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1、刚体转动惯量的测定 转动惯量是描述刚体转动惯性大小的物理量,是研究和描述刚体转动规律的一个重要物 理量, 它不仅取决于刚体的总质量,而且与刚体的形状、质量分布以及转轴位置有关。对于 质量分布均匀、 具有规则几何形状的刚体,可以通过数学方法计算出它绕给定转动轴的转动 惯量。 对于质量分布不均匀、没有规则几何形状的刚体,用数学方法计算其转动惯量是相当 困难的, 通常要用实验的方法来测定其转动惯量。因此, 学会用实验的方法测定刚体的转动 惯量具有重要的实际意义。 实验上测定刚体的转动惯量,一般都是使刚体以某一形式运动,通过描述这种运动的特 定物理量与转动惯量的关系来间接地测定刚体的转动惯量。测定转动
2、惯量的实验方法较多, 如拉伸法、扭摆法、三线摆法等,本实验是利用“刚体转动惯量实验仪”来测定刚体的转动 惯量。为了便于与理论计算比较,实验中仍采用形状规则的刚体。 【实验目的 】 . 学习用转动惯量仪测定物体的转动惯量。 . 研究作用在刚体上的外力矩与刚体角加速度的关系,验证刚体转动定律和平 行轴定理。 . 观测转动惯量随质量、质量分布及转动轴线的不同而改变的状况。 【实验仪器 】 ZKY-ZS 转动惯量实验仪及其附件(砝码,金属圆柱、圆盘及圆柱), ZKY-J1通用电 脑计时器 . 图 1 转动惯量测定装置实物图 【实验原理 】 根据刚体的定轴转动定律 dt d JJM , 只要测定刚体转动
3、时所受的合外力矩及该力矩作用下刚体转动的角加速度,则可计 算出该刚体的转动惯量,这是恒力矩转动法测定转动惯量的基本原理和设计思路。 一、转动惯量J 的测量原理 砝码盘及其砝码是系统转动的动力。分析转动系统受力如图2 所示: 当砝码钩上放置一定的砝码时,若松开手, 则在重力的作用下,砝码就会通过细绳带动 塔轮加速转动。当砝码绳脱离塔轮后,系统将只在摩擦力矩的作用下转动。 图 2 转动系统受力图 本实验中待测试件放在实验台上,随同实验台一起做定轴转动。设空实验台 (未加试件) 转动时, 其转动惯量为 0 J ,加上被测刚体后的转动惯量为 J ,由转动惯量的叠加原理可知, 则被测试件的转动惯量 被测
4、 J 为 0 JJJ被测 或 被测物 JJJ 0 实验时,先测出系统支架(空实验台)的转动惯量 0 J ,然后将待测物放在支架上,测 量出转动惯量为 J,利用上式可计算出待测物的转动惯量。 未加试件及外力时( 0m , 0T ) ,即外力矩为零时,若使系统以某一初角速度开 始转动,则系统将在摩擦力矩M的作用下,作匀减速转动,设角加速度为 1,则由刚体的 转动定律有 10 JM (1) 其中 r rfM (2) 加外力后(即有外力矩)时,设系统的角加速度为 2,则: 20 JrfTr r (3) 而 maTmg (4) 2 ra 其中m砝码质量, g 重力加速度,T绳的张力 联立式( 1) ,
5、(2) , (3), (4)得: )( 2 rgmmamgT 202) (JMrrgm 2 12 2 12 0 mr mgr J (5) 测出 1,以及加外力矩 mgr 后的 2,由( 5)式即可得 0 J ,以及将 0 J 代入( 1)试附 带可得出摩擦力矩M。 同理,加试件后有 3 JM 44) (JMrrgm 2 34 4 34 mr mgr J (6) 以上 1、3是由摩擦力矩产生的角加速度,其值为负,因此( 5) 、 (6)式中的分母实 为相加。测的实验顺序可以是 1、2、3、4,也可以是1、3、2、4,更可 以是( 2,1) ,再(4,3) ,测量方法见后。 二、角加速度的测量原理
6、 21, 的测量采用如下方法: 实验中直接测量的是时间和角位移,可由下列计算间接得出。 设转动体系的初角速度为 0 w ,t=0 时的角位置为0,则 t 时刻角位移为 2 0 2 1 ttw (7) 数字毫秒计从t=0 开始计时,这时的计时次数为k=0, 0;1 tt 时 k=1 ,;t 时刻,计时次数为k,角位移 k 。 若测得与 21, 相应的时间为 21,t t ,计时次数为 21,k k ,则: 2 11011 2 1 ttwk (8) 2 22022 2 1 ttwk (9) 联立式( 9) , (10)得: 2 2 11 2 2 2112 )(2 tttt tt (10) 即: 2
7、 2 11 2 2 2112 2 tttt tktk ( nkn ) (11) 可以选两组 2211 ,tktk 值计算的值,也可以选多组计算几个值求平均;或者多次直接 测量值。本实验采用配套的ZKY-J1 通用电脑计时器,计时和记录角位移。 三、验证平行轴定理 平行轴定理:质量为 m 的刚体 , 对过其质心c 的某一转轴的转动惯量为 C J ,则刚体对平 行于该轴、和它相距为d 的另一转轴的转动惯量 平行J 为: 2 mdJJ C 平行 在上式等式两端都加上系统支架的转动惯量 0 J ,则有: 2 00mdJJJJC平行 令 JJJ 平行0 ,又 C J , 0 J 都为定值,则J 与 2
