勾股定理全章复习与巩固(基础)知识讲解.doc
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1、数学是科学的大门和钥匙-培根勾股定理全章复习与巩固(基础)责编:杜少波【学习目标】1.了解勾股定理的历史,掌握勾股定理的证明方法;2.理解并掌握勾股定理及逆定理的内容;3.能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题.【知识网络】【要点梳理】【高清课堂 勾股定理全章复习 知识要点】要点一、勾股定理1.勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.(即:) 2.勾股定理的应用 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系,是直角三角形的重要性质之一,其主要应用是:(1)已知直角三角形的两边,求第三边;(2)利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题;(3)解决与勾股定理有关的面积计算;(4)勾股定理
2、在实际生活中的应用要点二、勾股定理的逆定理1.勾股定理的逆定理如果三角形的三边长,满足,那么这个三角形是直角三角形.要点诠释:应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤:(1)首先确定最大边,不妨设最大边长为;(2)验证:与是否具有相等关系: 若,则ABC是以C为90的直角三角形; 若时,ABC是锐角三角形;若时,ABC是钝角三角形 2.勾股数满足不定方程的三个正整数,称为勾股数(又称为高数或毕达哥拉斯数),显然,以为三边长的三角形一定是直角三角形.要点诠释:常见的勾股数:3、4、5; 5、12、13;8、15、17;7、24、25;9、40、41.如果()是勾股数,当t为正
3、整数时,以为三角形的三边长,此三角形必为直角三角形.观察上面的、四组勾股数,它们具有以下特征:1.较小的直角边为连续奇数;2.较长的直角边与对应斜边相差1.3.假设三个数分别为,且,那么存在成立.(例如中存在2425、4041等)要点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别:勾股定理是直角三角形的性质定理,而其逆定理是判定定理;联系:勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反,两者互为逆定理,都与直角三角形有关.【典型例题】类型一、勾股定理及逆定理的简单应用1、(2016益阳)在ABC中,AB=15,BC=14,AC=13,求ABC的面积某学习小组经过合作交流,给出了下面的解题思路,请你按照他
4、们的解题思路完成解答过程【思路点拨】根据题意正确表示出AD2的值是解题关键.【答案与解析】解:如图,在ABC中,AB=15,BC=14,AC=13,设BD=x,则CD=14x,由勾股定理得:AD2=AB2BD2=152x2,AD2=AC2CD2=132(14x)2,故152x2=132(14x)2,解之得:x=9AD=12SABC=BCAD=1412=84【总结升华】此题主要是要读懂解题思路,然后找到解决问题的切入点,问题才能迎刃而解.举一反三:【变式】在ABC中,AB15,AC13,高AD12求ABC的周长【答案】解:在RtABD和RtACD中,由勾股定理,得 同理 当ACB90时,BCBD
5、CD954 ABC的周长为:ABBCCA1541332当ACB90时,BCBDCD9514 ABC的周长为:ABBCCA15141342综上所述:ABC的周长为32或422、如图所示,ABC中,ACB90,ACCB,M为AB上一点求证:【思路点拨】欲证的等式中出现了AM2、BM2、CM2,自然想到了用勾股定理证明,因此需要作CDAB【答案与解析】证明:过点C作CDAB于D ACBC,CDAB, ADBD ACB90, CDADDB 在RtCDM中, 【总结升华】欲证明线段平方关系问题,首先联想勾股定理,从图中寻找或作垂线构造包含所证线段的直角三角形,利用等量代换和代数中的恒等变换进行论证举一反
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