2019-2020版数学新学案北师大版选修2-1练习:第三章 圆锥曲线与方程 3习题课2 Word版含解析.pdf
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1、习题课习题课抛物线方程及性质的综合应用抛物线方程及性质的综合应用 课后训练案巩固提升巩固提升 A 组 1.设 AB 为过抛物线 y2=2px(p0)的焦点的弦,则|AB|的最小值为( ) A.B.p 2 C.2pD.无法确定 解析:由抛物线定义可求得,垂直于对称轴的通径最短,即当 x= ,y=p时,|AB|min=2p. 2 答案:C 2.以抛物线 y2=2px(p0)的焦半径|MF|为直径的圆与 y轴的位置关系是( ) A.相交B.相切 C.相离D.不确定 解析:由抛物线定义知|MF|=xM+ ,所以半径 r=,而圆心为 MF的中点,圆心到 y轴的距离为 2 | 2 = 2 + 4( + 2
2、 2 , 2) =r,故该圆与 y 轴相切. + 2 2 答案:B 3.已知 F为抛物线 y2=8x 的焦点,过点 F 且斜率为 1的直线交抛物线于 A,B两点,则|FA|-|FB|的值等于( ) A.8B.8C.4D.4 22 解析:依题意 F(2,0),所以直线方程为 y=x-2,联立得消去 y 得 x2-12x+4=0.设 A(x1,y1),B(x2,y2),则|AF|- = - 2, 2= 8, |BF|=|(x1+2)-(x2+2)|=|x1-x2|=8. ( 1+ 2)2 - 4 12= 144 - 162 答案:A 4.已知 F是抛物线 y2=x 的焦点,A,B是该抛物线上的两点
3、,|AF|+|BF|=3,则线段 AB的中点到 y轴的距离为( ) A.B.1C.D. 3 4 5 4 7 4 解析:设 A(x1,y1),B(x2,y2),由|AF|+|BF|=3,得 x1+x2+ =3,所以 x1+x2= ,所以线段 AB的中点到 y轴的距离为. 1 2 5 2 1+ 2 2 = 5 4 答案:C 5.如图, 抛物线的顶点在坐标原点,焦点为 F,过抛物线上一点 A(3,y)向准线作垂线,垂足为 B,若ABF为等边三角形,则抛物线 的标准方程是( ) A.y2= xB.y2=x 1 2 C.y2=2xD.y2=4x 解析:设抛物线方程为 y2=2px,取 AB的中点为 D,
4、由 A(3,y),B,得 D.因为ABF为等边三角形,所以 FD (- 2 , ) ( 3 - 2 2 , ) AB.又 F,所以,解得 p=2,故抛物线方程为 y2=4x. ( 2 ,0 ) 3 - 2 2 = 2 答案:D 6.过抛物线 y2=2px(p0)的焦点 F 作倾斜角为 45的直线交抛物线于 A,B两点,若线段 AB的长为 8,则 p= . 解析:直线 y=x- ,则所以 x2-3px+=0,|AB|=8=x1+x2+p,所以 4p=8,p=2. 2( = - 2, 2= 2, 2 4 答案:2 7.已知抛物线 y2=4x,过点 P(4,0)的直线与抛物线交于 A(x1,y1),
5、B(x2,y2)两点,则的最小值是 . 2 1+ 22 解析:设直线方程为 x=ky+4,与抛物线的方程联立得 y2-4ky-16=0,y1+y2=4k,y1y2=-16.=(y1+y2)2- 2 1+ 22 2y1y2=16k2+32.故最小值为 32. 答案:32 8.过抛物线 y2=8x的焦点作直线 l,交抛物线于 A,B两点,若线段 AB中点的横坐标为 3,求|AB|的值. 解由抛物线 y2=8x知,p=4. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),根据抛物线定义知, |AF|=x1+ ,|BF|=x2+ , 2 2 所以|AB|=|AF|+|BF|=x1+ +x2+ =x1+x2+p
6、, 2 2 所以 x1+x2=|AB|-p. 由条件知=3,则 x1+x2=6, 1+ 2 2 所以|AB|-p=6. 又因为 p=4,所以|AB|=10. 综上可知,|AB|的值是 10. 9.设抛物线 y2=2px(p0)的焦点为 F,经过点 F 的直线交抛物线于 A,B两点,点 C在抛物线的准线上,且 BCx轴.证明: 直线 AC 经过坐标原点 O. 证明抛物线的焦点为 F. ( 2 ,0 ) 设直线 AB 的方程为 x=my+ ,代入抛物线方程,得 y2-2pmy-p2=0. 2 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1y2=-p2. BCx 轴,且点 C 在准线上, C,则
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