角(提高)知识讲解.doc
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1、数学是科学的大门和钥匙-培根角(提高)知识讲解责编:杜少波【学习目标】1掌握角的概念及角的表示方法,并能进行角度的互换;2. 借助三角尺画一些特殊角,掌握角大小的比较方法;3会利用角平分线的意义进行有关表示或计算;4. 掌握角的和、差、倍、分关系,并会进行有关计算.【要点梳理】要点一、角的概念1 角的定义:(1)定义一:有公共端点的两条射线组成的图形叫做角,这个公共端点是角的顶点,这两条射线是角的两条边如图1所示,角的顶点是点O,边是射线OA、OB图2图1(2)定义二:一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形,射线旋转时经过的平面部分是角的内部如图2所示,射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时,形
2、成的图形叫做角,起始位置OA是角的始边,终止位置OB是角的终边要点诠释:(1)两条射线有公共端点,即角的顶点;角的边是射线;角的大小与角的两边的长短无关(2)平角与周角:如图1所示射线OA绕点O旋转,当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时,所形成的角叫做平角,如图2所示继续旋转,OB和OA重合时,所形成的角叫做周角2.角的表示法:角的几何符号用“”表示,角的表示法通常有以下四种:要点诠释:用数字或小写希腊字母表示角时,要在靠近角的顶点处加上弧线,且注上阿拉伯数字或小写希腊字母3.角的画法(1)用三角板可以画出30、45、60、90等特殊角(2)用量角器可以画出任意给定度数的角(3)利用尺规作
3、图可以画一个角等于已知角要点二、角度制及其换算角的度量单位是度、分、秒,把一个周角平均分成360等份,每一份就是1的角,1的为1分,记作“1”,1的为1秒,记作“1”这种以度、分、秒为单位的角的度量制,叫做角度制 1周角360,1平角180,160,160要点诠释:在进行有关度分秒的计算时,要按级进行,即分别按度、分、秒计算,不够减,不够除的要借位,从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算,在相乘或相加时,当低位得数大于60时要向高一位进位要点三、角的比较与运算1.角的比较角的大小比较与线段的大小比较相类似,方法有两种方法1:度量比较法先用量角器量出角的度数,然后比较它们的大小方法2:叠合
4、比较法把其中的一个角移到另一个角上作比较如比较AOB和AOB的大小: 如下图,由图(1)可得AOBAOB;由图(2)可得AOBAOB;由图(3)可得AOBAOB2.角的和、差运算如图所示,AOB是1与2的和,记作:AOB1+2;1是AOB与2的差,记作:1AOB-2要点诠释:(1)用量角器量角和画角的一般步骤:对中(角的顶点与量角器的中心对齐);重合(一边与刻度尺上的零度线重合);读数(读出另一边所在线的度数) (2) 利用三角板除了可以做出30、45、60、90外,根据角的和、差关系,还可以画出15,75,105,120,135,150,165的角3.角平分线从一个角的顶点出发,把这个角分成
5、相等的两个角的射线,叫做这个角的平分线如图所示,OC是AOB的角平分线,AOB2AOC2BOC,AOCBOC =AOB要点诠释:由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样要点四、方位角在航行和测绘等工作中,经常要用到表示方向的角例如,图中射线OA的方向是北偏东60;射线OB的方向是南偏西30这里的“北偏东60”和“南偏西30”表示方向的角,就叫做方位角要点诠释:(1)正东,正西,正南,正北4个方向不需要用角度来表示(2)方位角必须以正北和正南方向作为“基准”,“北偏东60”一般不说成“东偏北30” (3)在同一问题中观察点可能不止一个,在不同的观测点都要画出表示方向的“十
6、字线”,确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向(4)图中的点O是观测点,所有方向线(射线)都必须以O为端点要点五、钟表上有关夹角问题钟表中共有12个大格,把周角12等分、每个大格对应30的角,分针1分钟转6,时针每小时转30,时针1分钟转0.5,利用这些关系,可帮助我们解决钟表中角度的计算问题【典型例题】类型一、角的概念1. 利用一副三角板上的角,能画出多少个小于180的角,试一一画出来【思路点拨】首先发现一副三角板上有30,45,60,90这样4个不相等的角,利用这些角进行一次和差,可得小于180的所有角【答案与解析】解:除了可以画30,45,60,90外,还可画15,75,105,12
7、0,135,150,165的七个度数的角,画法如图所示【总结升华】利用一副三角板共可以画出11个度数的角,分别是:30,45,60,90,15,75,105,120,135,150,165举一反三:【变式】(2015春成武县期末)下列说法中,正确的是()A两条射线组成的图形叫做角B有公共端点的两条线段组成的图形叫做角C角可以看做是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形D角可以看做是由一条线段绕着它的端点旋转而形成的图形【答案】C类型二、角度制的换算2. 计算下列各题: (1)1524912+20.18; (2)82-364215; (3)3536479; (4)41373 【答案与解析】 解:
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