等腰三角形(提高)知识讲解.doc
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1、数学是科学的大门和钥匙-培根等腰三角形(提高)知识讲解责编:杜少波 【学习目标】1. 了解等腰三角形、等边三角形的有关概念, 掌握等腰三角形的轴对称性;2. 掌握等腰三角形、等边三角形的性质,会利用这些性质进行简单的推理、证明、计算和作图3. 理解并掌握等腰三角形、等边三角形的判定方法及其证明过程. 通过定理的证明和应用,初步了解转化思想,并培养学生逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力.4. 理解反证法并能用反证法推理证明简单几何题.【要点梳理】要点一、等腰三角形的定义1.等腰三角形有两条边相等的三角形,叫做等腰三角形,其中相等的两条边叫做腰,另一边叫做底,两腰所夹的角叫做顶角,底边与腰的夹
2、角叫做底角.如图所示,在ABC中,ABAC,ABC是等腰三角形,其中AB、AC为腰,BC为底边,A是顶角,B、C是底角2.等腰三角形的作法 已知线段a,b(如图).用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使AB=AC=b,BC=a.作法:1.作线段BC=a; 2.分别以B,C为圆心,以b为半径画弧,两弧 相交于点A; 3.连接AB,AC. ABC为所求作的等腰三角形3.等腰三角形的对称性 (1)等腰三角形是轴对称图形; (2)BC; (3)BDCD,AD为底边上的中线.(4)ADBADC90,AD为底边上的高线.结论:等腰三角形是轴对称图形,顶角平分线(底边上的高线或中线)所在的直线是它的对称轴.4.
3、等边三角形三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.等边三角形是一类特殊的等腰三角形,有三条对称轴,每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴.要点诠释:(1)等腰三角形的底角只能为锐角,不能为钝角(或直角),但顶角可为钝角(或直角).A1802B,BC .(2)等边三角形与等腰三角形的关系:等边三角形是特殊的等腰三角形,等腰三角形不一定是等边三角形.【高清课堂:389301 等腰三角形的性质及判定,知识要点】要点二、等腰三角形的性质1.等腰三角形的性质性质1:等腰三角形的两个底角相等,简称“在同一个三角形中,等边对等角”推论:等边三角形的三个内角都相等,并且每个内
4、角都等于60.性质2:等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”2.等腰三角形中重要线段的性质等腰三角形的两底角的平分线(两腰上的高、两腰上的中线)相等.要点诠释:这条性质,还可以推广到以下结论:(1)等腰三角形底边上的高上任一点到两腰的距离相等。(2)等腰三角形两底边上的中点到两腰的距离相等.(3)等腰三角形两底角平分线,两腰上的中线,两腰上的高的交点到两腰的距离相等,到底边两端上的距离相等.(4)等腰三角形顶点到两腰上的高、中线、角平分线的距离相等.要点三、等腰三角形的判定定理1.等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等,那么这个三角形是等腰三角形.
5、可以简单的说成:在一个三角形中,等角对等边. 要点诠释:(1)要弄清判定定理的条件和结论,不要与性质定理混淆判定定理得到的结论是等腰三角形,性质定理是已知三角形是等腰三角形,得到边和角关系.(2)不能说“一个三角形两底角相等,那么两腰边相等”,因为还未判定它是一个等腰三角形2.等边三角形的判定定理三个角相等的三角形是等边三角形.有一个角是60的等腰三角形是等边三角形.3. 含有30角的直角三角形定理:在直角三角形中,如果一个锐角等于30,那么它所对的直角边等于斜边的一半.要点四、反证法在证明时,先假设命题的结论不成立,然后从这个假设出发,经过逐步推导论证,最后推出与学过的概念、基本事实,以证明
6、的定理、性质或题设条件相矛盾的结果,从而证明命题的结论一定成立,这种证明命题的方法叫做反证法.要点诠释:反证法也称归谬法,是一种间接证明的方法,一般适用于直接证明有困难的命题一般证明步骤如下:(1) 假定命题的结论不成立; (2) 从这个假设和其他已知条件出发,经过推理论证,得出与学过的概念、基本事实,以证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果; (3)由矛盾的结果,判定假设不成立,从而说明命题的结论是正确的.类型一、等腰三角形中的分类讨论【高清课堂:389301 等腰三角形的性质及判定:例2(1)】1、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30,则顶角的度数为( ) A60 B120 C60或1
7、50 D60或120【答案】D;【解析】由等腰三角形的性质与三角形的内角和定理可知,等腰三角形的顶角可以是锐角、直角、钝角,然而题目没说是什么三角形,所以分类讨论,画出图形再作答(1)顶角为锐角如图,按题意顶角的度数为60; (2)顶角为直角,一腰上的高是另一腰,夹角为0不符合题意; (3)顶角为钝角如图,则顶角度数为120,故此题应选D【总结升华】此题主要考查了等腰三角形的性质,熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键,本题易出现的错误是忽视了顶角为120这种情况,把三角形简单的认为是锐角三角形举一反三:【高清课堂:389301 等腰三角形的性质及判定:例2(2)】【变式1】已知
8、等腰三角形的周长为13,一边长为3,求其余各边【答案】 解:(1)3为腰长时,则另一腰长也为3,底边长13337; (2)3为底边长时,则两个腰长的和13310,则一腰长 这样得两组:3,3,7 5,5,3 而由构成三角形的条件:两边之和大于第三边可知:337,故不能组成三角形,应舍去 等腰三角形的周长为13,一边长为3,其余各边长为5,5【变式2】在ABC中,A=40,当B= 时,ABC是等腰三角形【答案】40、70或100提示:分为两种情况:(1)当A是底角,AB=BC,根据等腰三角形的性质求出A=C=40,根据三角形的内角和定理即可求出B;AC=BC,根据等腰三角形的性质得到A=B=40
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