 3 5 x y ,则方程 111 222 (2)(1) (2)(1) a xb yc axbyc 的解是() A. 3 5 x y B. 5 3 x y C. 5 4 x y D. 1 6 x y 3若使代数式 31 2 x 的值在 -1 和 2 之间, x 可以取的整数有( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 4 ( 2014 春?港闸区校级月考)不等式组的最小整数解是() A 1 B0 C 2 D 3 5如果不等式3x-m0 的正整数解是1、2、3,那么实数m的取值范围是 ( ) A3m 9 B9m 12 C9m 1
22、D9 m 12 6两个不相等的实数m 、n 满足 m 2-6m4,n2-6n 4,则 mn的值是 ( ) A6 B -6 C4 D-4 二、填空题 7若方程x 2-m0 有整数根,则 m的值可以是 _( 只填一个 ) 8设 x1、x2是关于 x 的方程 2 0axbxc(a 0) 的两个根,则 12 11b xxc _ 9已知一个一元二次方程有一个根为1,那么这个方程可以是_( 只要写出一个即可) 10张欣和李明相约到图书城去买书请你根据他们的对话内容( 如图所示 ) ,求出李明上次所买书籍的 原价为 _ 11. 已知yx,满足 21765 22274 yx yx ,则yx=_. 第 14 页
23、 共 17 页 12( 2014?永嘉县校级模拟) 若关于 x 的不等式组的整数解只有2, 则 a 的取值范围为 三、解答题 13( 2015?宁夏)某校在开展“校园献爱心”活动中,准备向南部山区学校捐赠男、女两种款式的书包 已 知男款书包的单价50 元/ 个,女款书包的单价70 元/ 个 (1)原计划募捐3400 元,购买两种款式的书包共60 个,那么这两种款式的书包各买多少个? (2)在捐款活动中,由于学生捐款的积极性高涨,实际共捐款4800 元,如果购买两种款式的书包共80 个,那么女款书包最多能买多少个? 14. 已知关于 x 的方程 2x 2-kx+1 0 的一个解与方程21 4 1
24、 x x 的解相同 (1)求 k 的值; (2)求方程 2x 2-kx+1 0 的另一个解 15已知关于x的方程 2 220xaxab,其中a、b为实数 . (1)若此方程有一个根为2 a(a 0) ,判断a与b的大小关系并说明理由; (2)若对于任何实数a,此方程都有实数根,求b的取值范围 . 16. 某班到毕业时共结余经费1 800 元,班委会决定拿出不少于270 元但不超过300 元的资金为老师购 买纪念品, 其余资金用于在毕业晚会上给50 位同学每人购买一件文化衫或一本相册作为纪念品已 知每件文化衫比每本相册贵9元,用 200 元恰好可以买到2 件文化衫和5 本相册 (1)求每件文化衫
25、和每本相册的价格分别为多少元? (2)有几种购买文化衫和相册的方案?哪种方案用于购买老师纪念品的资金更充足? 【答案与解析】 一、选择题 1. 【答案】 C; 【解析】平均增长率公式为(1+ ) n axb (a为原来数, x 为平均增长率,n 为增长次数, b 为增长后 的量 .) 2. 【答案】 C; 【解析】由已知可得 23 15 x y 解得 5 4 x y . 3. 【答案】 B; 【解析】依题意-1 31 2 x 2 得 15 - 33 x ,x 可以取的整数为0,1. 4. 【答案】 D; 【解析】, 第 15 页 共 17 页 解得: x2, 解得: x 4 则不等式组的解集是
26、:4x2 则最小整数解是:3故选 D 5. 【答案】 D; 【解析】原不等式的解集为 3 m x,故34 3 m ,可知 9m 12 6. 【答案】 D; 【解析】 2 640mm, 2 640nn, m 、n 是方程 x 2-6x-4 0 的两根 mn x1x2 -4 二、填空题 7 【答案】 1 或 4( 答案不唯一 ) ; 8 【答案】 0; 【解析】 12 1212 11 0 b xxbbbbb a c xxcx xcccc a . 9 【答案】 x 2-10( 不唯一 ) ; 10 【答案】 160元; 【解析】设李明上次所买书籍的原价为x元,根据题意列方程得:0.82012xx 解
27、方程得:160x. 11 【答案】 -5; 【解析】方法一:利用加减消元或代入消元解方程组求出, x y的值,代入yx求出值; 方法二:观察系数的特点,发现两个方程相减即可得到yx的值 . 12 【答案】3a 0; 【解析】, 解得: x3, 解得: x, 则不等式组的解集是:x3, 整数解只有2, 12, 解得: 3a 0故答案是: 3a 0 三、解答题 第 16 页 共 17 页 13. 【答案与解析】 解: (1)设原计划买男款书包x 个,则女款书包(60x)个, 根据题意得:50x+70(60x)=3400, 解得: x=40, 60 x=6040=20, 答:原计划买男款书包40 个
28、,则女款书包20 个 (2)设女款书包最多能买y 个,则男款书包(80y)个, 根据题意得:70y+50(80y)4800, 解得: y40, 女款书包最多能买40 个 14. 【答案与解析】 (1) 21 4 1 x x , 2x+1 4-4x 1 2 x经检验 1 2 x是原方程的解 把 1 2 x代入方程2x 2-kx+1 0, 解得 k3 (2)解 2x 2-3x+1 0,得 1 1 2 x,x21 方程 2x 2-kx+1 0 的另一个解为 x1 15. 【答案与解析】 (1)方程 2 220xaxab有一个根为2a , 22 4420aaab. 整理,得 2 a b. 0a, 2
29、a a,即ab. ( 2) 22 44(2 )448aabaab 对于任何实数a,此方程都有实数根, 对于任何实数a,都有 2 448aab0 ,即 2 2aab 0. 对于任何实数a,都有b 2 2 aa . 2 2 111 () 2228 aa a, 当 1 2 a时, 2 2 aa 有最小值 1 8 . b的取值范围是b 1 8 . 16. 【答案与解析】 第 17 页 共 17 页 ( 1)设文化衫和相册的价格分别为x元和y元,则 9 25200 xy xy 解得 35 26 x y 答:一件文化衫和一本相册的价格分别为35 元和 26 元 ( 2)设购买文化衫 t件,则购买相册(50) t 本, 则15003526(50)1530tt, 解得 200230 99 t t为正整数,t23, 24,25,即有三种方案 第一种方案:购文化衫23 件,相册 27 本,此时余下资金293 元; 第二种方案:购文化衫24 件,相册 26 本,此时余下资金284 元; 第三种方案:购文化衫25 件,相册 25 本,此时余下资金275 元; 所以第一种方案用于购买教师纪念品的资金更充足
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