2019年高考数学考点突破——空间向量与立体几何(理科专用):空间向量及其运算.pdf
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1、滴滴答答的等等 和任何人呵呵呵 空间向量及其运算 【考点梳理】 1空间向量的有关概念 名称定义 空间向量在空间中,具有大小和方向的量 相等向量方向相同且模相等的向量 相反向量方向相反且模相等的向量 共线向量 (或平行向量 ) 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量 共面向量平行于同一个平面的向量 2空间向量的有关定理 (1) 共线向量定理:对空间任意两个向量a,b(b0) ,ab的充要条件是存在实数,使 得ab. (2) 共面向量定理: 如果两个向量a,b不共线, 那么向量p与向量a,b共面的充要条件是 存在唯一的有序实数对(x,y),使pxayb. (3) 空间向量基本定理:如
2、果三个向量a,b,c不共面,那么对空间任一向量p,存在有序 实数组 x,y,z ,使得pxaybzc,其中, a,b,c 叫做空间的一个基底. 3空间向量的数量积及运算律 (1) 数量积及相关概念 两向量的夹角 已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作OA a,OB b,则AOB叫做向量a与b 的夹角,记作a,b ,其范围是 0 , ,若a,b 2 ,则称a与b互相垂直,记作ab. 非零向量a,b的数量积ab|a|b|cos a,b. (2) 空间向量数量积的运算律: 结合律: ( a) b(ab) ; 交换律:abba; 分配律:a(bc) abac. 4空间向量的坐标表示及其应用 设a
3、(a1,a2,a3) ,b (b1,b2,b3). 向量表示坐标表示 滴滴答答的等等 和任何人呵呵呵 数量积aba1b1a2b2a3b3 共线ab(b0,R)a1b1,a2b2,a3b3 垂直ab0(a 0,b0) a1b1a2b2a3b30 模|a| a 2 1a 2 2a 2 3 夹角a,b(a0,b0) cosa,b a1b1a2b2a3b3 a 2 1a 2 2a 2 3 b 2 1b 2 2b 2 3 【考点突破】 考点一、空间向量的线性运算 【例 1】如图所示,在空间几何体ABCDA1B1C1D1中,各面为平行四边形,设AA1 a,AB b, AD c,M,N,P分别是AA1,BC
4、,C1D1的中点,试用a,b,c表示以下各向量: (1)AP ;(2)MP NC1 . 解析 (1)因为P是C1D1的中点,所以AP AA1 A1D1 D1P aAD 1 2D 1C1 ac 1 2AB ac 1 2b. (2) 因为M是AA1的中点,所以MP MA AP 1 2A 1A AP 1 2a ac1 2b 1 2a 1 2b c. 又NC1 NC CC1 1 2BC AA1 1 2AD AA1 1 2ca, 所以MP NC1 1 2a 1 2b ca1 2c 滴滴答答的等等 和任何人呵呵呵 3 2a 1 2b 3 2c. 【类题通法】 1选定空间不共面的三个向量作基向量,这是用向量
5、解决立体几何问题的基本要求. 用已 知基向量表示指定向量时,应结合已知和所求向量观察图形,将已知向量和未知向量转化至三 角形或平行四边形中,然后利用三角形法则或平行四边形法则进行运算. 2首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量,我们把 这个法则称为向量加法的多边形法则. 【对点训练】 如图,三棱锥OABC中,M,N分别是AB,OC的中点,设OA a,OB b,OC c,用a,b, c表示NM ,则NM ( ) A 1 2( abc) B 1 2( abc) C 1 2( abc) D 1 2( abc) 答案 B 解析 NM NA AM (OA ON ) 1 2A
6、B OA 1 2OC 1 2( OB OA ) 1 2OA 1 2OB 1 2OC 1 2( ab c). 考点二、共线定理、共面定理的应用 【例 2】已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,用向量方 法求证: (1)E,F,G,H四点共面; (2)BD平面EFGH. 滴滴答答的等等 和任何人呵呵呵 解析 (1)连接BG,则EG EB BG EB 1 2( BC BD ) EB BF EH EF EH ,由共面向量 定理知E,F,G,H四点共面 . (2)因为EH AH AE 1 2AD 1 2AB 1 2( AD AB ) 1 2BD ,因为E,H,B,D
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