全国通用19届高考数学大一轮复习第十二章概率随机变量及其分布高考专题突破六高考中的概率与统计问题学案.pdf
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1、1 。 。 。 。 内部文件,版权追溯 内部文件,版权追溯 内部文件,版权追溯 内部文件,版权追溯 高考专题突破六高考中的概率与统计问题 【考点自测】 1(2018合肥模拟) 某小区有1 000 户,各户每月的用电量近似服从正态分布N(300,10 2 ), 则用电量在320 度以上的户数约为( ) ( 参考数据:若随机变量 服从正态分布N(, 2) ,则 P( 320) 1 21 P(2803.841可认为选修文理科与性别有关系出错的可能性约为5%. 题型一古典概型与几何概型 例 1 (1)(2017 榆林二模) 若函数f(x) e x,0 x0,即 a 2b2. 由题意知所有的基本事件有9
2、 个,即 (1,0),(1,1),(1,2) ,(2,0) ,(2,1) ,(2,2) ,(3,0) , (3,1) ,(3,2),其中第一个数表示a的取值,第二个数表示b的取值 满足a 2b2 的有 6 个基本事件,即(1,0) , (2,0) , (2,1) ,(3,0) ,(3,1) , (3,2) , 所以所求事件的概率为 6 9 2 3. (2)(2017 青岛模拟) 如图所示, 四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2 的大正方形,若直角三角形中较小的锐角 6 . 现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞 镖,则飞镖落在小正方形内的概率是_ 答案 23 2 解析易知小正方形
3、的边长为3 1, 故小正方形的面积为S1(31) 242 3, 又大正方形的面积为S22 4,故飞镖落在小正方形内的概率P S1 S 423 4 23 2 . 题型二求离散型随机变量的均值与方差 例 2 (2017 南京模拟) 最强大脑是江苏卫视推出的国内首档大型科学类真人秀电视节 目该节目集结了国内外最顶尖的脑力高手,堪称脑力界的奥林匹克某校为了增强学生的 记忆力和辨识力也组织了一场类似最强大脑的PK赛,A,B两队各由4 名选手组成,每 局两队各派一名选手PK ,除第三局胜者得2 分外,其余各局胜者均得1 分,每局的负者得0 分假设每局比赛两队选手获胜的概率均为0.5 ,且各局比赛结果相互独
4、立 (1) 求比赛结束时A队的得分高于B队的得分的概率; 5 (2) 求比赛结束时B队得分X的分布列和均值 解(1) 记第i局A队胜为事件Ai(i1,2,3,4), 比赛结束时A队得分高于B队得分的事件记为C, 则P(C) P(A1A2A3A4) P(A3)1 P(A1A2A4) 1 2. (2)X的可能取值为0,1,2,3,4,5. 则P(X0) P(A1A2A3A4) 1 16, P(X1)C 1 3 1 2 4 3 16, P(X2)P(A1A2A3A4)C 2 3 1 2 41 4, P(X4)C 2 3 1 2 43 16, P(X5) 1 16, P(X3)1 1 16 3 16
5、1 4 1 16 3 16 1 4. X的分布列为 X 012345 P 1 16 3 16 1 4 1 4 3 16 1 16 E(X) 0 1 161 3 162 1 43 1 44 3 165 1 16 5 2. 思维升华离散型随机变量的均值和方差的求解,一般分两步: 一是定型, 即先判断随机变量 的分布是特殊类型,还是一般类型,如两点分布、二项分布、超几何分布等属于特殊类型; 二是定性,对于特殊类型的均值和方差可以直接代入相应公式求解,而对于一般类型的随机 变量,应先求其分布列然后代入相应公式计算,注意离散型随机变量的取值与概率的对应 跟踪训练2 受轿车在保修期内维修费等因素的影响,企
6、业生产每辆轿车的利润与该轿车首 次出现故障的时间有关某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车,保修期均为2 年现从该 厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50 辆,统计数据如下: 品牌甲乙 首次出现故障时间x( 年)0202 轿车数量 ( 辆)2345545 每辆利润 ( 万元 )1231.82.9 6 将频率视为概率,解答下列问题: (1) 从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆,求其首次出现故障发生在保修期内的概率; (2) 若该厂生产的轿车均能售出,记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1,生产一辆乙品牌轿车 的利润为X2,分别求X1,X2的分布列; (3) 该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当,由于资金限
7、制, 只能生产其中一种品牌的轿车若 从经济效益的角度考虑,你认为应生产哪种品牌的轿车?说明理由 解(1) 设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A,则P(A) 23 50 1 10. (2) 依题意得,X1的分布列为 X1123 P 1 25 3 50 9 10 X2的分布列为 X21.82.9 P 1 10 9 10 (3) 由(2) 得E(X1) 1 1 252 3 503 9 10 143 50 2.86( 万元 ) , E(X2) 1.8 1 102.9 9 102.79( 万元 ) 因为E(X1)E(X2) ,所以应生产甲品牌轿车 题型三概率与统计的综合应用 例 3 (20
8、 18济南模拟 )2018 年 6 月 14 日至 7 月 15 日,第 21 届世界杯足球赛将于俄罗斯举 行,某大学为世界杯组委会招收志愿者,被招收的志愿者需参加笔试和面试,把参加笔试的 40 名大学生的成绩分组:第 1 组75,80),第 2 组 80,85),第 3 组85,90),第 4 组90,95), 第 5 组95,100,得到的频率分布直方图如图所示: (1) 分别求出成绩在第3,4,5组的人数; 7 (2) 现决定在笔试成绩较高的第3,4,5组中用分层抽样抽取6 人进行面试 已知甲和乙的成绩均在第3 组,求甲或乙进入第二轮面试的概率; 若从这6 名学生中随机抽取2 名学生接受
9、考官D的面试,设第4 组中有X名学生被考官D 面试,求X的分布列和均值 解(1) 由频率分布直方图知: 第 3 组的人数为50.0640 12. 第 4 组的人数为50.0440 8. 第 5 组的人数为50.0240 4. (2) 利用分层抽样,在第3 组、第 4 组、第 5 组中分别抽取3 人、 2 人、 1 人 设“甲或乙进入第二轮面试”为事件A,则 P(A) 1 C 3 10 C 3 12 5 11, 所以甲或乙进入第二轮面试的概率为 5 11. X的所有可能取值为0,1,2 , P(X0) C 2 4 C 2 6 2 5, P(X1) C 1 2C 1 4 C 2 6 8 15, P
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