主元法.pdf
《主元法.pdf》由会员分享,可在线阅读,更多相关《主元法.pdf(5页珍藏版)》请在三一文库上搜索。
1、1 主元法 所谓主元法就是在一个多元数学问题中以其中一个为“主元”,将问题化归为该主元的 函数、方程或不等式等问题,其本质是函数与方程思想的应用有些看似复杂的问题,如 果选取适当的字母作为主元,往往可以起到化难为易的作用。下面举例说明: 例 1. 一次函数的保号性 对任意m 1,1 ,函数f(x) x 2( m4)x42m的值恒大于零,求x的取值范围 分析: 此类问题常因思维定势,学生易把它看成关于x的二次函数进行讨论,后续步骤比较 繁琐;但是若变换一个角度,以m为变量,使g(m)x 2( m 4)x42m则问题转化为求 一次函数(或常数函数)g(m)的值在 -1,1内恒为正时,参数x应满足的
2、条件“换位” 思考优势明显 . 解析:由f(x) x 2( m4)x4 2m(x2)mx 24x4, 令g(m) (x2)mx 24x4. 由题意知在 1,1 上,g(m)的值恒大于零, 所以 2 2 ( 1)(2)( 1)440 (1)(2) 1440 gxxx gxxx 解得x3. 故当x3时,对任意的m 1,1 ,函数f(x) 的值恒大于零 总结:一般地,已知存在范围的量为变量,而待求范围的量为参数. 例 2. 二次函数有解问题 如图,建立平面直角坐标系xOy,x轴在地平面上, y 轴垂直于地平面, 单位长度为1 千米, 某炮位于坐标原点,已知炮弹发射后的轨迹在方程 22 1 (1)(0
3、) 20 ykxkxk表示的曲 线上,其中k与发射方向有关,炮的射程是指炮弹落地点的横坐标。 (1)求炮的最大射程; (2)设在第一象限有一个飞行物(忽略其大小) , 其飞行高度为3.2 千米,试问它的横坐标a不 超过多少时,炮弹可以击中它?说明理由。 o x(km) y(km) 2 分析:本题是2012 年江苏省高考题,以炮弹的射程为背景,实则考查的是二次函数问题。 在第 2 问中,令y=3.2,得到一个关于k,a 的二元二次方程之后,很多同学就不知道如何解 决问题了。 现在我们从代数角度分析,如果始终把a作为主元, 那么利用二次函数根与系数 的关系也只能得到k 的范围而不是a 的范围; 转
4、换一个角度, 将 k 作为主元, 就是关于k 的 一元二次方程,在k0 时有解,问题迎刃而解。 解: (1)最大射程是10 千米。 (过程略) (2)令 y=3.2,则: 222221 (1k )3.220640 20 kaaa kaka在 k0 时有解, 由于此二次函数开口向上,对称轴大于0, 且过点 22 (064),640aa,,故只要0即 可,解得:6a。所以飞行物的横坐标不超过6 千米时,炮弹可以击中它。 例 3. 二次不等式恒成立问题 不等式 22 8()abb ab对任意,a bR恒成立,求实数的取值范围 分析:本题可将a 或 b 看作主元,不妨以b 作为主元, 则原不等式 22
5、 8-0a babR()b恒成立, 80 84. 0 例 3 后的思考: 1. 在利用0之后,如果不能恰好将 2 a消去怎么办?此时应该再次以a为 主元,整理成关于a的一元二次不等式在xR时恒成立的问题,再次利用判别式就可解决 问题。 2.本题不等式的两侧都是关于,a b的二次式, 如果两边同除以 2 b,则可将 a b 作为主元,从而转化为关于 a b 的一元二次不等式恒成立问题。 例 4. 构造二次齐次式 已知实数yx,满足3 22 yxyx,求 22 yxyx的取值范围 . 分析:本题可以利用基本不等式: 2222 22 xyxy xy, 即 33 13. 22 xyxy xyxy 也可
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 主元法
链接地址:https://www.31doc.com/p-4771756.html