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1、定 义义 若随机变量 X 的可能取值是有限 个或可列个, 则称 X 为离散型随机变量 描述X 的概率特性常用概率分布或分布律 X P 或 离散随机变量及分布律 即 2.22.2 分布律的性质 q 非负性 q 归一性 X 或 F( x) 是分段阶梯函数, 在 X 的可能取 值 xk 处发 生间断, 间断点为第一类跳跃间 断点,在间断点处有跃度 pk . 离散随机变量及分布函数 其中 . 0 1 2 3 4 x F( x) o o 1 o o o (1) 0 1 分布 是否超标等等. 常见见离散r.v.的分布 凡试验 只有两个结果, 常用0 1 分布描述, 如产品是否合格、人 口性别统计 、系统是
2、否正常、电力消耗 X = xk 1 0 Pk p 1 - p 0 p 1 应用 场合 或 (2) 二项项分布 n 重Bernoulli 试验 中, X 是事件A 在 n 次试 验中发生的次数 , P (A) = p ,若 则称 X 服从参数为n, p 的二项分布,记作 01 分布是 n = 1 的二项分布 二项分布的取值情况设 .039 .156 .273 .273 .179 .068 .017 .0024 .0000 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0.273 由图表可见 , 当 时, 分布取得最大值 此时的 称为最可能成功次数 x P 0 1 2 3 4 5 6 7 8 设 .01 .
3、06 .14 .21 .22 .18 .11 .06 .02 .01 .002 .001 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 20 x P 1 3 5 7 9 0 2 4 6 8 10 20 由图表可见 , 当 时, 分布取得最大值0.22 二项项分布中最可能出现现次数的定义义与推导导 则称 为最可能出现的次数 当( n + 1) p = 整数时,在 k = ( n + 1) p 与 ( n + 1) p 1 处的概率取得最大值 对固定的 n、p, P ( X = k) 的取值呈不 对称分布 固定 p, 随着 n 的增大,其取值的分布 趋于对称 当( n + 1) p 整数时,
4、 在 k = ( n + 1) p 处的概率取得最大值 , 则对 固定的 k 设 Possion定理 Poisson定理说明若X B( n, p), 则当n 较大, p 较小, 而 适中, 则可以用近似公式 问题 如何计算 ? 类似地, 从装有 a 个白球,b 个红球的袋中 不放回地任取 n 个球, 其中恰有k 个白球的 概率为 当时, 对每个 n 有 结结 论论 超几何分布的极限分布是二项分布 二项分布的极限分布是 Poisson 分布 解 令X 表示命中次数, 则 令 此结果也可直接查 附表2 泊松 分布表得到,它与用二项分布算得的结 果 0.9934仅相差万分之一. 利用Poisson定
5、理再求例4 (2) X B( 5000,0.001 ) 在实际计 算中,当 n 20, p 0.05时, 可用上 述公式近似计算; 而当 n 100, np 10 时, 精度更好 0 0.349 0.358 0.369 0.366 0.368 1 0.305 0.377 0.372 0.370 0.368 2 0.194 0.189 0.186 0.185 0.184 3 0.057 0.060 0.060 0.061 0.061 4 0.011 0.013 0.014 0.015 0.015 按二项分布 按Possion 公式 k n=10 p=0.1 n=20 p=0.05 n=40 p=0.025 n=100 p=0.01 =np=1 (3) Poisson 分布 若 其中是常数,则称 X 服从参数为 的Poisson 分布. 或记作 在某个时段内: 大卖场 的顾客数; 某地区拨错 号的电话 呼唤次数; 市级医院急诊病人数; 某地区发生的交通事故的次数. 一个容器中的细菌数; 一本书一页中的印刷错误 数; 一匹布上的疵点个数; 应 用 场 合 放射性物质发 出的 粒子数;
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