8、d 呈线性关系,实验中若测得此关系, 则验证了平行轴定理。 四、 J 的“理论”公式 设待测的圆盘(或圆柱)质量为 m、半径为 R,则圆盘、圆柱绕几何中心轴的转动惯量理 论值为 2 2 1 mRJ 待测的圆环质量为m,内外半径分别为 内 R 、 外 R ,圆环绕几何中心轴的转动惯量理论值为 )( 2 22 内外 RR m J 【实验仪器介绍】 转动惯量仪:由十字型承物台、绕线塔轮、遮光细棒和小滑轮组成, 如图 3 所示。承物 台转动时固定在载物台边缘并随之转动的遮光细棒,每转动半圈()遮挡一次固定在 底座圆周直径相对两端的光电门,即产生一个光电脉冲送入光电计时计数仪,计数器将计下 时间和遮挡次
9、数。计数器从第一次挡光(第一个光电脉冲发生)开始计时、计数,并且可以 连续记录, 存储多个脉冲时间。塔轮上有五个不同半径的绕线轮,中间一个的半径为2.5cm, 其余每相邻两个塔轮之间的半径相差0.5cm。砝码钩上可以放置一定数量的砝码,重力矩作 为外力矩,结构如图: 图 3 转动惯量仪结构图 仪器使用方法: 1、 1、 用电缆线将光电门和通用电脑计时器相连,只接通一路(另一路备用); 2、 2、 接通电源,仪器进入自检状态。 a)a) 8 位数码显示管同时点亮,否则本机出现错误; b)b) 数码显示器显示 表明制式为每组脉冲由一个光电脉冲组成,共有80 组脉冲(均为系统默认值) 3、 3、 制
10、式的调整方法: a)a) 如无须对制式进行修改或已经修改完备,按“待测/+ ”进入工作等待状态; b)b) 计时显示的前两位为每组光电脉冲数,后两位为记录组数。对于闪烁的数码显 示器位,直接键入数字,即可修改此位;如果需要修改下一位,则须按下“/ ”键,下一位数码显示器位闪烁,再键入数字即可进行修改,同时保留对其他位 的修改值。 用“/ ”键能对所修改的四位数码显示器进行循环操作,记录组数 最多为 80。 4、按“待测 /+ ”键进入工作等待状态:数码显示器显示 5、进入计时工作状态:输入的第一个光电脉冲后开始计时和计数。 6、计时结束:当测量组数超过设定的记录组数时,数码管显示为: 计时结束
11、。 7、数据查询:每按一次“待测/+ ”键,则记录组数递增一位,每按一次“/ ”键则递 减一位。 8、电脑计时器复位,以便进行下一此测量。 【实验内容与步骤】 1、 1、 调节转动惯量仪底角螺钉,使仪器处于水平状态。 2、 2、 用电缆将光电门与仪器相连,只接通一路。 若用输入插孔输入,该通段开关接通, 输入通段开关必须断开。 3、 3、 开启数字毫秒计,使其进入计数状态。 4、 4、 测量支架的转动惯量: 给转台以初始角速度使其在摩擦力矩作用下做匀减速转动,记下此时的 54321 ,ttttt , 由 此计算只有摩擦力矩时的角加速度 1。 将线绕在中间的塔轮上,调节滑轮位置使绕线与台面平行。
12、让砝码由静止下落,记下此时 的 54321 ,ttttt , 由此计算在重力矩和摩擦力矩同时作用下的角加速度 2。 计算空台的转 动惯量 0 J 。 5、 5、 测量待测物的转动惯量: 加上圆盘,测量系统的转动惯量 J ; 加上圆环,测量系统的转动惯量 J 。 6、已知支架的转动惯量 0 J ,从而可得出待测物的转动惯量 0 JJJ被测 。 7、将测量值与理论值相比较,得出测量误差。 8、验证平行轴定理: 将小圆柱分别放在离转轴5cm,7.5cm,10cm 处,测得此时系统的转动惯量J,并将其与d 2 值相比较,从而验证平行轴定理。 【数据记录及处理】 砝码的质量: m = 50g g 9.8
13、m/s 2 塔轮中间一轮的半径: r=2.5cm 圆盘半径: r=12cm 质量 m=500g 圆环内径: r=10.5cm 外径 R=12.0cm 质量 m=450g 小圆柱质量: m=170g 载物台上各孔中心距转轴的距离,由内到外分别为:r=5cm、7.5cm、10cm 表一:测量刚体的转动惯量: 有/ 无外力矩K=1K=2K=3K=4K=5J 1 t 2 t 3 t 4 t 5 t 空台 有 0 JJ 空台 无 圆环 有 圆环空台 J 无 圆盘 有 圆盘空台J 无 圆 柱 5 有 圆柱空台 J 无 7.5 有 圆柱空台 J 无 10 有 圆柱空台 J 无 圆环的转动惯量 圆环空台 J 空台 J (测量值)理论值 圆盘的转动惯量 圆盘空台 J 空台 J (测量值)理论值 比较理论值与测量值,计算相对误差。 表二:验证平行轴定理: 【思考题】 1. 本实验方法为什么可以不考虑滑轮的质量及其转动惯量? 2. 本实验是如何检验转动定律和平行轴定理的? 3. 分析本实验产生误差的主要原因是什么?
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